Mathematik: Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz
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Mathematik

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ggT}{\mathbb{ggT}}\)

Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz

Hallo, in diesem Artikel soll es um folgende Fragestellung(en) gehen. (1) Lässt sich der Sinussatz mit Hilfe des Kosinussatzes beweisen? (2) Lässt sich der Kosinussatz mit Hilfe des Sinussatzes beweisen? (3) Sind beide Sätze sogar äquivalent? Die Antwort: Beide Sätze sind äquivalent. Anmerkung: Wir reden hier von Dreiecken in der Ebene. Der Beweis ist, wie man erwarten darf, simpel. Die Aussage als solche dennoch erwähnenswert.

Setup

Wir wollen hier weder den Sinussatz noch den Kosinussatz beweisen. Dazu gibt es bereits unzähliges. Wir werden im Beweis ein Additionstheorem für den Kosinus verwenden, welches ich ebenfalls als bekannt voraussetze. Außerdem machen wir Gebrauch von einfachen Symmetrieeigenschaften. Wie wollen wir den Beweis führen? Wir starten dafür mit dem s. g. "Projektionssatz".

Projektionssatz

1.1 Projektionssatz: In einem Dreieck mit herkömmlichen Bezeichnungen gilt uneingeschränkt: \[\begin{equation} \label{1} a = b\cos(\gamma) + c\cos(\beta) \end{equation}\] Beweis: Klar. $\checkmark$

Beweis des Theorems

Quadrieren von ($\ref{1}$) und trigonometrischer Pythagoras führt zunächst zu: \[\begin{equation} a^2 = b^2 + c^2 + 2bc \cos(\beta)\cos(\gamma) -b^2 \sin^2(\gamma) - c^2 \sin^2(\beta) \end{equation}\] Addition einer 0 in der Form \[\begin{equation} 0 = 2bc \sin(\beta)\sin(\gamma) - 2bc \sin(\beta)\sin(\gamma) \end{equation}\] führt mit Hilfe der binomischen Formel zu \[\begin{equation} a^2 = b^2 + c^2 + 2bc \left[ \cos(\beta)\cos(\gamma)-\sin(\beta)\sin(\gamma) \right] -\left( b\sin(\gamma) - c\sin(\beta) \right)^2 \end{equation}\] In der eckigen Klammer erkennen wir das Additionstheorem für den Kosinus und erhalten mit der Innenwinkelsumme für Dreiecke zunächst: \[\begin{equation} a^2 = b^2 + c^2 + 2bc \cos(180^\circ - \alpha) -( b\sin(\gamma) - c\sin(\beta) )^2 \end{equation}\] Schließlich finden wir wegen der Symmetrie \[\begin{equation} a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha) -( b\sin(\gamma) - c\sin(\beta) )^2 \end{equation}\] Ein scharfer Blick verrät, dass wir hier sowohl den Kosinussatz als auch den Sinussatz in diesem Ausdruck wieder finden. D. h.

Finales Argument

Gilt in einem Dreieck der Sinussatz, dann gilt auch der Kosinussatz, denn nach Voraussetzung (Sinussatz) ist \[\begin{equation} b\sin(\gamma) - c\sin(\beta) = 0 \end{equation}\] und demnach bleibt \[\begin{equation} a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha) \end{equation}\] Und das ist exakt der Kosinussatz. Umgekehrt überlegt man analog.

Abschließende Bemerkungen

Ich habe diesen Zusammenhang noch in keinem Schulbuch gesehen. Sinussatz und Kosinussatz werden komplett getrennt voneinander behandelt. Dabei liegt es doch in der Natur eines Mathematikers nach Zusammenhängen zu fragen. Auch wenn das jetzt vielleicht nicht die anspruchvollste Beziehung ist, bin ich dennoch der Meinung, dass sie hier einen Platz verdient. Danke für´s Lesen. :)
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"Mathematik: Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz" | 19 Comments
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Re: Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz
von: Slash am: Fr. 29. Januar 2021 09:08:47
\(\begingroup\)Hi easymathematics, nur etwas zur Darstellung des mathematischen Textsatzes um die Lesbarkeit zu verbessern: Die äußeren Klammern kannst du mit \big vergrößern. sin und cos würde ich ein Leerzeichen oder \cdot voranstellen, wenn Variablen davor stehen. Beispiel: \[\begin{equation} a^2 = b^2 + c^2 + 2bc \cdot cos(\alpha) -\big( b \cdot sin(\gamma) - c\cdot sin(\beta) \big)^2 \end{equation}\] Gruß, Slash\(\endgroup\)
 

Re: Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz
von: zippy am: Fr. 29. Januar 2021 10:05:39
\(\begingroup\)Das Problem ist hier nicht, dass irgendwelche Leerzeichen fehlen, sondern dass sin und cos gar nicht als Funktion erkennbar sind: a = b cos(\gamma) + c cos(\beta) $\quad\longrightarrow \quad$ $a = b cos(\gamma) + c cos(\beta)$ a = b \cos(\gamma) + c \cos(\beta) $\quad\longrightarrow \quad$ $a = b \cos(\gamma) + c \cos(\beta)$\(\endgroup\)
 

Re: Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz
von: Diophant am: Fr. 29. Januar 2021 10:21:09
\(\begingroup\)Hallo zusammen, eigentlich ist die Kommentarfunktion ja für inhaltliche Diskussionen über Artikel gedacht. 😄 Für solche technischen Sachen gibt es auf dem MP ein mittlerweile wohl etwas in Vergessenheit geratenes Feature: den Änderungsvorschlag. @easymathematics: Ich habe dir einen solchen Änderungsvorschlag gesendet, der die bisher angeregten Verbesserungen enthält bzw. umsetzt. Schau ihn dir durch: wenn du damit einig bist, brauchst du nichts weiter zu tun, als per Mausklick zuzustimmen. Dann wird die neue Version zeitnah freigeschaltet. Gruß, Diophant\(\endgroup\)
 

Danke!
von: easymathematics am: Fr. 29. Januar 2021 11:25:30
\(\begingroup\)Vielen lieben Dank an alle. :) Es tut mir leid für die Anfänger-Fehler. :D\(\endgroup\)
 

Re: Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz
von: Squire am: Sa. 30. Januar 2021 10:04:25
\(\begingroup\)Der Kosinussatz lautet nicht, wie in (8) behauptet, $a^2 = b^2 + c^2 + 2bc \cos(\alpha)$ sondern $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha)$ Der Fehler liegt beim Übergang von (5) zu (6); es gilt nämlich $\cos(\pi-x)=-\cos{x}$. Grüße Squire\(\endgroup\)
 

Re: Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz
von: Diophant am: Sa. 30. Januar 2021 11:09:56
\(\begingroup\)@Squire: Es steht doch richtig ein Minuszeichen an der von dir erwähnten Stelle. Vielleicht wurde es ja mittlerweile korrigiert, aber jedenfalls steht der Kosinussatz unter (8) schon korrekt da. Gruß, Diophant\(\endgroup\)
 

Re: Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz
von: Squire am: Sa. 30. Januar 2021 11:35:23
\(\begingroup\)@Diophant: (6) und (8) wurden von Autor/in mittlerweile korrigiert. Grüße Squire \(\endgroup\)
 

Re: Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz
von: traveller am: Sa. 30. Januar 2021 15:53:52
\(\begingroup\)Hallo, Das Argument leuchtet mir nicht ein. Man kann ja alle Gleichungen in die Form "$=0$" bringen und dann addieren, auch wenn sie nichts miteinander zu tun haben, etwa $$E_\text{kin}-\frac{m}{2}v^2=c^2-a^2-b^2\enspace.$$ Das macht sie noch lange nicht äquivalent. Zum Beweis des Sinussatzes benötigt man einzig die Definition des Sinus (man betrachtet eine gemeinsame Höhe), beim Beweis des Cosinussatzes braucht man üblicherweise neben der Definition des Cosinus noch den Satz des Pythagoras. Diese Voraussetzungen benötigst du alle auch (und zusätzlich mit dem Additionstheorem noch ein recht schweres weiteres Geschütz). Ich bin nicht so sicher ob deine Umformungen nicht vielleicht einfach insgeheim beide Sätze separat beweisen und aufaddieren. Ausserdem ist es doch auch seltsam, dass man für diese schwächere Äquivalenzaussage mehr Beweisschritte benötigt, als für die Beweise von Sinus- und Cosinussatz zusammen.\(\endgroup\)
 

Re: Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz
von: Kezer am: Sa. 30. Januar 2021 16:08:15
\(\begingroup\)Ich glaube nicht, dass die Kommentarfunktion dafür gedacht ist, LaTeX Verbesserungen und einfache Rechenfehler anzumerken. Wie Diophant schon vorgeschlagen hat, gibt es hierfür ein Feature vom MP und man kann kleine Fehler auch per PM erklären. :p Das Resultat finde ich nett. Ich kannte es noch nicht, obwohl ich in der Schulzeit sehr viel zur Elementargeometrie gelesen habe. Danke für den Artikel! @traveller Der Beweis ist schon richtig. Die Äquivalenz wird im "finalen Argument" erklärt.\(\endgroup\)
 

Re: Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz
von: traveller am: Sa. 30. Januar 2021 16:15:42
\(\begingroup\)Dass der Beweis und das Resultat richtig sind bezweifle ich nicht, sondern ob die "Äquivalenz" nicht eine triviale ist wie in meinem Beispiel. Dass die gleichen Voraussetzungen (und mit dem Additionstheorem noch eine weitere) benutzt werden, um auf mehr Zeilen eine schwächere Aussage zu beweisen als Sinus- und Cosinussatz sollte doch stutzig machen.\(\endgroup\)
 

Re: Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz
von: easymathematics am: Sa. 30. Januar 2021 18:17:26
\(\begingroup\)Wie viele Schritte notwendig sind spielt doch erstmal nicht wirklich eine Rolle. Es ist ein nettes Resultat mehr nicht. Was genau sollte mich also stutzig machen? Und eine geschickte 0 zu addieren ist überhaupt kein Problem. Ich sehe nix Verwerfliches. Und ich denke, Du solltest den Beweis nochmal in Ruhe nachvollziehen. Dein Beispiel geht völlig am Thema vorbei.\(\endgroup\)
 

Re: Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz
von: MartinN am: Mo. 01. Februar 2021 12:06:52
\(\begingroup\)Wäre das "Finale Argument" nicht eher... Wenn in einem Dreieck der Projektionssatz, die Innenwinkelsumme und der Sinussatz gelte, dann gilt auch der Cosinussatz. Schließlich baut der Beweis auf diese 4 Sätze in einen Dreieck auf... Der Rest (Additionstheoreme, trigonometrischer Pythagoras) eher grundlegende Eigenschaften der Winkelfunktionen. Ist halt die Frage ob man wirklich so viele Sätze für den Zusammenhang benötigt... \(\endgroup\)
 

Re: Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz
von: Triceratops am: Mo. 01. Februar 2021 14:51:55
\(\begingroup\)... zumal aus dem Projektionssatz auch sofort der Kosinussatz folgt (siehe Wikipedia etwa, Trigonometrischer Beweis) und umgekehrt. Der Sinussatz ist hier eher ein Umweg.\(\endgroup\)
 

Re: Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz
von: MartinN am: Mo. 01. Februar 2021 19:25:38
\(\begingroup\)Und aus der "Innenwinkelsumme" (im Sinne von dass man ein Dreieck in 2 sich berührende rechtwinklig Dreiecke teilen kann) folgt der Sinussatz 🤔\(\endgroup\)
 

Re: Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz
von: mga010 am: Sa. 20. Februar 2021 11:19:51
\(\begingroup\)Der "trigonometrische Beweis" auf Wikipedia ist ziemlich ähnlich, kommt aber ohne explizites Additionstheorem aus. https://de.wikipedia.org/wiki/Kosinussatz\(\endgroup\)
 

Re: Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz
von: easymathematics am: Sa. 20. Februar 2021 22:43:06
\(\begingroup\)Hallo mga010, es ging ja nicht darum, den Kosinussatz zu beweisen, sondern die Äquivalenz von Sinus- und Kosinussatz zu beweisen.\(\endgroup\)
 

Re: Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz
von: StefanVogel am: Sa. 27. Februar 2021 08:13:37
\(\begingroup\)Auch ganz ohne geometrischen Bezug folgt aus dem Sinussatz der Kosinussatz: Für fünf beliebige reelle Zahlen \(a, b, c, \alpha, \beta\) gilt, wenn \(\dfrac{a}{\sin(\alpha)} = \dfrac{b}{\sin(\beta)} = \dfrac{c}{\sin(180° - \alpha - \beta)}\) dann \(c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \cos(180° - \alpha - \beta)\). Zur Abkürzung \(\gamma = 180° - \alpha - \beta\) schreiben kann man unabhängig davon, ob das in einem geometrischen Objekt gilt oder nicht.\(\endgroup\)
 

Re: Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz
von: Wario am: Do. 01. April 2021 11:27:15
\(\begingroup\)Guter Artikel. Interessante Betrachtungsweise. Gewissermaßen auch mutig einen solchen Artikel zu schreiben, da bei solchen weniger schweren Themen plötzlich jeder ein Experte ist und sich berufen fühlt, Kommentare / Kritiken / ... zu hinterlassen, die man sich dann anzuhören hat. Daher hätte ich es auch gelassen, nur als Tip: (1) Du darfst m.E. ruhig ("übertrieben") ausführlich sein. Wenn Du z.B. "trigonometrischer Pythagoras" erwähnst, dann schreibe diesen auch aus. Ein Mittelstufenschüler kann den Artikel gut lesen, wenn er aber den Begriff nicht kennt, ist die Sache an der Stelle für ihn erledigt. (2) "Beweis: klar ABHAKUNG" ist m.E. kein schöner Stil. Ich würde an der betreffenden Stelle schreiben: Beweis: Der Projektionssatz folgt ohne Weiteres aus folgender Abbildung. $ \begin{tikzpicture}[%scale=0.7, font=\footnotesize, background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle, Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} }, Dreieck/.style={thick}, ] \pgfmathsetmacro{\a}{3} \pgfmathsetmacro{\b}{3.5} \pgfmathsetmacro{\c}{4} \pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} % Dreieckskonstruktion \coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0); \coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0); \coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b); \draw (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen % Seiten \draw[thick] (B) -- (C) node[near end, right]{$$}; \path[] (A) -- (C) node[midway, left]{$b$}; \path[] (A) -- (B) node[midway, below]{$c$}; % Höhen einzeichnen \draw[] (A) -- ($(B)!(A)!(C)$) coordinate[Punkt={right}{H_a}] (Ha); % Winkel \draw pic [angle radius=0.1*\a cm, %angle eccentricity=1.2, draw, "$\cdot$" ] {angle =A--Ha--B}; \draw pic [angle radius=0.175*\a cm, %angle eccentricity=1.2, draw, "$\gamma$" ] {angle =A--C--B}; \draw pic [angle radius=0.175*\a cm, %angle eccentricity=1.2, draw, "$\beta$" ] {angle =C--B--A}; % Punkte \foreach \P in {Ha} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt); \end{tikzpicture} $ (3) Die Gepflogenheiten des Formelsatzes wurden bereits erwähnt. \(\endgroup\)
 

Re: Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz
von: easymathematics am: Mo. 05. April 2021 20:50:07
\(\begingroup\)Hallo Wario, vielen Dank für Deinen Hinweis. Daran habe ich nicht gedacht. Ich werde Deine Ergänzungen berücksichtigen und ausbessern! Danke dafür. :)\(\endgroup\)
 

 
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