Mathematik: Pi und die Gammafunktion
Released by matroid on So. 03. Oktober 2021 09:00:15 [Statistics]
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Analysis

\(\begingroup\) Ich möchte in diesem Artikel zeigen, wie man nur mit elementarer Analysis und etwas Trigonometrie einige neue Werte der Gammafunktion im Intervall (0,1) ausrechnen kann. Es soll hier eher um die Grundidee gehen, darum bin ich an manchen Stellen nicht rigoros. Die Inspiration dazu kommt (mal wieder) von Carl Friedrich Gauß. Der junge Carl Friedrich beschäftigt sich nämlich bereits 1796 als 19-jähriger in seinem Tagebuch [Carl Friedrich Gauss Werke Band X.1] mit folgendem Problem: Die Lemniskate zum "Radius" a ist gegeben durch die Menge aller Punkte (x,y) für die gilt: \((x^2 + y^2)^2 = 2 a^2 (x^2 - y ^2)\) Wie für den Einheitskreis mit Radius 1, beschränken wir uns im Folgenden auf die "Einheitslemniskate" mit \(a= \frac{1}{\sqrt{2}}\), damit die Gleichung so einfach wie möglich ist. 1.) Gegeben den Abstand r eines Punktes auf der Lemniskate zum Ursprung, wie lang ist die Bogenlänge der Kurve s vom Ursprung bis zu diesem Punkt? Und andersrum: 2.) Gegeben die Bogenlänge s, was ist der Abstand r dieses Punktes?

Die Antwort auf 1.) liefert die Funktion \( s = arcsl(r) := \int \limits_{0}^{r} \dfrac{1}{\sqrt{1-t^4}} \ dt\), der arcus sinus lemniscatus . (arcus ist Lateinisch für Bogen, den Namen sinus, lat. für Krümmung, Biegung (kommt vom Aussehen des Graphen der Sinusfunktion), übernimmt Gauß einfach vom "normalen" Sinus.) Die genaue Herleitung steht auf Wikipedia: "Lemniskatischer Sinus". Die Antwort auf 2.) bekommen wir einfach durch Bildung der Umkehrfunktion: \(r = sl(s) := arcsl^{-1}(s)\) Dasselbe Problem für den Kreis \(x^2 + y ^2 = a\) hat nach Beschränkung auf den Einheitskreis mit a=1 die folgende Lösung: 1.) \(s = arcsin(r) = \int \limits_{0}^{r} \dfrac{1}{\sqrt{1 - t^2}} \ dt\) Wieder bilden wir einfach die Umkehrfunktion: 2.) \(r = sin(s) := arcsin^{-1}(s)\) Gauß fällt auf, dass sich die Integrale für die Arkusfunktionen verdächtig ähnlich sehen, bloß, dass beim Kreis eine 2 steht, und bei der Lemniskate eine 4. In Analogie zur "Halblänge" des Umfangs des Einheitskreises \( \pi = 2 \cdot \int \limits_{0}^{1} \dfrac{1}{\sqrt{1-t^2}} \ dt\) = 3,1415... definiert er jetzt die "Halblänge" des Umfangs der "Einheitslemniskate" \( \varpi = 2 \cdot \int \limits_{0}^{1} \dfrac{1}{\sqrt{1-t^4}} \ dt\) = 2,62205... die sogenannte Lemniskatische Konstante mit dem griechischen Buchstaben "Varpi", der nicht zum offiziellen Alphabet gehört. Auch hat der lemniskatische Sinus eine ganz ähnliche Schwingungsbewegung in Abständen von \(2 \varpi\), wie der "normale" Sinus in Abständen von \(2 \pi\), entsprechend ist der lemniskatische Kosinus um \(\dfrac{\varpi}{2}\) verschoben. Doch im Gegensatz zum Sinus hat der lemniskatische Sinus eine zusätzliche "versteckte" komplexe Periode \(2 \varpi \cdot i\) ! Eine Funktion mit 2 (unabhängigen) Perioden nennt man auch Elliptische Funktion . (Womit man sich häufig in der Funktionentheorie 2 als Anwendungsthema beschäftigt. Leider gibt es das bei mir nicht mehr im Vorlesungsangebot.) Jede elliptische Funktion \(G(x)\) entsteht durch Umkehrung \(G(x) := F^{-1}(x)\) einer Integralfunktion der Form \(F(x) := \int \limits_{c}^{x} \dfrac{1}{\sqrt{P(t)}} \ dt\), wobei \(P(t)\) ein Polynom 3. oder 4. Grades, bei dem jede Nullstelle mit Vielfachheit nur einmal vorkommt, ist. Solch ein Integral heißt (auch bei fester Grenze) Elliptisches Integral und entsteht z.B. bei dem Versuch die Bogenlänge einer Ellipse auszurechnen. Ist \(Grad(P) > 4\), so heißt es entsprechend "Hyperelliptisches Integral" und die Funktion \(G(x)\) heißt "hyperelliptische Funktion". Im Folgenden wollen wir die Vorgehensweise von Gauß auf den hyperelliptischen Fall verallgemeinern, zunächst aus reinem Spaß an der Freud'.
Wir definieren den hyperelliptischen Arcus Sinus n-ter Ordnung für \(n \in \mathbb{N}\) als \(arcs_{n}(x) := \int \limits_{0}^{x} \dfrac{1}{\sqrt{1-r^n}} \ dr\) für \(\ x \in V_n := \left\{\begin{array}{lr} [-1,1] & \text{für n gerade}\\ (-\infty, 1], & \text{für n ungerade}\\ \end{array}\right\}\) Genauso wie Gauß definieren wir die n-te hyperelliptische Konstante für \(n \in \mathbb{N}\) als \(\pi_n := 2 \cdot \int \limits_{0}^{1} \dfrac{1}{\sqrt{1-r^n}} \ dr\) Also ist z.B. \(\pi_2 = \pi = 3,1415...\) und \(\pi_4 = \varpi = 2,62205...\). Über die binomische Reihe und gliedweises Integrieren erhalten wir die Reihenentwicklung \(\forall \ \lvert x \rvert < 1: arcs_n(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{2k}{k} \dfrac{x^{nk+1}}{4^{k} \cdot (nk+1)}\) speziell erhalten wir mit dem Abelschen Grenzwertsatz \(\frac{\pi_n}{2} = arcs_{n}(1) = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{2k}{k} \dfrac{1}{4^{k} \cdot (nk+1)}\) Zur analytischen Fortsetzung auf die komplexe Ebene bräuchte man eine Verdopplungsformel oder gleich ein Additionstheorem, aber das scheint sich als sehr schwierig zu gestalten. Nun zur Gammafunktion! (Eine vollständige Einführung würde hier den Rahmen sprengen; ich verweise auf die hervorragenden Bücher [Königsberger, Analysis 1] und [Freitag & Busam, Funktionentheorie 1] ohne die das hier nicht entstanden wäre) Die Gammafunktion kann nach Euler für \(Re(x) > 0\) definiert werden als \(\Gamma(x) := \int \limits_{0}^{\infty} t^{x-1} \cdot e^{-t} \ dt\) und erweitert die Fakultätsfunktion. Ich persönlich bevorzuge die Definition nach Gauß [Carl Friedrich Gauss Werke Band III, S.230] für \(Re(s) > 0\) mit \(\Gamma(s) := \int \limits_{-\infty}^{\infty} e^{s \cdot x} \cdot e^{-(e^x)} \ dx\) Die wichtigsten Formeln für uns sind: - Die "Funktionalgleichung" \(\Gamma(x+1) = x \cdot \Gamma(x)\) - Die "Legendresche Verdopplungsformel" \(\Gamma(x) \cdot \Gamma(x + \dfrac{1}{2}) = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2^{2x-1}} \cdot \Gamma(2x)\) - Die "Gaußsche Multiplikationsformel" \(\forall \ n \in \mathbb{N}: \ \Gamma(x) \cdot \Gamma(x + \dfrac{1}{n}) \cdot ... \cdot \Gamma(x + \dfrac{n-1}{n}) = \dfrac{(2 \pi)^{\frac{n-1}{2}}}{n^{nx - \frac{1}{2}}} \cdot \Gamma(nx)\) Wir brauchen außerdem die Eulersche Betafunktion für \(Re(w), Re(z) > 0\): \(B(w,z) := \int \limits_{0}^{1} t^{w-1} \cdot (1-t)^{z-1} \ dt\) mit der zentralen Identität \(\forall \ Re(w),Re(z) > 0: \ B(w,z) = \dfrac{\Gamma(w) \cdot \Gamma(z)}{\Gamma(z+w)}\) Jetzt schauen wir uns mal die folgenden bereits bekannten Werte der Gammafunktion an: \(\Gamma(\dfrac{1}{2}) = \sqrt{\pi}\) \(\Gamma(\dfrac{1}{4}) = \sqrt{2 \varpi \sqrt{2\pi}}\) Wir beobachten zwei Dinge: 1.) \(\Gamma(\dfrac{1}{2})\) hat irgendwas mit \(\pi_2\) zu tun und \(\Gamma(\dfrac{1}{4})\) hat irgendwas mit \(\pi_4\) zu tun. 2.) Die Vorfaktoren ändern sich um das Produkt mit 2 und es kommt noch eine Quadratwurzel dazu; dies suggeriert eine Verbindung zu 2-er Potenzen. Vermutung: \(\Gamma(\dfrac{1}{8}) = \sqrt{4 \pi_8 \sqrt{4 \pi_4 \sqrt{4\pi_2}}}\) Numerische Überprüfung zeigt Übereinstimmung aller relevanten Nachkommastellen. Nach einem Beweis habe ich länger suchen müssen, die Inspiration zur 1. Hälfte des Beweises kommt aus dem Königsberger. Hilfsformel: \(\forall n \in \mathbb{N}: \ \dfrac{\Gamma(\frac{1}{n})^{2} \cdot 2^{(\frac{2}{n} - 1)}}{\Gamma(\dfrac{2}{n}) \cdot n} = \dfrac{\pi_n}{2}\) Beweis: Seien \(m,n \in \mathbb{N}\). Einerseits gilt: \(B(\dfrac{1}{2}, \dfrac{m}{n}) = \dfrac{\sqrt{\pi} \cdot \Gamma(\dfrac{m}{n})}{\Gamma(\dfrac{m}{n} + \dfrac{1}{2})}\) Andererseits: \(B(\dfrac{1}{2}, \dfrac{m}{n}) = B(\dfrac{m}{n}, \dfrac{1}{2}) = \int \limits_{0}^{1} t^{\frac{m}{n} - 1} \cdot (1-t)^{- \frac{1}{2}} \ dt\) Substitution mit \(t := u^n\): \(= n \cdot \int \limits_{0}^{1} \dfrac{u^{m-1}}{\sqrt{1 - u^{n}}} \ du\) Zusammen also: \(\dfrac{\sqrt{\pi} \cdot \Gamma(\dfrac{m}{n})}{\Gamma(\dfrac{m}{n} + \dfrac{1}{2})} = n \cdot \int \limits_{0}^{1} \dfrac{u^{m-1}}{\sqrt{1 - u^{n}}} \ du\) Für \(m=1\) ergibt sich: \(\dfrac{\sqrt{\pi} \cdot \Gamma(\dfrac{1}{n})}{\Gamma(\dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{2}) \cdot n} = \int \limits_{0}^{1} \dfrac{1}{\sqrt{1 - u^{n}}} \ du = \dfrac{\pi_n}{2}\) \(\implies \dfrac{\sqrt{\pi}}{\Gamma(\dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{2})} = \dfrac{n \cdot \pi_n}{\Gamma(\dfrac{1}{n}) \cdot 2}\) (*) Nun formen wir die Legendresche Verdopplungsformel passend um zu: \(\dfrac{\sqrt{\pi}}{\Gamma(x + \dfrac{1}{2})} = \dfrac{\Gamma(x) \cdot 2^{2x - 1}}{\Gamma(2x)}\) Für \(x = \dfrac{1}{n}\) erhalten wir: \(\dfrac{\sqrt{\pi}}{\Gamma(\dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{2})} = \dfrac{\Gamma(\dfrac{1}{n}) \cdot 2^{\frac{2}{n} - 1}}{\Gamma(\dfrac{2}{n})}\) Ein Vergleich mit (*) ergibt: \(\dfrac{n \cdot \pi_n}{\Gamma(\dfrac{1}{n}) \cdot 2} = \dfrac{\Gamma(\dfrac{1}{n}) \cdot 2^{\frac{2}{n} - 1}}{\Gamma(\dfrac{2}{n})}\) Elementare Umformung ergibt das, was zu zeigen war. Wir erhalten also folgende "Halbierungsformel" für spezielle Werte: \(\forall n \in \mathbb{N}: \ \Gamma(\dfrac{1}{2n}) = \sqrt{\dfrac{\pi_{2n} \cdot \Gamma(\dfrac{1}{n}) \cdot 2n}{2^{\frac{1}{n}}}}\) Nun folgt induktiv für die "Viertellänge" der "Einheitskurve" \(q_n := \dfrac{\pi_n}{2}\): \(\Gamma(\dfrac{1}{2^{n}}) = \sqrt{2^n \cdot q_{2^n} \cdot \sqrt{2^n \cdot q_{2^{(n-1)} \cdot \sqrt{... \cdot \sqrt{2^n \cdot q_{2}}}}}}\) Zum Schluss noch ein letzter Wert. Im Königsberger findet man auch die folgende Übungsaufgabe: \(\dfrac{\Gamma(\dfrac{1}{3})^3}{\sqrt{3} \cdot \pi \cdot \sqrt[3]{2^4}} = \int \limits_{0}^{1} \dfrac{1}{\sqrt{1 - u^{3}}} \ du\) Daraus folgt sofort: \(\Gamma(\dfrac{1}{3}) = \sqrt[3]{\sqrt[2]{3} \cdot \pi_{3} \cdot \pi_{2} \cdot \sqrt[3]{2}}\) Über die Halbierungsformel erhält man z.B. dann auch \(\Gamma(\dfrac{1}{6}) = \sqrt[2]{\pi_6 \cdot 3 \cdot \sqrt[3]{4 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[2]{3} \cdot \pi_2 \cdot \pi_3}}\) Übrigens lässt sich zeigen, dass bis auf den trivialen Spezialfall \(\pi_1 = 4\) alle anderen \(\pi_n\) transzendent sind. Offen bleibt, welche von Ihnen untereinander algebraisch unabhängig sind. Ich vermute, dass nur n, welche Primzahlpotenzen sind, wirklich unabhängig sind. (Wer etwas genauer nachlesen möchte, den verweise ich auf meinen kläglichen 1. Versuch einen Fachartikel zu schreiben: hier)
Zum Schluss noch einige Anwendungen. Einige arithmetisch-geometrische Mittel lassen sich über die Gammafunktion ausdrücken, hier einige Ergebnisse: (siehe [Wikipedia, "Particular values of the Gamma function"]): \(AGM(1,\sqrt{2}) = \dfrac{\pi}{\varpi}\) \(AGM(2, \sqrt{2 + \sqrt{3}}) = \dfrac{4 \cdot \pi_2}{\sqrt[4]{27} \cdot \pi_3}\) \(AGM(1+\sqrt{3}, \sqrt{8}) = \dfrac{\sqrt[12]{2^{27}} \cdot \pi_2}{\sqrt[4]{3 \cdot 4 \cdot \pi_{6}^{3} \cdot \sqrt[2]{3} \cdot \pi_3}}\) Das AGM ist also möglicherweise nichts anderes, als eine Beschreibung von Kombinationen der hyperelliptischen Konstanten. Bestimmte "singuläre Werte" des vollständigen elliptischen Integrals in der Normalform (und damit einige Bogenlängen für spezielle Ellipsenachsenverhältnisse) lassen sich auch bestimmen: (siehe [Wolfram Mathworld, "Elliptic Integral singular value"]) \(K(\dfrac{1}{\sqrt{2}}) = \dfrac{\varpi}{\sqrt{2}}\) \(K(\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}) = \dfrac{\sqrt{3 \sqrt{3}} \cdot \pi_3}{4}\) \(K((\sqrt{2} - 1)^2) = \dfrac{\varpi}{\sqrt{8}} + \dfrac{\varpi}{4}\) \(K(\dfrac{(\sqrt{3}-1) \cdot (\sqrt{2} - \sqrt[4]{3})}{2}) = \sqrt{\dfrac{\sqrt{3}}{9} + \dfrac{1}{6}} \cdot \varpi\) \(K((\sqrt{2} + 1)^2 \cdot (\sqrt[4]{2}-1)^4) = \dfrac{(\sqrt[4]{2} + 1)^2 \cdot \varpi}{2^3}\) \(K(\dfrac{(\sqrt{10} - 2 \cdot \sqrt{2}) \cdot (3 - 2 \cdot \sqrt[4]{5})}{2}) = \dfrac{\sqrt{2}}{5} \cdot \varpi + \dfrac{1}{\sqrt{10}} \cdot \varpi\) Als letztes berechnen wir die Fläche bestimmter Superellipsen. Eine Superellipse ist für \(n \in \mathbb{N}\) und \(a,b > 0\) gegeben durch: \(C_n : \ \lvert \dfrac{x}{a} \lvert^{n} \ + \ \lvert \dfrac{y}{b} \lvert^{n} \ = 1\) Hier z.B. der "Squircle" (= Square + Circle) mit \(x^4 + y^4 = 1\) und Fläche \(\varpi \cdot r^2 \cdot \sqrt{2}\): Die Fläche ist durch die Gammafunktion ausdrückbar: \(A_{C_{n}} = 4 \cdot ab \cdot \dfrac{\Gamma(\dfrac{n+1}{n})^2}{\Gamma(\dfrac{n+2}{n})} = 4 \cdot ab \cdot \dfrac{1}{2n} \cdot \dfrac{\Gamma(\dfrac{1}{n})^2}{\Gamma(\dfrac{2}{n})}\) Für \(n = 2^{\nu}\) zum Beispiel, erhalten wir: \(A_{C_{2^{\nu}}} = 4 \cdot ab \cdot \dfrac{1}{2^{\nu + 1}} \cdot \dfrac{2^{\nu - 1} \cdot \pi_{2^{\nu}} \cdot \sqrt{2^{\nu - 1} \cdot \pi_{2^{\nu - 1} \cdot \sqrt{...}}}}{\sqrt{2^{\nu - 2} \cdot \pi_{2^{\nu - 1} \cdot \sqrt{...}}}}\) und damit: \(\forall \nu \in \mathbb{N}: \ A_{C_{2^{\nu}}} = \pi_{2^{\nu}} \cdot ab \cdot \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{...}}}}\) mit \((\nu - 1)\) geschachtelten Quadratwurzeln. 0 geschachtelte Quadratwurzeln sind als der Faktor 1 zu verstehen. Viele Apps auf dem Handy benutzen heutzutage statt quadratischen Icons übrigens Superellipsen, deren Ecken so schön abgerundet sind. Auch lassen sich die neuen Funktion \(arcs_n\) und ihre Umkehrfunktionen \(s_n\) prima für Stammfunktionen von einigen Integralen einsetzen. Dies wird ja mit \(arcsl\) und \(sl\) bereits getan, obwohl diese streng genommen keine "elementaren" Stammfunktionen sind. Die Definition dieser ist allerdings etwas willkürlich. Meine Hoffnung ist es, dass es möglich sein wird, noch viel mehr Stammfunktionen anzugeben, wenn genügend fleißige Leute mithelfen, allgemeine trigonometrische Identitäten, Additionsformeln, etc. zu finden. Es wartet auch sicherlich noch die ein oder andere überraschende Formel auf ihren Entdecker, da bin ich mir sicher!
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"Mathematik: Pi und die Gammafunktion" | 3 Comments
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Re: Pi und die Gammafunktion
von: Wario am: Mo. 01. November 2021 10:20:05
\(\begingroup\)Interessanter Artikel mit Hintergrundinformationen. Ich würde mal in den LaTeX-Bereichen \displaystyle ergänzen und möglichst \dfrac{}{}, statt \frac{}{} (ist per Defaul \tfrac{}{}) verwenden, damit die Brüche nicht so winzig klein sind. Ansonsten sollten benannte Funktionen arcs_n() (genauso wie Re(), Im(),... usw.), wie üblich, aufrecht gesetzt werden, und zwar entweder in der Form \operatorname{arcs}_n() oder besser \DeclareMathOperator{\arcs}{arcs}.\(\endgroup\)
 

Re: Pi und die Gammafunktion
von: Wario am: Fr. 12. November 2021 13:22:40
\(\begingroup\)PS: Aja, ich sehe gerade, Du hast das ein oder andere \dfrac eingefügt. Es gab hier mal die Diskussion, dass man vor absenden eines Artikels nach einem Korrekturleser fragt. Inhaltlich dürfte alles passen; wäre ich Korrekturleser, hätte ich vermutlich das LaTeX frisiert, auf Wunsch auch die Graphiken mit TikZ/pgfplots umgesetzt. Eine (kostenlose) Korrekturlesung ist ein Geschenk, das sollte man annehmen. \(\endgroup\)
 

Re: Pi und die Gammafunktion
von: jjzun am: Fr. 12. November 2021 14:52:47
\(\begingroup\)Danke für die Vorschläge! Leider kenne ich mich mit Latex nicht so gut aus. Ich habe versucht, alles umzusetzen, habe aber z.B. bei displaystyle keine Veränderung beobachten können. Bei operatorname habe ich nur Fehlermeldungen bekommen. Ich hoffe, es ist jetzt zumindest einigermaßen lesbar.\(\endgroup\)
 

 
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