Mathematik: Nachtrag zum Pi-Tag: Der Fehler von Archimedes
Released by matroid on Mo. 05. April 2021 20:51:12 [Statistics]
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Mathematik

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ggT}{\mathbb{ggT}}\)

Nachtrag zum Pi-Tag: Der Fehler von Archimedes

In diesem Artikel soll es - anlässlich des Pi-Tags - um einen historischen Meilenstein in der Mathemtatik gehen. Aber "Fehler" und "Archimedes" in einer Überschrift? Wenn jemand 250 v. C. nur mit Stift und Papier die ein oder andere Nachkommastelle von Pi berechnet, können wir dann von "Fehler" reden? Ja! Aber in einem anderen Sinne. Es soll darum gehen ein Gefühl dafür zu bekommen, wie aufwendig sein Vorhaben gewesen sein muss, um diese faszinierende Präzision (bezogen auf seine Zeit) zu bekommen. Vorweg: Der exakte Wert seines 96-Ecks (einbeschrieben) lautet: \[ 48 \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} }} = 3,141031...\] Die Näherung von Archimedes: \[ 3,140845... \] Anders gesagt: Der relative Fehler bezogen auf sein 96-Eck liegt knapp unter 0,006 %. Der relative Fehler zu \(\pi\) liegt knapp über 0,02. Wir wollen in diesem Zusammenhang versuchen, folgende zwei Fragen zu klären. a) Wie konnte Archimedes Rundungsfehler nahezu vermeiden? b) In welcher Zeit ist diese Leistung bei einem gemütlichen Kaffee zu schaffen? Reden wir von Stunden? Von Tagen? Von Wochen? Ja, der Pi-Tag liegt bereits eine gewisse Zeit zurück. Ich bin frischer Vater und da klappen dann solche Planungen dann doch nicht, wie man es möchte. Um Gottes Willen, besser später als nie. Ich freue mich, wenn Ihr mich auf dieser historischen Reise begleitet.

Was ist an seiner Genauigkeit so besonders?

Diese Frage will ich zu Beginn klären, damit seine Leistung eingeordnet werden kann. In 1. Näherung gilt: "Wurzelziehen halbiert die Anzahl an Ziffern" Wir haben es hier mit verschachtelten Wurzeln zu tun. Archimedes hatte 2 korrekte Nachkommastellen, insgesamt 3 Stellen (führende 3) Er musste dazu die Genauigkeit mit jeder Wurzel in 1. Näherung verdoppeln!

Setup und Erinnerungen

Ich werde im Laufe des Artikels davon ausgehen, dass Du mit der Methode von Archimedes vertraut bist. Auf Details werde ich nicht eingehen. Ferner gehe ich davon aus, dass Du die "Heron-Methode" für das Wurzelziehen kennst. Falls nicht, bitte mache Dich damit vertraut. Annahme: Wir werden exakt rechnen, sofern es um die vier Grundrechenarten (quadrieren zähle ich dazu) geht. Gerundet wird stets nur beim Wurzelziehen. Archimedes konnte mit Brüchen bis zu einem gewissen Grad förmlich jonglieren. Ich denke, unser Freund Archimedes hatte diesen Ansporn. Diese Annahme dürfte ihm gerecht werden. Wir nehmen auch an, dass unser Freund ein Tabellenbuch hatte mit Quadratwurzeln natürlicher Radikanden, die einige Näherungsbrüche mittels Heron-Verfahren beinhalten und eine Dezimaldarstellung. Unser Ziel Um ein Gefühl dafür zu bekommen, wie aufwendig Archimedes gerechnet hat, werden wir in wenigen Augenblicken blind ins kalte Wasser springen. Das soll ein erstes Gefühl vermitteln. Wir werden naiv beginnend beim 6-Eck die Eckenanzahl verdoppeln und schauen uns verschiedene Ansprüche der Genauigkeit an. Schließlich noch die Rekursionsgleichungen \(n\) = Eckenanzahl des Polygon Seitenlänge s des einbeschriebenes (2n)-gon: \(s_{2n} = \sqrt{2-\sqrt{4-s_n^2}}\) Seitenlänge t des umbeschriebenes (2n)-gon: \(t_{2n} = \frac{2s_{2n}}{\sqrt{4-s_{2n}^2}}\) Bemerkung: Falls Du Schüler bist und gerade mit Pi zu tun hast, ist es eine schöne Übungsaufgabe diese Rekursionsgleichungen herzuleiten. Da der Schritt vom 3-Eck zum 6-Eck noch exakt möglich ist und einfach zu bekommen ist, werden wir mit dem 6-Eck starten. Unsere Startwerte lauten also: \(s_6 = \frac{1}{2}\) \(t_6 = \frac{\sqrt{3}}{3}\) Wir gehen hier von einem Kreis mit Durchmesser \(d = 1\) aus. Damit ist \(u = d\pi = \pi\) und somit \(ns_{n} < \pi < nt_{n} \forall n \) Damit die Geschichte nicht zu lang wird konzentrieren wir uns lediglich auf die Berechnung des Umfangs für das einbeschriebene Polygon. (Wer Lust hat, kann den anderen Fall gerne eigenständig anfertigen. :) ) Und da ich auch gerne einen "erzieherischen" Auftrag erfüllen möchte, gibt es nun: Aufgabe 1: (Für Schüler) Zeige, dass für den Umfang \(u_k\) des einbeschriebenen (\(3 \cdot 2^k\))-gons folgende Rekursion gilt: \(u_{k} = 3 \cdot 2^{k-1} \sqrt{ 2 - 2\sqrt{1 - {(\frac{u_{k-1}}{3 \cdot 2^{k-1}})^2}}} \) \(u_1 = 3\) mit der wir im weiteren Verlauf arbeiten wollen. Wir müssen dazu nicht zwei Rekursionen simultan betrachten. Archimedes dürfte von der "Version" auch gewusst haben, um Rundungsfehler auf ein Minimum zu reduzieren.

Ziel

Wohin wollen wir? Archimedes kam zu folgendem Schluss: \(3,1408450 \approx 3 + \frac{10}{71} < \pi < 3 + \frac{10}{70} \approx 3,1428571 \) Und damit 2 korrekte Nachkommastellen!

Die erste Näherung: 12-Eck (k=2)

Archimedes findet zunächst ohne Aufwand \(u_{2} = 3 \cdot 2^{2-1} \sqrt{ 2 - 2\sqrt{1 - {(\frac{u_{2-1}}{3 \cdot 2^{2-1}})^2}}} \) \(u_{2} = 6 \sqrt{2 - \sqrt{3}} \) Es könnte sein, dass Archimedes fit im Umgang mit geschachtelten Wurzeln war. Er findet also auch mit ein wenig Mühe diese Darstellung. \(u_{2} = 3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \) Dem Tabellenbuch entnimmt Archimedes die entsprechenden Wurzeln. Für die zweite Darstellung hat er also bereits Näherungswerte. Nach unserer Annahme hat er z. B. auf 10 Nachkommastellen exakte Werte für Wurzeln aus natürlichen Zahlen und damit ergibt sich mit Hilfe der 2. Darstellung ohne großen Aufwand folgender Näherungswert für \(\pi\) \(\pi \approx 3,1058285412\) Für die geschachtelte Wurzel verwendet er die Heron-Methode und findet folgende Näherungsbrüche. Die Tabelle zeigt die "eklige" Entwicklung der Näherungsbrüche für \[ \sqrt{2 - \sqrt{3}} \] für verschiedene Genauigkeiten g und einige Zwischenschritte, die Archimedes bewältigen musste, z. B. die zweite Spalte mittels Tabellenbuch.
g\(2 - \sqrt{3} \approx ...\)Startwert \(x_n\)1. NBu_2 ~2. NBu_2 ~3. NBu_2 ~
1 0,3 0,5 \(\frac{11}{20}\) \(\frac{33}{10}\approx 3,3\) \(\frac{241}{440}\) \(\frac{723}{220} \approx 3,3\)\( \frac{106081}{192800}\)\( \frac{318243}{96400} \approx 3,3\)
2 0,270,5\(\frac{13}{25}\) \(\frac{78}{25}\approx 3,12\) \(\frac{1351}{2600}\) \(\frac{4053}{1300} \approx 3,12\)\(\frac{3650401}{7025200}\)\(\frac{10951203}{3512600} \approx 3,12\)
3 0,268 0,5\(\frac{259}{500}\) \(\frac{777}{250}\approx 3,108\) \(\frac{134081}{259000}\) \(\frac{402243}{129500} \approx 3,106\)\(\frac{35955422561}{69453958000}\)\(\frac{107866267683}{34726979000} \approx 3,106\)
4 0,26790,5\(\frac{5179}{10000}\) \(\frac{15537}{5000}\approx 3,1074\) \(\frac{53612041}{103580000}\) \(\frac{160836123}{51790000} \approx 3,1055\)\(\frac{5748500853745681}{11106270413560000}\)\(\frac{17245502561237043}{5553135206780000} \approx 3,1055 \)
Zum Vergleich: \(u_{2} = 6 \sqrt{2 - \sqrt{3}} = 3,1058285412302498...\) Und damit hatte Archimedes mit \( \pi \approx 3,1055\) die erste untere Schranke für \(\pi\). Nochmal die zweite Darstellung zum Vergleich: \(\pi \approx 3,1058285412\) Die Frage ist, wie weit Archimedes dieses Spiel getrieben hat, falls er den Weg über die Tabelle nahm. Ich denke, man erkennt schon beim 12-Eck den imensen Aufwand, der betrieben werden muss. Es lässt sich hier auch sehr schön erkennen, inwiefern der gewählte Startwert (der lediglich bequem gewählt wurde) Auswirkungen auf verschiedene Ansprüche der Genauigkeit hat. Inwieweit meine Werte mit denen von Archimedes übereinstimmten? Ich weiß es nicht. Es lässt sich erahnen, wie die Entwicklung der Tabelle weitergeht, falls wir g nach und nach erhöhen. Und ich möchte hier nochmal betonen, dass unser Ziel das 96-Eck ist! Uns fehlen also noch drei Schritte. Ich habe mir den Spass gemacht, oben gezeigte Tabelle handschriftlich zu berechnen bei einem gemütlichen Kaffee, wie er es evtl. auch gemacht hat. Sprich: Nur Blatt und Stift. :) Und Kaffee. Meine benötigte Zeit: (Experiment noch in Arbeit) (Mein Sohn braucht mich und hat natürlich Vorrang, deshalb konnte ich das Experiment nicht so durchführen, wie ich wollte, ich werde das nachreichen bei Gelegenheit. Ihr mögt es mir verzeihen.)

Die zweite Näherung: 24-Eck (k=3)

Um das Fehlerverhalten vernünftig einschätzen zu können, treiben wir nun das gleiche Spielchen mit unserem bisher besten Näherungswert ( \(\pi \approx 3,1058\) )für das 24-Eck. Wir finden zunächst \(u_3 = 3 \cdot 2^2 \sqrt{2 - 2 \sqrt{1 - (3.1058/(3 \cdot 2^2))^2}} = 12 \sqrt{2 - 2 \sqrt{\frac{3358850159}{3600000000}}} \approx 12 \sqrt{2 - 2 \sqrt{\frac{9330}{10000}}} \) wobei wir im letzten Schritt die Genauigkeit von 4 Stellen ausnutzen. Für die innere Wurzel findet Archimedes nach drei mühesligen Schritten 4 korrekte Nachkommastellen (0,9659) mit dem Startwert 1. Ein routinierter Umgang mit Brüchen liefert einen freundlichen Ausdruck. \(u_3 \approx 12 \sqrt{2 - 2 \frac{9659}{10000}} = 12 \sqrt{\frac{341}{5000}} = \frac{12}{100}\sqrt{682} \) Archimedes hat es geschafft. Er kann nun in seinem Tabellenbuch die benötigte Wurzel nachschlagen. Ein "mal 12" und Kommaverschiebung bereiten keine Schwierigkeiten. Er hat seinen zweiten Näherungswert: \[ \pi \approx 3,1338 \] Man könnte sich aber auch Vorstellen, dass Archimedes in der Lage war, den exakten Wert von \(u_3\) zu berechnen. \[ u_3 = 12 \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \] Mit viel Geduld erhält er folgenden Näherungswert: \[ \pi \approx 3.1326 \] Wir sehen, dass der 1. Wert eine schärfere untere Schranke ist. Aufgabe 2: Bestimme mit Hilfe des umbeschriebenen 24-Eck eine obere Schranke angenähert mittels Heron-Verfahren und einen exakten Wert mit Hilfe eines CAS und zeige so, dass seine angenäherte untere Schranke vernfünftig ist. "Vernünftig" heißt: Die Rundungsfehler spielen nicht gegen ihn. Ich möchte es an der Stelle erstmal mit dieser Variante belassen. Es ist deutlich geworden, welcher Aufwand bereits für 4 Nachkommastellen betrieben werden muss. Bevor wir fortfahren, möchte ich eine wichtige Sache nicht unter den Teppich kehren. Wirft man einen scharfen Blick auf die überlieferte untere Schranke fällt auf: Wie kann der Nenner < 100 sein, obwohl die Näherungsbrüche mittels Heron-Verfahren förmlich explodieren? Hinzu kommt die Regel "Wurzelziehen halbiert die Ziffern". Wie passt das zusammen? Meine Vermutung möchte ich an einem einfachen Beispiel erklären. Vielleicht war Archimedes auf der Suche nach einer leicht zu merkenden Näherung. Eine Näherung, etwa: \( \frac{11}{30} \) (man stelle sich diesen Bruch kompliziert vor) lässt sich, zwar mit Einbußen der Genauigkeit, nach unten mit \( \frac{1}{3} \) abschätzen. Es könnte also sein, dass der ursprüngliche Näherungswert etwa \(110/710\) anstatt \(10/71\) war. Der wahre Wert wird deutlich komplizierter sein. Wir wollen annäherend eine Idee davon bekommen, über welche Werte Archimedes tatsächlich verfügte. In der Tat sind deutlich kompliziertere Näherungswerte bekannt, die auf Archimedes zurück gehen. Wir gehen dazu nun den Weg nun umgekehrt.

Archimedes´ Genauigkeit unter die Lupe genommen

Was haben wir hier vor? Wir wollen anhand der Näherung für das 96-Eck Rückschlüsse ziehen, welches Wissen Archimedes über das 48 Eck hatte. Ziel wird sein, herauszufinden, welche Näherungswerte für gewisse Wurzelausdrücke bekannt waren, um diese Genauigkeit zu erzielen. Vielleicht gelingt es uns komplett zurück zum 6-Eck zu kommen. Wie bereits angesprochen scheint mir persönlich der Nenner (71stel) zu klein. Aber vielleicht täusche ich mich ja auch. Wir lösen \(u_{5} = 48 \sqrt{ 2 - 2\sqrt{1 - {(\frac{u_{4}}{48})^2}}} \) nach \(u_{4}\) auf und finden mit \( u_{5} = 3 + \frac{10}{71}\) \(u_{4} = \frac{223}{483936} \sqrt{46408127} \) Entsprechend rechnen wir exakt zurück: \(u_{3} = \frac{223}{22482629001216} \sqrt{100057061334282057306431} \) \(u_{2} = \frac{223}{48524986253406600358029950976} \sqrt{465607824794484677809372840105503192328707092109062207}\) \(u_{1} = \frac{223}{226048731925756755223382574950061883216812383604188481847296} \sqrt{10093224821412017478119100520482308104437286046516259737395902725811417617759521080037186214666993733583020014448191}\) Nun gut... es bedarf an der Stelle normalerweise keiner Worte mehr. Wie realistisch ist es, dass Archimedes diese Werte kannte? Wir haben zu Beginn auch festgehalten, dass es ihm beinahe gelang ohne Rundungsfehler auszukommen. Von daher ist es nicht unwahrscheinlich. Was auch immer er getrieben hat. Ich bin einfach nur begeistert. Natürlich bekommt man die gerade berechneten Werte unkompliziert. Lediglich der Rechenaufwand ist "eklig". Zum Selbstexperiment seid Ihr herzlich eingeladen. Es lässt sich in Ansätzen erahnen, wie "aufwendig" diese Rechnungen mit Blatt und Stift sind. Ich möchte es hierbei belassen und unsere Reise beenden. Danke für´s Lesen.
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"Mathematik: Nachtrag zum Pi-Tag: Der Fehler von Archimedes" | 2 Comments
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Re: Nachtrag zum Pi-Tag: Der Fehler von Archimedes
von: MontyPythagoras am: Di. 06. April 2021 11:03:43
\(\begingroup\)Hallo easymathematics, Vielen Dank für die interessante Darstellung. In diesem Kulturkreis neigen wir traditionell dazu, die Leistungen der alten Griechen besonders zu wertschätzen und Leistungen anderer Hochkulturen links liegen zu lassen, besonders der chinesischen, persischen und indischen. Dabei hat der chinesische Mathematiker und Astronom Zu Chongzhi $\pi$ berechnet, bzw. die berühmte Approximation $\frac{355}{113}$, die >>erheblich<< genauer ist als die Näherung von Archimedes - und auch wesentlich praktikabler. Klar, 700 Jahre später als Archimedes, aber auch das natürlich alles handschriftlich, und er hat dafür ein 12288-Eck benutzt (!). Diese Näherung hat sogar einen eigenen Namen: Milü. Sie wird auch Metius-Zahl genannt, der diese Näherung allerdings über 1000 Jahre später (wieder-)entdeckt hat, und im 15. Jahrhundert hat ein persischer Mathematiker ein 805306368-Eck verwendet, um $\pi$ auf 16 Stellen genau zu berechnen. Ja, sicherlich viel später als Archimedes, aber mit den gleichen Mitteln: Tinte und Papier (bzw. das zeitgenössische Äquivalent), und sonst nichts. Zu Chingzhi hat, wie man auf der Wiki-Seite über ihn nachlesen kann, auch einige astronomische Größen mit Genauigkeiten berechnet, die die griechischen und auch nordeuropäischen Astronomen der späteren Jahrhunderte blass aussehen lassen. Auch die Integralrechnung hat er in Ansätzen vorweggenommen, um das Volumen einer Kugel zu berechnen. Vielleicht hast Du ja auch mal Lust, diesem großen und im Vergleich zu Archimedes deutlich unterbewerteten Mathematiker einen Artikel zu widmen. Thomas\(\endgroup\)
 

Re: Nachtrag zum Pi-Tag: Der Fehler von Archimedes
von: easymathematics am: Di. 06. April 2021 13:01:16
\(\begingroup\)Hallo, vielen Dank für Deinen Hinweis. Ich weiß, dass es noch weitere Kandidaten gibt, die ähnliche Leistungen vollbracht haben. Diese möchte ich auf keinen Fall unter den Teppich kehren oder so was. :) Ich werde mir über "Milü" einen genauen Überblick verschaffen und werde sehen, was meine Zeit zulässt. :)\(\endgroup\)
 

 
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