Mathematik: Die Satzgruppe des Pythagoras
Released by matroid on Mo. 09. Februar 2004 19:55:14 [Statistics]
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Mathematik

\(\begingroup\)
\geo
ebene(300,175) x(0,6) y(0,3.5) f(1,1,white) form(of)
p(0.5,1,A)
p(5.5,1,B)
k(A,3,dA,hide)
k(B,4,dB,hide)
sp(dA,dB,C,+)
s(A,B,c)
s(B,C,a)
s(C,A,b)
lot(C,c,F)
s(F,C,h)
s(A,F,q) s(F,B,p)
w(b,a,gamma,-,nolabel)
print(.,2.4,2.9)
\geooff
geoprint(,Benennungen am rechtwinkligen Dreieck )

Vielen bekannt ist die Satzgruppe des Pythagoras.

galexy berichtet im folgenden von einem erstaunlichen Fall, erstaunlich, weil wider Erwarten lösbar. (Matroid)


Dabei wird meist das rechtwinklige Dreieck ABC vorausgesetzt mit dem rechten Winkel bei C.

a ist die Länge der seite BC, b die Länge der Seite AC und c die Länge der Seite AB.

h ist die Höhe des Dreiecks von C auf AB, der FUßPUNKT DER Höhe ist F.

F teilt AB in die Hypotenusenabschnitte AF und BF, wobei AF die Länge p und BF die Länge q besitzt.

array(a^2+b^2=c^2,vec(Satz des Pythagoras);\
,;\
a^2=c*p,vec(Kathetensatz);\
,;\
b^2=c*q,vec(Kathetensatz);\
,;\
h^2=p*q,vec(Höhensatz))

Nun kennen sicherlich auch viele die Kongruenzsätze:

SSS: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in den Längen aller drei Seiten übereinstimmen.

WSW: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in der Länge einer Seite und den Größen der anliegenden Winkel übereinstimmen.

SWS: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in den Längen zweier Seiten und der Größe des von ihnen eingeschlossenen Winkels übereinstimmen.

SSW: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in der Länge zweier Seiten und der Größe des Winkels, der der längeren Seite gegenüberliegt, übereinstimmen.

Das waren die vier Kongruenzsätze. Es ist also immer notwendig, dass für ein Dreieck mindestens DREI Angaben gemacht werden.

Beim rechtwinkligen Dreieck müssen aber nur ZWEI gegeben werden, also zusätzlich zu dem rechten Winkel (damit sind's dann doch wieder 3).


Okay, weiter im Text.

Durch die Höhe wird ABC (unser allgemeines rechtwinkliges Dreieck) in die ebenfalls rechtwinkligen Dreiecke AFC und BCF geteilt.

Sind von AFC bzw. BCF zwei Seitenlängen gegeben (zum Beispiel a und p), kann man immer die dritte Seitenlänge des "Teildreiecks" berechnen, folglich ist immer die Höhe von ABC ermittelbar und immer ein Hypotenusenabschnitt von ABC.

Mit dem Höhensatz kann man nun (immer) den zweiten Hypotenusenabschnitt berechnen. Damit, und mit der Höhe von ABC und dem Kathetensatz immer die zweite Kathete.

Sind die beiden Hypotenusenabschnitte gegeben, kann man h nach dem Höhensatz und somit auch a und b berechnen (Kathetensatz).

Was ich sagen will:

Man sieht leicht, dass man das Dreieck ABC berechnen kann und ist nicht sonderlich verwundert, weil man immer DREI Aspekte eines Dreiecks gegeben hat.

Kommen wir aber nun zu einem eher erstaunlichen Fall (für mich und meine alte Klasse und meinen Mathelehrer und meinen Physiklehrer und so weiter).

Gegeben seien a und q; also eine Kathetenlänge und der Hypotenusenabschnitt, der NICHT zu der Kathete gehört. Zu jedem der DREI Dreiecke sind maximal ZWEI Bedingungen gestellt (wers nicht glaubt vollziehe es auf einem Blatt Papier nach ;-)), dennoch werde ich gleich zeigen, dass das Dreieck ABC eindeutig gegeben ist.

Also ersteinmal gilt nach dem Kathetensatz:

q*c=b^2 \lr(1)


und jetzt kommt der Schrecken jedes Mathe\-Hassers und Mathe\-
Nichtverstehers, der Satz der Pythagoras

a^2+b^2=c^2

zusammen mit \ref(1) folgt:

a^2+qc=c^2

c^2-qc=a^2

c^2-qc+(q/2)^2=(q/2)^2+a^2

(c-q/2)^2=(q/2)^2+a^2

c-q/2=+-sqrt((q/2)^2+a^2)

c=q/2+-sqrt((q/2)^2+a^2)


Weil a und q auf jeden Fall >0 sind ist sqrt((q/2)^2+a^2) in \IR.
Auch leicht einzusehen ist, dass sqrt((q/2)^2+a^2)>q/2 gilt.

Folglich gibt es für c eine positive und eine negative Lösung,
wobei die negative ausgeschlossen werden kann, da es ja keine sinnvoll
definierten negativen Längen im planen rechtwinkligen Dreieck gibt.

Mit c kann man dann auch p berechnen (c=p+q für die, die es sich
noch nicht klar gemacht haben) und mit p und q dann h und b ist nun,
auch kein Hindernis mehr \:\-\)

Das ganze Rätsel um a und q (analog kann mans auch für b und p zeigen)
ist dadurch entstanden, dass mein alter Mathelehrer einenkleinen Tipp\-
fehler fabriziert hat auf einem Übungszettel.

Alle aus meiner Klasse sind an der Aufgabe (mit a und q) gescheitert
und eine
hat sogar nen studierten Mathematiker befragt, aber ich
war der einzige, der's richtig berechnet hatte... ein bissel stolz
war ich schon muss ich sagen \;\-\)

Auf jeden Fall ist es für mich immer noch seltsam, dass man das
Dreieck ABC mit den wenigen Angaben eindeutig berechnen kann,
obwohl man es erst nicht glauben mag.
\(\endgroup\)
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: Mathematik :: Pythagoras :: Dreieckskonstruktion :: Geometrie :: Schüler aufwärts :
Die Satzgruppe des Pythagoras [von galexy]  
"Auf jeden Fall ist es für mich immer noch seltsam, dass man das Dreieck ABC mit den wenigen Angaben eindeutig berechnen kann, obwohl man es erst nicht glauben mag."
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201203-03 (8x)http://google.to/url?sa=t&rct=j&q=satz des pythagoras es ist nur b und p gege...
201201-01 (7x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=hypotenusenabschnitte p immer links
2014-2015 (7x)http://google.de/
201202-02 (6x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=satz des pythagoras steht exemplarisch fÃ...
201304-04 (4x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=satz des pythagoras umstellen nach b

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"Mathematik: Die Satzgruppe des Pythagoras" | 9 Comments
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Re: Die Satzgruppe des Pythagoras
von: viertel am: Mo. 09. Februar 2004 23:11:13
\(\begingroup\)Interessante Sache und schöne Leistung.
Ich knoble noch an etwas, aber vorab diese Anmerkung: diesen Vertausch-Fehler von p und q hast Du in der Zeichnung oben auch gemacht. Dort liegt q an a an, im Gegensatz zur Beschreibung im Text.
Dietmar\(\endgroup\)
 

Re: Die Satzgruppe des Pythagoras
von: galexy am: Di. 10. Februar 2004 00:20:51
\(\begingroup\)Nein die vertauschung in der Zeichnung stammt nich von mir, da ich die Zeichnung nich gemacht habe (ein Beweis für meine Unfähigkeit) diese Zeichnung haben wir Matroid zu verdanken, also Danke Matroid 😄\(\endgroup\)
 

Re: Die Satzgruppe des Pythagoras
von: galexy am: Di. 10. Februar 2004 00:24:03
\(\begingroup\)Upps, der ursprüngliche Fehler liegt bei mir sehe ich grade, denn p ist nicht die Länge von AF sondern von BF und folglich ist q die Länge von AF ^^ mein Fehler (noch ein Beweis für meine Unfähigkeit ;-))

Alex\(\endgroup\)
 

Re: Die Satzgruppe des Pythagoras
von: viertel am: Di. 10. Februar 2004 00:24:14
\(\begingroup\)So, und jetzt noch die Sahne dazu:
\geo
x(0,3) y(-1.8,2.2) e(300,400)
p(0,0,O) p(0,2,A) p(1,0,Q) strahl(O,Q,xa,nolabel)
repaint(Q,black)
c(green) k(Q,O,K,nolabel) strahl(A,Q,g,nolabel)
c(blue) sp(g,K,S) k(A,S+,K2)
sp(K2,xa,B)
c(red) s(A,B+,c)
\geooff
geoprint()
Konstruiere A(0 \| a) und Q(q/2 \| 0)
Der Kreis um Q mit Radius QO schneidet den Strahl AQ in S\+ (grün).
Der Kreis um A mit Radius AS\+ schneidet die x\-Achse in B\+ (blau).
Das Dreieck OAB\+ ist das gesuchte.
Gruß vom 1/4\(\endgroup\)
 

Re: Die Satzgruppe des Pythagoras
von: galexy am: Di. 10. Februar 2004 00:54:29
\(\begingroup\)@viertel

Danke, die Konstruktion hatte ich bisher noch nicht :-), muss sagen, dass ich erstaunt bin :-O\(\endgroup\)
 

Re: Die Satzgruppe des Pythagoras
von: viertel am: Di. 10. Februar 2004 01:07:32
\(\begingroup\)Dachte ich mir, daß das verblüfft.

Aber schau Dir noch mal Deine Formel für c= an und verfolge dann die Konstruktionsschritte. Ist nix anderes als die geometrische Umsetzung der Formel. Die Wurzel (Pythagoras) ergibt AQ. Die Verlängerung +q/2 ergibt schon c. Und das mit dem blauen Kreis auf die x-Achse übertragen. Fertig.

Ich hatte erst viel experimentiert, bis ich diesen hinterhältigen Ansatz genommen habe.\(\endgroup\)
 

Re: Die Satzgruppe des Pythagoras
von: Eichi am: Mi. 11. Februar 2004 21:44:47
\(\begingroup\)Ohne den Satz des Phytagoras kann man es auch zeigen.

Naja. Dann braucht man aber daß die Winkelsumme eines dreiecks immer gleich ist und die Definition vom sinus.

Dann kann man mit WWW zeigen, daß alle drei Dreiecke kongruent sind und dann weiß man zB auch folgendes:

Sei betta der Winkel bei B dann ist
der Winkel gegenüber von p auch betta).
(weil der bei a 90°-betta ist (aus ABC und dann ACF))

der Sinus von betta ist dann jeweils mit Gegenkathete durch Hypotenuse anzugeben

also ist a/h=h/p
daraus kann man h bestimmen und damit hat man wieder 3 daten pro kleines dreieck.

ich hoff ich hab nichts vergessen.

grüße Eichi.

eine blöde Eleselsbrücke noch:
Mein SINGHender COSAH(:=Cousin) in der TANGA. \(\endgroup\)
 

Re: Die Satzgruppe des Pythagoras
von: Eichi am: Mi. 11. Februar 2004 21:46:17
\(\begingroup\)ups bei groß A natürlich.
sorry, Eichi.\(\endgroup\)
 

Re: Die Satzgruppe des Pythagoras
von: guerreguerrehaschi am: Di. 17. Februar 2004 15:19:18
\(\begingroup\)Warum einfach, wenn's auch umständlich geht:

Geg.:a, q, 90° bei C

a²+q²=h² => h=(a²+q²)^0,5
h²=pq => p=h²/q=a²/q+q
p+q= c => c= a²/q+2q
b²= c²-a²

Geg.: a,p, 90° bei C

h²=pq
a²-h²=q²
=> h²=pq=a²-q²
=> p= a²/q-q
c= p+q
...

\(\endgroup\)
 

 
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