Mathematik: Sechs besondere Punkte auf den Seiten eines Dreiecks
Released by matroid on Mo. 08. Januar 2007 19:41:27 [Statistics]
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Mathematik

\(\begingroup\) Sechs besondere Punkte auf den Seiten eines Dreiecks In den vergangenen Monaten wurde von FlorianM in verschiedenen Artikeln viel über die Eigenschaften von Dreiecken berichtet. Die folgende kurze Betrachtung soll daran anschließen. Werden die Seiten eines beliebig schiefwinkligen Dreiecks halbiert, so liegen die Mittelpunkte der entstehenden Seitenhälften auf einer ellipsenähnlichen Kurve, wie sie hier von Hand eingezeichnet ist. Wäre sie eine richtige Ellipse, hätte man einen weiteren interessanten Dreieckssatz, der bisher noch nirgends erwähnt wurde. Bild

Um zu untersuchen, ob dies der Fall ist, verwende ich den Satz von Pascal1), auf den sich die folgende Figur bezieht: Bild Er lautet: Liegen die Eckpunkte eines beliebigen Sechsecks auf einem Kegelschnitt, dann schneiden sich die Verlängerungen gegenüberliegender Seiten so, daß ihre Schnittpunkte auf einer Geraden liegen (Pascalsche Gerade). Bild Wie man an unserer ersten Figur, jetzt ohne die Kurve, erkennt, laufen die gegenüberliegenden Seiten des eingezeichneten Sechsecks zueinander parallel. Dies gilt nicht nur für das gewählte Beispiel, sondern läßt sich leicht allgemein zeigen. Die Verlängerungen der genannten Seiten können sich nicht auf der Pascalschen Geraden schneiden. Unsere Kurve ist kein Kegelschnitt und somit auch keine Ellipse. An anderer Stelle hier auf dem Matheplaneten werden zwei ellipsenähnliche Kurven gezeigt: eine "spirische Linie" und die "Stadionkurve" Bild Bild mit den Gleichungen 25x²+16y² = 25(x²+y²)² und (x²+y²)³-[(x²+y²)²+x²]y = 0, vgl. Fig. 4 und 5, dort mit den Koordinaten u und v. Ob eine von ihnen, nachdem sie gestreckt, verschoben und gedreht wurde, durch die sechs Teilungspunkte auf den Dreiecksseiten geht, oder ob man, falls das Problem weiter von Interesse ist, nach anderen Kurven mit dieser Eigenschaft suchen muß, möchte ich vorläufig unerörtert lassen. 1) Blaise Pascal (1623-1662) stellte den Satz auf und bewies ihn im Alter von 16 Jahren. Hans-Jürgen
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: Mathematik :: Geometrie :: Dreieckskonstruktion :: Trigonometrie :: Schüler aufwärts :
Sechs besondere Punkte auf den Seiten eines Dreiecks [von Hans-Juergen]  
In den vergangenen Monaten wurde von FlorianM in verschiedenen Artikeln viel über die Eigenschaften von Dreiecken berichtet. Die folgende kurze Betrachtung soll daran anschließen.
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"Mathematik: Sechs besondere Punkte auf den Seiten eines Dreiecks" | 22 Comments
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Re: Sechs besondere Punkte auf den Seiten eines Dreiecks
von: freeclimb am: Mo. 08. Januar 2007 20:02:21
\(\begingroup\)Lieber Hans-Jürgen! Sehr hübscher Artikel! Und obendrein noch interessant und in der Schule anwendbar. Vielen Dank! lg, freeclimb\(\endgroup\)
 

Re: Sechs besondere Punkte auf den Seiten eines Dreiecks
von: FlorianM am: Mo. 08. Januar 2007 20:08:17
\(\begingroup\)Hallo Hans-Jürgen, eine klasse und dazu sehr interessante Anführung an meine kleine Serie. 😄 Danke dafür!! Gruss Florian\(\endgroup\)
 

Re: Sechs besondere Punkte auf den Seiten eines Dreiecks
von: SirJective am: Mo. 08. Januar 2007 20:24:46
\(\begingroup\)Wie unterscheidet sich diese allgemeine Situation von der eines gleichseitigen Dreiecks? Dort sind auch die betrachteten Geraden parallel, und das betrachtete Sechseck liegt auf einem Kreis. Ist es nicht vielmehr so, dass die Pascalsche Gerade in dieser Situation die unendlich ferne Gerade ist, und das betrachtete Sechseck also doch auf einem Kegelschnitt liegt? Gruß, SirJective PS: Wir wählen ein kartesisches Koordinatensystem so, dass A=(0,0), B=(1,0), C=(a,b) ist. Dann liegen die sechs betrachteten Punkte auf dem Kegelschnitt \ x^2 + (a^2-a+1)/(b^2) y^2 - (2*a-1)/b xy - x + (a-1)/b y + 2/9 = 0 \(\endgroup\)
 

Re: Sechs besondere Punkte auf den Seiten eines Dreiecks
von: Hans-Juergen am: Mo. 08. Januar 2007 21:20:26
\(\begingroup\)Hi Sir Jective, daran, daß die Pascal-Gerade unendlich weit entfernt ist, hatte ich auch schon gedacht, konnte ich mich damit aber nicht recht anfreunden. Dein Einwand mit dem gleichseitigen Dreieck klingt überzeugend, und so kann es durchaus sein und ist es wohl so, daß es sich bei meiner Kurve im schief- winkligen Dreieck doch um eine Ellipse handelt. Bevor ich auf die Anwendung des Satzes von Pascal kam, versuchte ich bei einem konkreten Zahlenbeispiel die Gleichung der ursprünglich vermuteten Ellipse aufzustellen, wobei ich von der Gleichung eines Kegelschnitts in all- gemeiner Lage ausging. Diese enthält 6 Koeffizienten, und um sie zu bestimmen, setzte ich die Gleichung sechsmal an, für jeden Eckpunkt einmal. Zu meiner Überraschung ergaben sich die gesuchten Koeffizienten sämtlich zu 0. Daraus schloß ich bereits zu Anfang, daß die von Hand eingezeichnete Kurve keine Ellipse sein könne. Nun bin ich insgesamt etwas ratlos und gleichzeitig gespannt, wie die Diskussion zu meiner offenbar mißratenen Argumentation und ihrem Ergebnis hier auf dem Planeten weitergeht. Auf jeden Fall bin ich Dir dankbar, wenn auch das Ganze ein wenig peinlich für mich ist. Andererseits: wenn sich überzeugend beweisen ließe, daß die durch die genannten Teilungspunkte eines allgemeinen Dreiecks gehende Kurve eine Ellipse ist, dann hätten wir einen schönen zusätzlichen Satz über Dreiecke. (Vermutlich ist er dann aber auch schon seit langem bekannt und steht irgendwo im Verborgenen.) Herzlichen Gruß, Hans-Jürgen. P. S. Dein P. S. sah ich erst, nachdem ich das Vorstehende abgeschickt hatte. Danke auch dafür! \(\endgroup\)
 

Re: Sechs besondere Punkte auf den Seiten eines Dreiecks
von: veelai am: Mo. 08. Januar 2007 23:23:58
\(\begingroup\)So wie ich das sehe handelt es sich bei der Pascalschen Gerade in diesem Fall einfach um die unendliche Gerade, da die Seitenpaare jeweils parallel sind, schneiden sie sich jeweils in einem Punkt auf der unendlichen Geraden (Stichwort projektive Geometrie). Insofern muss ich SirJective da zustimmen. veelai\(\endgroup\)
 

Re: Sechs besondere Punkte auf den Seiten eines Dreiecks
von: viertel am: Di. 09. Januar 2007 03:35:39
\(\begingroup\)Hallo Hans-Jürgen, Deine Vermutung mit der Ellipse stimmt wohl doch. Eine "von Hand" gezeichnete Ellipse ist da wohl etwas ungenau. Aber die neue Version (zZ in der Beta-Phase, ich gehöre zu den Testern) von DynaGeo Euklid beherrscht die Konstruktion einer Ellipse aus 5 Punkten. Und siehe da, der sechste Punkt liegt auch drauf, egal, wie ich das Dreieck verziehe: Bild In dem Zusammenhang hab ich auch noch einen Satz (eigentlich eine Behauptung) auf Lager, der mir seit fast 30 Jahren im Magen liegt: Bild Beginne mit dem inneren schwarzen Dreieck ABC. Spiegele die Ecken zyklisch gegen den Uhrzeigersinn, so daß A'B'C' entstehen. Nun existiert aber noch ein zweites Dreieck A''B''C'' (rot), aus dem durch zyklisches Spiegeln der Ecken (jetzt allerdings im Uhrzeigersinn) das Dreieck A'B'C' entsteht (das Auffinden (=Konstruieren) dieses roten Dreiecks, wenn nur A'B'C' gegeben ist, überlasse ich dem geneigten Leser; es ist eine alte Aufgabe vom Bundeswettbewerb Mathematik 1978, siehe auch hier: Konstruktion eines Dreiecks oder noch schlimmer hier: Sechseck rückwärts konstruieren). Und nun die Behauptung: die Punkte des Sechsecks (grün) liegen auf einer Ellipse (blau). Der Beweis ist jetzt, wo ich den Satz von Pascal mit der Erweiterung der unendlich fernen Geraden kennen gelernt habe, ganz einfach. Viele Grüße Dietmar\(\endgroup\)
 

Re: Sechs besondere Punkte auf den Seiten eines Dreiecks
von: Bernhard am: Di. 09. Januar 2007 10:34:23
\(\begingroup\)Hallo Hans-Jürgen! Dein Artikel ist sehr interessant aus zwei Gründen: 1. Weil er, gerade dadurch, daß noch - wenn auch anfangs ungewollt - Fragen offenbleiben, zum Nachdenken und weiterführenden Überlegungen anregt. 2. Wegen dem mir bisher - wie wohl den meisten - noch unbekannten Satz von Pascal. Wo hast Du den ausgegraben? Allerdings glaube ich nicht, daß Pascal den bekanntesten und vollkommensten aller Kegegelschnitte, den Kreis nämlich, vergessen hätte, als Sonderfall ebenfalls zu betrachten. Noch etwas anderes würde mich interessieren: Gilt der Satz auch uneingeschrängt für Parabeln und Hyperbeln? Insbesondere, wenn bei letzteren die Seckseckpunkte auf verschiedenen Ästen liegen? Wenn ja, könnte folgende Vermutung meinerseits vielleicht eine Hilfe sein, zu erklären, warum es mit dem regulären Sechseck Schwierigkeiten gibt: Der Kreis ist der einzige Kegelschnitt, bei dem sich die Richtung der Verbindungsgerade der beiden Brennpunkte nicht festlegen läßt. (Zu Erinnerung: Bei der Parabel geht das, selbst wenn man den zweiten Brennpunkt im Unendlichen definiert, die Verbindungsgerade mit dem ersten aber durch den Scheitelpunkt gehen muß.) Vielleicht läßt sich damit was machen. Viel Grüße, Bernhard\(\endgroup\)
 

Re: Sechs besondere Punkte auf den Seiten eines Dreiecks
von: Hans-Juergen am: Di. 09. Januar 2007 10:46:23
\(\begingroup\)Hallo Dietmar, Deine Ergebnisse erfreuen mich sehr! Viele Grüße, Hans-Jürgen\(\endgroup\)
 

Re: Sechs besondere Punkte auf den Seiten eines Dreiecks
von: Hans-Juergen am: Di. 09. Januar 2007 11:06:11
\(\begingroup\)Hallo Bernhard, so unbekannt ist der Satz von Pascal nicht. Vieles über ihn findet man im Internet, zum Beispiel hier, wo auch seine Anwendung bei der Hyperbel zu sehen ist. Viele Grüße, Hans-Jürgen \(\endgroup\)
 

Re: Sechs besondere Punkte auf den Seiten eines Dreiecks
von: Hans-Juergen am: Di. 09. Januar 2007 12:38:59
\(\begingroup\)Hallo SirJective, wenn ich Deine Gleichung \ x^2 + (a^2-a+1)/(b^2) y^2 - (2*a-1)/b xy - x + (a-1)/b y + 2/9 = 0 auf das Dreieck A(0,0), B(1,0), C(a,b) mit a=b=2 anwende, Bild wird sie von den Koordinaten x=0.5, y=0.5 des Punktes P, der zu den sechs Teilungspunkten des Dreiecks gehört, nicht erfüllt. Links bleiben 5/144 übrig. Viele Grüße, Hans-Jürgen \(\endgroup\)
 

Re: Sechs besondere Punkte auf den Seiten eines Dreiecks
von: SirJective am: Di. 09. Januar 2007 13:33:26
\(\begingroup\)Du hast recht! Ich habe, anstatt die Seiten zu vierteln, die Seiten gedrittelt. Der von mir angegebenen Kegelschnitt drittelt alle drei Seiten des Dreiecks. Hab leider grad kein Programm zur Hand, um den korrekten Kegelschnitt auszurechnen. Davon angeregt postuliere ich, dass es sogar für ein beliebiges Teilungsverhältnisse funktioniert: Sei m zwischen 0 und 1 (einschließlich) und n = 1-m, dann liegen die sechs Punkte n*A+m*B, m*A+n*B, n*B+m*C, m*B+n*C, n*C+m*A, m*C+n*A auf einem Kegelschnitt (der vermutlich eine Ellipse ist). Für m=0, 1/2 oder 1 ergeben sich natürlich nur drei Punkte, die bekanntlich auf einem Kreis liegen, aber bestimmt kann man die sich für die anderen Fälle ergebenden Kegelschnitte stetig auf diese drei Werte fortsetzen, und einen bestimmten Kegelschnitt erhalten, der durch die drei Punkte geht. Der hat dann vermutlich auch schon einen eigenen Namen. Gruß, SirJective \(\endgroup\)
 

Re: Sechs besondere Punkte auf den Seiten eines Dreiecks
von: Bernhard am: Di. 09. Januar 2007 15:45:11
\(\begingroup\)Hallo Hans-Jürgen! Dankeschön für den Link. Eines verstehe ich daran aber trotzdem nicht: Es dreht sich hier offensichtlich nicht um die Schittpunkte gegenüberliegender Seitenpaare, sondern um die Schnittpunkte gegenüberliegender Ecken! Schnittpunkte gegenüberliegender Seitenpaare können nämlich (bei einem konvexen) Sechseck garnicht innerhalb des Sechsecks liegen! Wenn Du noch einmal zurückblätterst zu der zweiten Zeichnung von Viertel um 3:35 Uhr, siehst Du, daß da was faul ist. Die gegenüberliegenden Seiten A-A'' und B''-B schneiden sichnämlich im Punkt C' und bilden mit den anderen zwei Schnittpunkten das Dreieck A'B' und keine Gerade! Warum wird das übersehen, selbst auf der von Dir angegebenen Webseite? Bernhard\(\endgroup\)
 

Re: Sechs besondere Punkte auf den Seiten eines Dreiecks
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 09. Januar 2007 18:24:28
\(\begingroup\) @ 4^(-1): Kann der neue Euklid auch allgemein einen Kegelschnitt durch 5 Punkte zeichnen? @ Bernhard: Was soll ein Schnittpunkt gegenüberliegender Ecken sein? ;) Entgegen der in der Schule üblichen Vorstellungen sind in der Geometrie Sechsecke geordnete 6-Tupel von Punkten und können konvex, konkav oder selbstüberschneidend sein; auf der von Hans-Jürgen verlinkten Seite sind beide Sechsecke selbstüberschneidend (die Seiten der Sechsecke sind jeweils die blauen Strecken!). Gegenüberliegend heißt einfach nur, daß bei einem Sechseck ABCDEF die Geraden AB und DE als gegenüberliegende Seiten bezeichnet werden, genauso BC und EF, und genauso CD und FA. @ Thema: Folgender Satz wird je nach Quelle Carnot oder Steiner zugeschrieben: Sei ABC ein (nicht entartetes) Dreieck, und seien A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2 (von A, B und C verschiedene) Punkte auf den Geraden BC, BC, CA, CA, AB, AB (in dieser Reihenfolge!). Wir verwenden orientierte Strecken. Dann gilt: Die Punkte A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2 liegen genau dann auf einem Kegelschnitt, wenn BA_1 / (A_1 C) * BA_2 / (A_2 C) * CB_1 / (B_1 A) * CB_2 / (B_2 A) * AC_1 / (C_1 B) * AC_2 / (C_2 B) = 1 gilt. Dieser Satz beantwortet die Frage dieser Diskussion (auch in der verallgemeinerten Version von SirJective, mit 0 < m < 1 und n = 1 - m) zumindest in der Hinsicht, daß er schnell ergibt, daß die Punkte auf einem Kegelschnitt liegen. Daß der Kegelschnitt eine Ellipse ist, kriege ich gerade auch nicht einfacher bewiesen als mithilfe einer affinen Abbildung, die das Dreieck in ein gleichseitiges überführt. Der obige Satz von Carnot \/ Steiner ist durchaus ein nützliches Resultat der Dreiecksgeometrie - mir fällt z. B. prompt folgende Anwendung ein: Wenn ein Kegelschnitt alle drei Seitengeraden eines Dreiecks ABC schneidet, und zwar die Gerade BC in A_1 und A_2, die Gerade CA in B_1 und B_2, und die Gerade AB in C_1 und C_2, und wenn dabei die Geraden AA_1, BB_1 und CC_1 sich in einem Punkt schneiden, dann tun dies auch die Geraden AA_2, BB_2 und CC_2. (Für den Fall, daß der Kegelschnitt ein Kreis ist, wird dies übrigens zu einem netten elementaren Dreieckssatz, der auch bekannt ist - Aufgabe D.50 auf math4u.de/ .) Umgekehrt: Sind A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2 (von A, B und C verschiedene) Punkte auf den Seitengeraden BC, BC, CA, CA, AB, AB (in dieser Reihenfolge!) eines Dreiecks ABC, sodaß die Geraden AA_1, BB_1 und CC_1 sich in einem Punkt schneiden, und die Geraden AA_2, BB_2 und CC_2 sich auch in einem Punkt schneiden, dann liegen die Punkte A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2 auf einem Kegelschnitt. Siehe auch www.uni-duisburg.de/SCHULEN/STG/Wettbewerbe/ceva.htm (Abschnitt V) zu diesen Resultaten (auch wenn ich es wage zu behaupten, sie waren schon bekannt, bevor es Jugend Forscht gab). PS. Den Satz von Carnot \/ Steiner selber kann man auf (mindestens) zwei verschiedene Arten nachweisen: 1. Laut Pascal liegen die Punkte A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2 genau dann auf einem Kegelschnitt, wenn der Schnittpunkt von B_1 C_2 mit BC, der Schnittpunkt von C_1 A_2 mit CA und der Schnittpunkt von A_1 B_2 mit AB auf einer Geraden liegen. Letzteres erweist sich aber nach viermaliger Anwendung von Menelaos als äquivalent zu BA_1 / (A_1 C) * BA_2 / (A_2 C) * CB_1 / (B_1 A) * CB_2 / (B_2 A) * AC_1 / (C_1 B) * AC_2 / (C_2 B) = 1. 2. Beweise den Satz für Kreise (sehr einfach). Leite daraus durch affine Abbildungen den Satz für Ellipsen her. Daß er dann auch für Parabeln und Hyperbeln gelten muß, folgt aus hässlichen algebraischen Überlegungen: Wenn ein Satz über Kegelschnitte, den man als polynomiale Identität schreiben kann (z. B. in den kartesischen Koordinaten der Ausgangspunkte), für Ellipsen gilt, dann gilt er auch für alle anderen Arten von Kegelschnitten - das ist das gleiche Argument wie: wenn eine polynomiale Identität für alle positiven reellen Zahlen gilt, dann gilt sie auch für alle reellen Zahlen. Ich ziehe den 1. Beweisweg definitiv vor, auch wenn er Pascal verwendet. Viele Grüße, Darij\(\endgroup\)
 

Re: Sechs besondere Punkte auf den Seiten eines Dreiecks
von: Bernhard am: Di. 09. Januar 2007 22:04:18
\(\begingroup\)Wie kann ich hier eine Graphik einfügen? Ich würde Euch nämlich gerne mal anhand der Figur selber und der Benennung der Ecken zeigen, wie ich das gemeint habe. @ Darij Ich habe mich auch auf das von Viertel gezeichnete Beispiel bezogen. Bei seinem grünen Sechseck in der zweiten Zeichnung klappt es wirklich nicht auf diese Weise. Bernhard\(\endgroup\)
 

Re: Sechs besondere Punkte auf den Seiten eines Dreiecks
von: Rebecca am: Di. 09. Januar 2007 22:32:15
\(\begingroup\)@Bernhard: So wie im Forum: Bild hochladen Gruß Rebecca\(\endgroup\)
 

Re: Sechs besondere Punkte auf den Seiten eines Dreiecks
von: Bernhard am: Mi. 10. Januar 2007 09:31:40
\(\begingroup\)Da in ich wieder - und es hat geklappt mit der Graphik, Danke für die Tips! Jetzt zur Sache: Darij schrieb an mich: @ Bernhard: Was soll ein Schnittpunkt gegenüberliegender Ecken sein? ;) Entgegen der in der Schule üblichen Vorstellungen sind in der Geometrie Sechsecke geordnete 6-Tupel von Punkten und können konvex, konkav oder selbstüberschneidend sein; auf der von Hans-Jürgen verlinkten Seite sind beide Sechsecke selbstüberschneidend (die Seiten der Sechsecke sind jeweils die blauen Strecken!). Gegenüberliegend heißt einfach nur, daß bei einem Sechseck ABCDEF die Geraden AB und DE als gegenüberliegende Seiten bezeichnet werden, genauso BC und EF, und genauso CD und FA. Bild Hier ist nun das "Opus delicti", ich habe zusätzlich die Ecken der Reihenfolge nach benannt, wie Darij sie gemeint hat (selbstüberschneidende Seiten). Unter dieser Voraussetzung klappt es. Aber was ist mit dem Sechseck A-E-C-F-B-D los? Hier wären die gegenüberliegenden Seiten, analog der geordneten Reihenfolge von Darij jetzt: AE und FB, EC und BD, CF und DA. Wo schneiden sich die jeweils? An drei Punkten, die ein Dreieck aufziehen und außerhalb der Kurve liegen (müssen). Gerade so, wie es bereits Viertel gezeichnet hat. Gild der Satz also nur für Sechsecke mit selbstüberschneidenden Seiten? Bernhard\(\endgroup\)
 

Re: Sechs besondere Punkte auf den Seiten eines Dreiecks
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 10. Januar 2007 17:23:56
\(\begingroup\)@ Bernhard: Du schreibst: Hier wären die gegenüberliegenden Seiten, analog der geordneten Reihenfolge von Darij jetzt: AE und FB, EC und BD, CF und DA. Wo schneiden sich die jeweils? An drei Punkten, die ein Dreieck aufziehen und außerhalb der Kurve liegen (müssen). Ja, sie liegen außerhalb der Kurve - aber sie liegen auf einer Geraden. Es gibt einen Unterschied zwischen deiner Konfiguration und der auf der Grafik von Viertel. Versuch mal auf Viertels Grafik ein Sechseck mit Ecken auf dem Kegelschnitt zu finden, dessen gegenüberliegende Seiten sich in A', B', C' schneiden. Zwar sind A', B' und C' Schnittpunkte der Geraden BC, CA, AB, B"C", C"A", A"B" (in einer bestimmten Reihenfolge...), doch du kannst die Punkte A, B, C, A", B" und C" nicht in so eine Reihenfolge bringen, daß dann diese Geraden zu gegenüberliegenden Sechsecksseiten werden. Nicht immer, wenn sechs Punkte auf einem Kegelschnitt liegen und sechs Geraden eingezeichnet sind, liegen Schnittpunkte auf einer Geraden! Der Satz von Pascal gilt nur für Schnittpunkte gegenüberliegender Seiten eines Sechsecks (wie schon gesagt, kann das Sechseck konvex sein oder auch nicht, aber zwei Dreiecke sind kein Sechseck). Hoffentlich war das nicht zu konfus für dich - sonst versuch einfach deinen Beweis (daß nach Pascal die Punkte A', B', C' auf einer Geraden liegen müssten) zu formalisieren und du wirst sehen, was schiefläuft. Grüße, Darij\(\endgroup\)
 

Re: Sechs besondere Punkte auf den Seiten eines Dreiecks
von: Hans-Juergen am: Mi. 10. Januar 2007 18:43:18
\(\begingroup\)Sechs oder fünf? Da die Gleichung eines Kegelschnitts in allgemeiner Lage so lautet: Ax²+by²+Cx+Dy+F=0, dachte ich zuerst daran, sie für jeden der uns hier interessierenden Punkte einmal hinzuschreiben, um so die Koeffizienten A...F der Gleichung der durch sie gehenden Ellipse zu finden. Leider stellte sich heraus, daß das dabei entstehende LGS ein Paar voneinander linear abhängiger Gleichungen enthält und somit unendlich viele Lösungen hat. Deshalb teilte ich die obige Gl. beiderseits durch A: x^2+B/A|y^2+C/A|xy+D/A|x+E/A|y+F/A=0. Nach der Umbenennung x^2+B'y^2+C'xy+D'x+E'y+F'=0 waren nur noch 5 Konstanten zu bestimmen, und das aus 5 Gleichungen bestehende System lieferte nun auch eindeutige Werte für sie. Bei dem obigen Dreieck A(0,0), B(1,0), C(a,b) mit a=b=2 ergab sich B'=3/4, C'=-3/2, D'=-1, E'=1/2 und F'=3/16, so daß die Ellipse, die unten eingezeichnet ist, die Gl. x^2+3/4|y^2-3/2|xy-x+1/2|y+3/16=0 hat, wofür man am Schluß nach beiderseitiger Multiplikation mit 16 natürlich auch noch schreiben kann: 16x^2+12y^2-24xy-16x+8y+3=0. Bild Hans-Jürgen \(\endgroup\)
 

Re: Sechs besondere Punkte auf den Seiten eines Dreiecks
von: SirJective am: Mi. 10. Januar 2007 22:45:36
\(\begingroup\)Mit dem Koordinatensystem meiner beiden Beiträge läuft folgender Kegelschnitt durch die sechs Punkte: \ x^2 + (a^2-a+1)/(b^2) y^2 - (2*a-1)/b xy - x + (a-1)/b y + m - m^2 = 0 Die Hauptachsentransformation, an der man ablesen kann, dass es eine Ellipse ist, bleibt dem geneigten Leser als Übung überlassen. 😄 Gruß, SirJective \(\endgroup\)
 

Re: Sechs besondere Punkte auf den Seiten eines Dreiecks
von: Hans-Juergen am: Fr. 12. Januar 2007 11:34:47
\(\begingroup\)Hi, fügt man in Dietmars obiger Figur die Seitenhalbierenden ein, Bild so kann der Eindruck entstehen, daß der Mittelpunkt der Ellipse dort liegt, wo sie sich schneiden. Dies bestätigt sich bei meinem eigenen Beispiel am Beginn dieses Artikels: Bild (Die Ellipse ist jetzt nicht mehr nur von Hand skizziert, sondern ordentlich berechnet und gezeichnet. Sie hat die Gleichung 16x²+31y²-28xy-320x+80y+1200=0.) Hauptachsentransformation ergibt folgendes Bild: Bild Weitere Beispiele dieser Art, bei denen dieselbe Erscheinung zu beobachten ist, legen den folgenden Satz nahe:   Werden die Seiten eines beliebig schiefwinkligen Dreiecks halbiert,   so liegen die Mittelpunkte der entstehenden Seitenhälften auf einer   Ellipse, deren Mittelpunkt mit dem Schwerpunkt des Dreiecks   übereinstimmt. Beim allgemeinen Beweis ergibt sich durch die Verwendung von (indizierten) Buchstaben anstelle konkreter Zahlen wie bei den Beispielen eine lange, unübersichtliche Rechnerei, wenn man wie dort vorgeht: Aufstellung der Ellipsengleichung anhand eines Gleichungssystems, Hauptachsentransformation, ... Vielleicht kann es hier jemand einfacher, schneller und eleganter. Übrigens gilt auch noch folgendes (ohne daß ich es kurz und übersichtlich allgemein beweisen kann):   Sei A'B'C' das Seitenmittendreieck eines Dreieicks ABC und   A"B"C" ein Dreieck, dessen Seiten zu denen von A'B'C' parallel   sind, und hat A"B"C" denselben Schwerpunkt wie die beiden anderen   Dreiecke, dann liegen die sechs Schnittpunkte von ABC mit A"B"C"   auf einer Ellipse.   Bild Hier werden die Seiten des ursprünglichen Dreiecks ABC, anders als in der Figur darüber, nicht in vier gleich große Strecken unterteilt. Hans-Jürgen \(\endgroup\)
 

Re: Sechs besondere Punkte auf den Seiten eines Dreiecks
von: isotomion am: So. 21. Januar 2007 23:10:00
\(\begingroup\)Hans-Jürgen: Hatten wir nicht vorhin was über affine Abbildungen, die das Dreieck ABC in ein gleichseitiges transformieren? ;) Darij\(\endgroup\)
 

Re: Sechs besondere Punkte auf den Seiten eines Dreiecks
von: viertel am: Mo. 26. Februar 2007 18:43:22
\(\begingroup\)Hallo Hans-Jürgen, der letzte Satz funktioniert sogar noch allgemeiner: Bild P kann beliebig auf sc oder deren Verlängerung liegen. Alle Dreiecksseiten sind natürlich auch entsprechend zu verlängern.\(\endgroup\)
 

 
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