Mathematik: Determinanten koordinatenfrei
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Section Kopf
Title Determinanten koordinatenfrei
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Section 2
Title Alternierende Abbildungen
Created 2015-08-05 12:11:49 by Martin_Infinite [Änderungshistorie]
contains 11873 Bytes

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Section 3
Title Determinate
Created 2015-08-06 17:20:44 by Martin_Infinite [Änderungshistorie]
contains 3478 Bytes

16346 charactes in tolal


Section 4
Title Eigenschaften der Determinante
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25769 charactes in tolal


Section 5
Title Leibniz-Formel
Created 2015-08-06 17:30:41 by Martin_Infinite [Änderungshistorie]
contains 4467 Bytes

30236 charactes in tolal


Section 5
Title Beispiele
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38147 charactes in tolal

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"Mathematik: Determinanten koordinatenfrei" | 16 Comments
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Re: Determinanten koordinatenfrei
von: dromedar am: Mi. 09. September 2015 15:33:22
\(\begingroup\)Ich hatte das Glück, die Determinante in einer LA-Vorlesung kennenzulernen, wo sie als $n$-te äußere Potenz einer Abbildung eingeführt wurde, und freue mich über jeden Versuch, einer koordinatenfreien Sichtweise zu weiterer Verbreitung zu verhelfen. Dass diese Sichtweise nicht nur schön, sondern auch praktisch anwendbar ist, zeigt Satz 4 in Verbindung mit Beispiel D sehr eindrucksvoll. Grüße, dromedar\(\endgroup\)
 

Re: Determinanten koordinatenfrei
von: sbechtel am: Do. 10. September 2015 08:31:34
\(\begingroup\)Mir hat der Artikel sehr gut gefallen und ich kann dem Ansatz viel abgewinnen. Dieses Rumgewusel mit Matrizen nimmt zuweilen so absurde Züge an, dass die Studenten nicht richtig wissen, was ein Vektorraum oder eine lineare Abbildung ist, aber sie Matrizen multiplizieren können...\(\endgroup\)
 

Re: Determinanten koordinatenfrei
von: jarhat am: Sa. 12. September 2015 11:29:10
\(\begingroup\)Ich habe ein wenig Startschwierigkeiten beim Lesen. Es heißt bei 1.) am Anfang " Es sei K ein fixierter Körper"; ist das "fixiert" im Sinne von "fest" gemeint 😵 . Die Formulierung lässt sich sonst nur selten finden und dann ohne Erklärung. Ich bin jedenfalls bisweilen "Es sei K ein Körper" gewohnt."\(\endgroup\)
 

Re: Determinanten koordinatenfrei
von: Martin_Infinite am: Sa. 12. September 2015 18:03:01
\(\begingroup\)Entschuldige. Du kannst es als "Sei K ein fester Körper" lesen. Ich hatte mal Vorlesungen bei einem Professor, der immer alles "fixiert" hat. Die Formulierung hat mir immer sehr beim Verständnis geholfen. Mir ist eigentlich klar, dass sie eher unüblich ist. Ich hatte es nur vergessen. Vielleicht ist es auch nur eine unglückliche Übersetzung von "Let K be a fixed field", was im Englischen durchaus üblich ist.\(\endgroup\)
 

Re: Determinanten koordinatenfrei
von: pasch am: So. 13. September 2015 12:28:13
\(\begingroup\)Hallo, schöner Artikel! Leider war meine Vorlesung zur linearen Algebra - sagen wir mal - nicht so gut. Insgesamt erscheint mir dieser Ansatz am Sinnvollsten. Hierzu kann ich auch dieses Skript empfehlen. Ich frage mich gerade, ob man beispielsweise die Formel von Binet-Cauchy auch ohne Rechnungen beweisen kann. Kennt da jemand etwas? Viele Grüße pasch\(\endgroup\)
 

Re: Determinanten koordinatenfrei
von: Martin_Infinite am: So. 13. September 2015 13:35:06
\(\begingroup\)Das Skript von M. Ziegler fängt ja ebenfalls mit Formen an und erwähnt auch die Funktorialität bez. linearer Abbildungen (Lemma 4.2.2). Aber dann wird seltsamerweise die Determinante nur für Matrizen definiert. Die Definition für Endomorphismen kommt erst viel später und arbeitet, wie üblich, mit Darstellungsmatrizen. Alles unnötig kompliziert, in meinen Augen. Der Unterschied zwischen meinem Ansatz und den übrigen Ansätzen mit Formen (oder eben äußeren Produkten) ist, dass man keine Permutationen und auch nicht ihre Signatur kennen muss. Die Signatur und auch die Leibniz-Formel ergeben sich aus der Theorie. Der übliche Aufwand wird mittels Satz 1 auf ein Minimum reduziert. Über die Cauchy-Binet-Formel werde ich mal nachdenken. Aber momentan fällt mir nicht einmal eine koordinatenfreie Formulierung ein. Für die Formel gibt es allerhand schöne Beweise. Zum Beispiel findest du in Kapitel 25 im Buch der Beweise einen graphentheoretischen Beweis.\(\endgroup\)
 

Re: Determinanten koordinatenfrei
von: dromedar am: So. 13. September 2015 21:44:38
\(\begingroup\)Vielleicht ist der Beweis der Cauchy-Binet-Formel in diesem Artikel in diesem Zusammenhang interessant.\(\endgroup\)
 

Re: Determinanten koordinatenfrei
von: Martin_Infinite am: So. 13. September 2015 22:36:48
\(\begingroup\)@dromedar: Danke für den Link! Das beantwortet ja die Frage von pasch und zeigt ebenfalls eindrucksvoll, wie die koordinatenfreie Sichtweise Dinge vereinfacht. Wobei aber die Aussage der Cauchy-Binet-Formel dort immer noch die Wahl einer Basis vorab beinhaltet. Vielleicht ist das aber auch die Natur der Sache. Im Artikel wird der Raum der $n$-Formen $\Lambda^n(V)$ genannt. Das ist nicht richtig (bzw. passt nicht zur kanonischen Notation). Der Raum der $n$-Formen ist der Dualraum der äußeren Potenz, also $\Lambda^n(V)^*$. Ich habe mir hier die Notation $\mathrm{A}_n(V)$ dafür ausgedacht.\(\endgroup\)
 

Re: Determinanten koordinatenfrei
von: Dune am: Mo. 14. September 2015 13:40:04
\(\begingroup\)Hi Martin, danke für diesen schönen Artikel! Ich suche schon lange nach einer Quelle, in der diese Theorie konsequent koordinatenfrei behandelt wird. Freut mich, dass du dich jetzt diesem Thema angenommen hast. :) Die Verwendung von Satz 4 in den nachfolgenden Beweisen ist natürlich sehr elegant, aber ich finde es auch ein klein wenig schade, da dadurch immer implizit der Basisergänzungssatz mit eingeht und sich die Beweise dann (vermutlich?) nicht mehr für freie Moduln über beliebigen kommutativen Ringen verallgemeinern lassen. Kennst du zufällig eine Quelle, in der Determinanten über beliebigen kommutativen Ringen koordinatenfrei behandelt werden? Ich bin besonders an einem koordinatenfreien Beweis für Cayley-Hamilton interessiert. Viele Grüße, Dune\(\endgroup\)
 

Re: Determinanten koordinatenfrei
von: KidinK am: Mo. 14. September 2015 14:23:24
\(\begingroup\)Ich schließe mich Dunes Wünschen an 😄 Was Cayley-Hamilton angeht, habe ich hier schon einmal eine Frage gestellt. Liebe Grüße, KidinK\(\endgroup\)
 

Re: Determinanten koordinatenfrei
von: dromedar am: Mo. 14. September 2015 14:23:53
\(\begingroup\)@Dune: Schau mal in Kapitel 28 von Paul Garretts Skript Abstract Algebra .\(\endgroup\)
 

Re: Determinanten koordinatenfrei
von: Dune am: Mo. 14. September 2015 14:35:42
\(\begingroup\)@dromedar: Danke für den Link! Ich habe mir dieses Skript tatsächlich vor einiger Zeit schon einmal angeschaut, bin aber zu dem Schluss gekommen, dass der Beweis nicht vollständig über beliebigen kommutativen Ringen funktioniert (korrigiere mich bitte, wenn ich falsch liege). Zum Beispiel wird glaube ich nicht hinreichend begründet, warum die Multiplikation der Adjunkten eines Endomorphismus mit diesem selbst von links wie von rechts das gleiche ergibt (über einem Körper ist das auch nicht wichtig). @KidinK: Das ist auch sehr interessant! Aber ich vermute einmal, dass die dort verwendete Form von Nakayamas Lemma ebenfalls nicht ganz elementar (z.B. ohne Determinanten) zu beweisen ist?\(\endgroup\)
 

Re: Determinanten koordinatenfrei
von: dromedar am: Mo. 14. September 2015 14:48:18
\(\begingroup\)@Dune: Das Skript erfüllt nur einen Teil Deiner Wünsche: - Determinanten werden über kommutativen Ringen koordinatenfrei eingeführt - Cayley-Hamilton wird koordinatenfrei bewiesen Allerdings beschränkt sich der Beweis von Cayley-Hamilton explizit auf Vektorräume.\(\endgroup\)
 

Re: Determinanten koordinatenfrei
von: Dune am: Fr. 18. September 2015 10:28:49
\(\begingroup\)Bourbaki behandelt die gesamte Determinantentheorie über kommutativen Ringen koordinatenfrei (Algebra, Kapitel 3). Da hätte ich aber auch schon früher drauf kommen können...\(\endgroup\)
 

Re: Determinanten koordinatenfrei
von: Martin_Infinite am: Fr. 18. September 2015 11:57:50
\(\begingroup\)Dune, Danke dir für den Hinweis. Die genaue Referenz ist: N. Bourbaki, Algebra I: Chapters 1-3. Determinanten sind das Thema von Kapitel 3, Paragraph 8. Satz 4 gilt auch über kommutativen Ringen: Hat man eine exakte Sequenz $\begin{tikzcd}0 \ar{r} & U \ar{r} & V \ar{r} & W \ar{r} & 0 \end{tikzcd}$ von endlich-erzeugten projektiven Moduln (die ja dann spaltet!), und ein kommutatives Diagramm $\begin{tikzcd} 0 \ar{r} & U \ar{d}{g}\ar{r} & V \ar{d}{f}\ar{r} & W \ar{d}{h}\ar{r} & 0 \\ 0 \ar{r} & U \ar{r} & V \ar{r} & W \ar{r} & 0, \end{tikzcd}$ so gilt $\det(f)=\det(g) \cdot \det(h)$.\(\endgroup\)
 

Re: Determinanten koordinatenfrei
von: pasch am: Mo. 05. Oktober 2015 22:13:04
\(\begingroup\)Hallo Martin, ja, im Skript von Ziegler wird nicht in aller Konsequenz koordinatenfrei gearbeitet. Jedoch finde ich es dennoch sehr gut gemacht. Einerseits ist dies eine Vorlesung für Anfänger und so ist es halt auch gestaltet. Möglicherweise liegt es aber auch daran, dass meine Vorlesung zur linearen Algebra regelrecht eine Katastrophe war. Danke an dromedar für den Hinweis auf den Artikel. Wenn ich Zeit finde, werde ich mir das ansehen. Viele Grüße pasch \(\endgroup\)
 

 
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