Stern Mathematik: Eine Methode zur Berechnung von Galoisgruppen
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Section Kopf
Title Eine Methode zur Berechnung von Galoisgruppen
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Section 1
Title Zwei Faktoren zur Galoisgruppe
Created 2017-01-15 17:02:49 by Triceratops [Änderungshistorie]
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2724 charactes in tolal


Section 2
Title Ein notwendiges Kriterium
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contains 5516 Bytes

8240 charactes in tolal


Section 3
Title Die Methode
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11841 charactes in tolal


Section 4
Title Drei Beispiele
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Section 5
Title Die Gruppenstruktur
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22208 charactes in tolal


Section 6
Title Ein komplizierteres Beispiel
Created 2017-01-15 20:42:15 by Triceratops [Änderungshistorie]
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24794 charactes in tolal


Section 7
Title Die Galoisgruppe eines Polynoms
Created 2017-01-15 17:09:27 by Triceratops [Änderungshistorie]
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29425 charactes in tolal

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"Stern Mathematik: Eine Methode zur Berechnung von Galoisgruppen" | 4 Comments
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Re: Eine Methode zur Berechnung von Galoisgruppen
von: Ex_Mitglied_14242 am: Sa. 21. Januar 2017 23:35:23
\(\begingroup\)\quoteon und wegen der Relation $a^2+b^2=2$ kann ein $\mathds{Q}$-Homomorphismus zum Beispiel nicht $a$ und $b$ beide auf $a$ oder $-a$ schicken, weil ansonsten $a^2+a^2=2$ folgen würde, was absurd ist \quoteoff Gut. $a->a, b->a$, wäre ein Epimorphismus in Q. Aber kein Q-Automorphismus. Den führst du erst später ein. Sicher hat $a^2+a^2 =2$ Lösungen für a wenn a unbekannt ist. Der Term $a^2+b^2 =2 $ bleibt jedoch nur durch Automorphismen der Galoisgruppe invariant rational, und in diesen ist $a->a, b->a$ oder irgendeine Fortsetzung nicht enthalten. sonst super ! Danke! Jürgen \(\endgroup\)
 

Re: Eine Methode zur Berechnung von Galoisgruppen
von: weird am: So. 22. Januar 2017 08:19:44
\(\begingroup\)Ja, ein sehr schöner Artikel, welcher viele grundsätzliche Probleme der Galoistheorie anspricht und sie dann auch auf eine sehr schlüssige Weise behandelt! Besonders gefallen hat mir naturgemäß der Kernsatz darin: Es ist $\mathrm{Gal}(f)$ zur Untergruppe von $\mathrm{Sym}(\{a_1,\dotsc,a_n\})$ isomorph, die aus den Permutationen besteht, welche die algebraischen, also polynomiellen Relationen zwischen den Nullstellen $a_1,\dotsc,a_n$ erhalten. Für mich besteht ja Galoistheorie - zumindestens wenn man sie "bottom up" und nicht "top down" betreibt - zu einem guten Teil einfach darin, einen "Minimalsatz" von solchen polynomiellen Relationen zwischen den Nullstellen des Polynoms zu finden, von denen hier die Rede ist.\(\endgroup\)
 

Re: Eine Methode zur Berechnung von Galoisgruppen
von: Triceratops am: Mi. 25. Januar 2017 11:03:09
\(\begingroup\)@Jürgen: Ich weiß nicht, was du mit "Epimorphismus in Q" meinst. Du hast aber recht, dass diese Vorschrift der Injektivität von Körperhomomorphismen widerspricht und daher sofort ausgeschlossen werden kann. Vielleicht werde ich das noch ergänzen. Die Gleichung $a^2+a^2=2$ ist in dem Kontext deshalb absurd, weil sie $a = \pm 1$ implizeren würde, aber per Definition $a = \sqrt{1+\sqrt{2}}$ gilt. Deinen letzten Satz "Der Term ... nicht enthalten." verstehe ich nicht. @weird: Eigentlich war es gar nicht mein Anliegen, die grundsätzlichen Probleme der Galoistheorie anzusprechen, denn dazu gehört auch die Theorie der algebraischen, normalen und separablen Erweiterungen, die aber für die Berechnung von Automorphismengruppen, die im Spezialfall von Galoiserweiterungen dann Galoisgruppen genannt werden, keine so tragende Rolle spielt. Tatsächlich war ein solcher Artikel, der die Galoistheorie von Grund auf entwickelt, bereits in Planung, mit dem besonderen Merkmal, dass Körpererweiterungen als Homomorphismen $K \to L$ definiert werden – die einzige Definition, die der Galoistheorie in Theorie und Praxis gerecht werden kann, bisher aber kaum verwendet wird. Aber der Artikel wurde zu lang und unterschied sich nicht wesentlich von Boschs Algebra-Buch. Daher habe ich mich auf eine Methode zur Berechnung von Galoisgruppen konzentriert, die ich zwar für Standard halte bzw. hielt, aber meiner Erfahrung nach öfters zu kurz kommt. Der letzte Abschnitt des Artikels ist tatsächlich nur aufgrund deiner Bitte im Forum entstanden. Er bricht leider etwas mit der Methodik des restlichen Artikels, aber es spricht schon einiges dafür, diese Sichtweise der Vollständigkeit halber zu erwähnen. Ich weiß nicht, ob der von dir so bezeichnete Kernsatz für die effiziente Bestimmung von Galoisgruppen geeignet ist. Vor allem bei komplizierten Polynomen wüsste ich nämlich nicht, wie ich algebraische Gleichungen zwischen den Nullstellen herausfinden könnte, die eine ausreichende Einschränkung der Permutationen darstellen, ohne das mathematische Genius eines Lagrange, Galois oder Ramanujan zu besitzen.\(\endgroup\)
 

Re: Eine Methode zur Berechnung von Galoisgruppen
von: rofler am: Do. 26. Januar 2017 05:51:29
\(\begingroup\)Vielleicht könntest du noch etwas zu Grothendiecks Galoistheorie (SGA 1) schreiben?\(\endgroup\)
 

 
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