Mathematik: Die Simson - Gerade
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Mathematik

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Vergessene Sätze am Dreieck Teil 6: Die Simson - Gerade und der Satz von Ptolemaeus

Die Simson - GeradeHallo Geometrie – Freunde, ich begrüße euch zu meinem sechsten Teil der Serie „Vergessene Sätze am Dreieck“. In diesem Teil werden wir uns mit der Simson – Geraden und mit dem Satz von Ptolemaeus beschäftigen. Bei der Simson – Geraden wird es vor allem um Fußpunktdreiecke und Kollinearität von Punkten gehen, beim Satz von Ptolemaeus behandeln wir Sehnenvierecke und Umkreise. Schließlich werden wir mit Hilfe des Satzes von Ptolemaeus noch zwei weitere Sätze über die Simson – Gerade hören. Robert Simson (1687 – 1768) leistete mehrer Beträge sowohl zur Geometrie als auch zur Arithmetik. Die Simson – Gerade wurde ihm zu geschrieben, da sie für sein geometrisches Denken typisch schien. Dennoch suchten Historiker vergeblich in seinen Werken danach. Tatsächlich wurde sie 1797 von William Wallaca entdeckt.

1 Die Simson – Gerade und alles, was dazu gehört

Wir fällen von einem Punkt P Lote auf die Seiten eines Dreiecks ABC. Diese entstehenden Schnittpunkte sind normalerweise die Ecken eines Dreiecks A_1 B_1 C_1 des Fußpunktdreiecks. Jetzt gibt es aber einen kleinen Sonderfall: Was passiert, wenn der Punkt P auf dem Umkreis des Dreiecks ABC liegt? Genauer gesagt: Was passiert, wenn P auf dem Kreisbogen CA, der den Punkt B nicht enthält, so gewählt wird, dass er mindestens so weit von C entfernt ist wie von A (Alle anderen Fällen können analog durch Umbenennung der jeweiligen Punkte durchgeführt werden.) Wir betrachten hierzu Abbildung 1: Abbildung 1 Aufgrund der rechten Winkel in A_1, B_1 und C_1 (da Eckpunkte des Fußpunktdreiecks A_1 B_1 C_1), liegt P auch auf den Umkreisen der Dreiecke A_1 BC_1, A_1 B_1 C und AB_1 C_1. Da nun zwei der Innenwinkel des Vierecks C_1 PA_1 B rechte Winkel sind (im Punkt C_1 und in A_1) gilt: \measuredangle\ C_1 PA_1 =360°-90°-90°-B=180°-B. Als nächstes betrachten wir das Viereck ABCP. Hier gilt: \measuredangle\ APC=180°-B (Dies folgt direkt aus dem Umfangs -bzw. Peripheriewinkelsatz). Wir folgern daraus: \measuredangle\ APC=\measuredangle\ C_1 PA_1 Subtrahieren von beiden Seiten dieser Gleichung \measuredangle\ APA_1 liefert: \measuredangle\ A_1 PC=\measuredangle\ C_1 PA Da aber die Punkte A_1 , C, P und B_1 auf einem Kreis (dem Umkreis des Dreiecks A_1 B_1 C) liegen, gilt: \measuredangle\ A_1 PC=\measuredangle\ A_1 B_1C (denke an dem Umfangs -bzw. Peripheriewinkel über dem Bogen A_1C). Da die Punkte A, B_1 , C_1 und P auf einem Kreis, dem Umkreis des Dreiecks AB_1 C_1 liegen, folgt daraus: \measuredangle\ C_1 PA=\measuredangle\ C_1 B_1A (Umfangs -bzw. Peripheriewinkelsatz über dem Bogen C_1 A). Daraus folgt: \measuredangle\ A_1 B_1 C= \measuredangle\ C_1 B_1 A . Folglich sind die Punkte A_1 , B_1 und C_1 kollinear. Abbildung 2 Man sagt, das Fußpunktdreieck ist "ausgeartet". Liegt umgekehrt ein Punkt P so, dass das Fußpunktdreieck ABC ausgeartet ist, so muss P offenbar innerhalb des Winkelfeldes einer Ecke des Dreiecks ABC und jenseits der ihr gegenüberliegenden Seiten liegen. Indem wir, falls notwendig, die Eckpunkt umbenennen, können wir annehmen, dass es sich um die Ecke B handelt und dass C_1 auf der Verlängerung der Seite BA jenseits von A liegt (siehe Abbildung 2). Wir können dann die Schritte in der obigen Untersuchung der Winkel umkehren und daraus folgern, dass P auf dem Umkreis liegen muss. Wir haben folgenden Satz gezeigt: \darkblue\black\frame\black\big\ \darkblue\ Die Simson - Gerade: Die Fußpunkte der Lote eines Punktes auf die Seiten eines Dreiecks sind genau dann kollinear, wenn der Punkt auf dem Umkreis liegt. Die Gerade, auf der die Fußpunkte liegen, bezeichnet man als die \darkblue\ Simson – Gerade.

2 Der Satz von Ptolemaeus und seine Erweiterung

Da wir nun wissen, was wir unter der Simson – Gerade verstehen, können wir sie auch gleich anwenden. Wir betrachten nochmals Abbildung 2. Obwohl das Fußpunktdreieck A_1 B_1 C_1 entartet ist, gilt für die Längen seiner Seiten immer noch das folgende Lemma: \darkblue\black\frame\black\big\ \darkblue\ Lemma: Hat der Fußpunkt von den Ecken des Dreicks \Delta ABC die Abstände x, y, z, dann betragen die Seitenlängen des Fußpunktdreiecks (ax)/2R , (by)/2R und (cz)/2R . Auf den Beweis wollen wir an dieser Stelle verzichten, da er relativ einfach ist und jeder interessierte Leser ihn auch selbst beweisen kann. Nach diesem Lemma gilt auf Abbildung 2 übertragen: B_1 C_1=a/2R *AP, A_1 C_1 =b/2R *BP, A_1 B_1=c/2R *CP . Aus A_1 B_1 +B_1 C_1 =A_1 C_1 erhalten wir c*CP+a*AP=b*BP. Das bedeutet: AB*CP+BC*AP=AC*BP . Da ABCP ein Sehnenviereck ist, haben wir den \darkblue\ Satz von Ptolemaeus bewiesen: \darkblue\black\frame\black\big\ \darkblue\ Der Satz von Ptolemaeus: In einem Sehnenviereck ist die Summe der beiden Produkte aus den Längen der gegenüberliegenden Seiten gleich dem Produkt der Längen der Diagonalen. Die Umkehrung des Satzes von Ptolemaeus lautet mit besonderer Verschärfung: \darkblue\black\frame\black\big\ \darkblue\ Der Kehrsatz des Satzes von Ptolemaeus: Ist ABC ein Dreieck und liegt P nicht auf dem Umkreisbogen CA, so gilt: AB*CP+BC*AP>AC*BP . \darkblue\ Der Beweis: Die Verschärfung ist: Für jeden Punkt B_1, der nicht auf der Strecke A_1 C_1 liegt, muss die Gleichung A_1 B_1 +B_1 C_1=A_1 C_1 durch die Dreiecksungleichung A_1 B_1+ B_1 C_1 >A_1 C_1 ersetzt werden. Daraus ergibt sich: AB*CP+BC*AP>AC*BP. \red\ q.e.d.

3 Weitere interessante Sätze über die Simson – Gerade

Die Simson – Geraden haben sehr viele wirklich interessante Eigenschaften, die es Wert sind, genauer betrachtet und in einem Artikel auf dem Matheplaneten festgehalten zu werden. Wir betrachten zunächst Abbildung 3: Abbildung 3 Die Abbildung 3 stimmt mit Abbildung 2 fast überein. Nur eine "Kleinigkeit" wurde verändert: Es wurde der Schnittpunkt U von PA_1 mit dem Umkreis und die Gerade AU eingezeichnet. Wir betrachten die beiden Sehnenvierecke PAUC und PB_1 A_1 C. Es gilt: A=\measuredangle\ PUA=\measuredangle\ PCA=B (Nach dem Umfangs -bzw. Peripheriewinkelsatz über dem Kreisbogen PA). Da die Punkte A und B_1 kollinear sind, gilt: B=\measuredangle\ PCA=\measuredangle\ PCB_1 . Da die Punkte A_1 , B_1 , C und P auf einem Kreis, dem Umkreis des Dreiecks A_1 B_1 C liegen, gilt: B=\measuredangle\ PCB_1 =\measuredangle\ PA_1 B_1 =C (Wieder nach dem Umfangs -bzw. Peripheriewinkelsatz über dem Kreisbogen PB_1). Wir erhalten also folgende Gleichungskette: \measuredangle\ PUA=\measuredangle\ PCA=\measuredangle\ PCB_1 =\measuredangle\ PA_1 B_1 . Wir folgern daraus: Da \measuredangle\ PA_1 B_1 und \measuredangle\ PUA Stufenwinkel sind, ist die Gerade AU parallel zur Simson - Gerade A_1 B_1 . Vergleichen wir nun die Simson – Gerade des Punktes P mit der eines anderen Punktes P' (vergleiche Abbildung 4), der natürlich ebenfalls auf dem Umkreis liegen soll, fällt folgendes auf: Abbildung 4 Der Winkel zwischen den beiden Simson – Geraden ist kein anderer als der Winkel UA'U zwischen den Geraden AU und AU', die zu je einer dieser Simson – Geraden parallel sind (siehe Abbildung 4). Der Umfangs -bzw. Peripheriewinkel \measuredangle\ UAU' über dem Bogen UU' ist halb so groß wie der Mittelpunktswinkel bzw. Zentriwinkel \measuredangle\ UOU' über dem gleichen Bogen. A=\measuredangle\ UAU'=1/2 \measuredangle\ UOU'=1/2 C. Es gilt damit PU\senkrechtauf\ BC und P'U'\senkrechtauf\ BC, also PU\parallel\ P'U' . Die zwei Sehnen PU und P'U' stehen beide senkrecht auf BC, das heißt sie sind parallel und teilen auf dem Umkreis zwei gleich lange Bögen PP' und UU' ab. C=\measuredangle\ UOU'=\measuredangle\ POP'=B. Wir folgern wiederum daraus: A=\measuredangle\ UAU'=1/2 \measuredangle\ UOU'=1/2 POP' oder bei der Untersuchung zwisen positiven und negativen Winkel (Orientierung der Winkel): A=\measuredangle\ UAU'=1/2 \measuredangle\ UOU'=-1/2 \measuredangle\ POP' . Damit haben wir folgenden Satz bewiesen: \darkblue\black\frame\black\big\ \darkblue\ Satz 1: Der Winkel zwischen den Simson - Geraden zweier Punkte P und P' auf dem Umkreis ist halb so groß wie das Winkelmaß des Bogens P'P. Überlegen wir weiter: Wir stellen uns vor, dass P sich gleichmäßig auf dem Umkreis bewegt, so dreht sich die Gerade AU gleichmäßig um A und zwar entgegengesetzt mit der halben Winkelgeschwindigkeit, so dass sich die Gerade in der Zeit, in der P den Kreisumfang zurücklegt, um 180° dreht. Zugleich dreht sich die Simson – Gerade mit gleicher Geschwindigkeit um ein sich kontinuierlich bewegendes Drehzentrum. Tatsächlich hüllen die Simson – Geraden eine wunderschöne symmetrische Kurve ein, die man Deltoid oder Steinersche Hypozykloide nennt [2]. Betrachten wir Abbildung 5: Abbildung 5 Wir haben nun zusätzlich die Geraden HP, D'P (welche BC in Q) und HG, die PU in V schneidet. Da sowohl HD' als auch PV auf BC senkrecht stehen, ergibt sich aus der Gleichung HD=DD', dass die Dreiecke QHD' und QPV gleichschenklig sind. Mit anderen Worten: HV ist das Spiegelbild von D'P an der Geraden BC. Wegen \measuredangle\ D'HV=\measuredangle\ PVH=\measuredangle\ D'PU=\measuredangle\ D'AU ist die Gerade HV parallel zu AU, von der wir bereits wissen, dass sie parallel zu Simson - Geraden ist. Schließlich betrachten wir das Dreieck \DeltaPHV und bemerken, dass die Simson - Gerade A_1 B_1 zur Seite HV parallel ist und die Seite PV in A_1 halbiert. Daher muss sie auch die verbleibende Seite PH halbieren. \darkblue\black\frame\black\big\ \darkblue\ Satz 2: Die Simson - Gerade eines Punktes (auf dem Umkreis) halbiert die Verbindungsstrecke dieses Punktes mit dem Höhenschnittpunkt.

4 Abschluss

Es gibt noch viel mehr Eigenschaften über die Simson – Gerade. Aber da der Artikel nicht allzu lang werden soll, werde ich es dabei belassen. Ich hoffe ich konnte euch zeigen, dass eine Gerade, in unserem Fall die Simson – Gerade, sehr viele Eigenschaften haben kann und man mit Hilfe dieser andere Sätze, wie zum Beispiel den Satz von Ptolemaeus, beweisen kann. Im folgenden siebten Teil werden wir weitere wichtige und schöne, vielleicht auch vergessene Sätze abarbeiten. Zum Beispiel die Formel von Brahmagupta. Weiterhin werden wir auf Napoleon Dreiecke eingehen.

5 Literatur

Alle Sätze und Beweise habe ich folgendem Buch entnommen: [1] Coxeter, H. S. M., und S. L. Greitzer: Zeitlose Geometrie, Stuttgart, 1983 [2] E. H. Lockwood: A Book of Curves. Cambridge University Press, 1961, Cambridge Euer Florian Modler

Trennlinie

-> Vergessene Sätze am Dreieck (Teil 1): Satz von Ceva und Menelaus und Sinussatz
-> Exkurs: Merkwürdige Punkte und Geraden am Dreieck
-> Vergessene Sätze am Dreieck (Teil 2): Satz von Stewart und Satz von Steiner und Lehmus
-> Vergessene Sätze am Dreieck (Teil 3): Satz von Pappus und Desargues
-> Vergessene Sätze am Dreieck (Teil 4): Der Satz von Carnot
-> Vergessene Sätze am Dreieck (Teil 5): Die Eulersche Gerade und der Neunpunktekreis
-> Vergessene Sätze am Dreieck (Exkurs): Potenz eines Kreises

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Die Simson - Gerade [von FlorianM]  
Artikel über die Simson - Gerade und den Satz von Ptolemeaus. Der 6. Teil der Serie "Vergessene Sätze am Dreieck."
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"Mathematik: Die Simson - Gerade" | 7 Comments
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Re: Die Simson - Gerade
von: philippw am: Mi. 25. April 2007 17:34:25
\(\begingroup\)Ein sehr schöner Artikel, und sehr informativ. Das einzige, was mir bekannt war, ist der Satz des Ptolemäus. Gruß, Philipp\(\endgroup\)
 

Re: Die Simson - Gerade
von: FlorianM am: Sa. 28. April 2007 13:52:25
\(\begingroup\)Hi Philipp, vielen Dank für den netten Kommentar. Es zeigt aber auch, dass die Geometrie in der Schule viel zu kurz kommt. 😄 Gruss Florian\(\endgroup\)
 

Re: Die Simson - Gerade
von: Bernhard am: Fr. 04. Mai 2007 13:23:03
\(\begingroup\)Da hast Du recht! Aber, nimm mal an, jemand würde sich heutzutage mit Zirkel und Lineal dranbegeben und solche Sachen auszutüfteln versuchen - hätte der Chance auf die Fields-Medaille oder ähnliches ??? Gerade deshalb vielen Dank an "den Einen", der das hier noch wach hält - Florian! Bernhard\(\endgroup\)
 

Re: Die Simson - Gerade
von: briefkasten am: Sa. 12. Mai 2007 17:38:04
\(\begingroup\)Wow, wieder ein super Artikel 😉 Danke Florian...\(\endgroup\)
 

Re: Die Simson - Gerade
von: FlorianM am: Fr. 28. September 2007 17:05:01
\(\begingroup\)Hallo, verspätet noch herzlichen Dank für die netten Kommentare. :) Gruss Florian\(\endgroup\)
 

Re: Die Simson - Gerade
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 30. Juni 2011 00:30:37
\(\begingroup\)Hallo, warum ist PB1A1C ein sehnenviereck \(\endgroup\)
 

Re: Die Simson - Gerade
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 26. April 2014 14:23:00
\(\begingroup\)Super Artikel! Könnte mir jemand trotzdem einen Ansatz für den Beweis des Lemmas zu den Seitenlängen des Dreiecks geben? Ich komme leider auch nach mehreren Überlegungen nicht drauf. 😵 \(\endgroup\)
 

 
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