Mathematik: Das Parabel-Näherungsverfahren
Released by matroid on Sa. 26. November 2005 21:44:53 [Statistics]
Written by bindi - 2568 x read [Outline] Printable version Printer-friendly version -  Choose language   
Mathematik

\(\begingroup\)       Vor einiger Zeit habe ich an dieser Stelle die Idee einer lokalen Approximation der Kurve y=x^3+ax^2+bx+c durch die kubische Parabel y=x^3, die durch die Startnäherung x_n auf der x\-Achse verschoben wird, beschrieben. Diese Idee will ich heute weiter ausführen und verallgemeinern. \geo ebene(400,400) xy(-3,4) name(bild1) funktion( x^3+2*x^2-3*x-2,a) color(red) punkt(2,0,X n) punkt(1.296535165,0,X n+1) color(blue) funktion(x^3-6*x^2+12*x-8,b) \geooff geoprint(bild1,)

\big\ 1.\normal\ Durch Gleichsetzen der beiden Funktionen y_a=x^3+ax^2+bx+c und y_b=(x-x_n)^3 erhält man eine quadratische Gleichung, die die Schnittpunkte der beiden Funktionen liefert: \red\(1)\black\ x_(n+1)^2+(b-3x_n^2) x_(n+1)/(3x_n+a)+(c+x_n^3)/(3x_n+a)=0 \red\(2)\black\ x_(n+1)=((3x_n^2-b)/(3x_n+a)+-sqrt((b-3x_n^2)^2/(3x_n+a)^2-4(c+x_n^3)/(3x_n+a)))/2 Bei genauerem Hinsehen zeigt sich, daß sich die quadratische Gleichung \red\(1)\black\ auch noch wie folgt ausdrücken läßt: \red\(3)\black\ x_(n+1)^2+2((f_a)'(x_n)/(f_a)''(x_n)-x_n) x_(n+1)-2x_n (f_a)'(x_n)/(f_a)''(x_n)+x_n^2+2f_a(x_n)/(f_a)''(x_n)=0 \red\(4)\black\ x_(n+1)=x_n-(f_a)'(x_n)/(f_a)''(x_n)+-(sqrt(((f_a)'(x_n))^2-2 (f_a)''(x_n) f_a(x_n)))/(f_a)''(x_n) mit (f_a)''(x_n)!=0 \and\ ((f_a)(x_n) (f_a)''(x_n))/(f_a)'(x_n)<=1/2 für x_(n+1)\el\ \IR Die Grenzwertbetrachtung x_n->x zeigt, welche der beiden möglichen reellen Lösungen zu separieren ist: \red\(5)\black\ lim(x_n->x,(x_n-x-(f_a)'(x_n)/(f_a)''(x_n)+-(sqrt(((f_a)'(x_n))^2-2 (f_a)''(x_n) f_a(x_n)))/(f_a)''(x_n))= -(f_a)'(x)/(f_a)''(x)+-(f_a)'(x)/(f_a)''(x) \red\(6)\black\ -(f_a)'(x)+-(f_a)'(x)=0 \red\(7)\black\ (f_a)'(x_n)>0 => x_(n+1)=x_n-(f_a)'(x_n)/(f_a)''(x_n)+(sqrt(((f_a)'(x_n))^2-2 (f_a)''(x_n) f_a(x_n)))/(f_a)''(x_n) \red\(8)\black\ (f_a)'(x_n)<0 => x_(n+1)=x_n-(f_a)'(x_n)/(f_a)''(x_n)-(sqrt(((f_a)'(x_n))^2-2 (f_a)''(x_n) f_a(x_n)))/(f_a)''(x_n) \big\ 2.\normal\ Die nächste Idee war nun, das Verfahren zu verallgemeinern, d. h. ein Polynom n-ten Grades mit der unter 1. beschriebenen Methode auf ein Polynom 2. Grades zu reduzieren: \red\(9)\black\ f_n(x)=sum(a_k x^k,k=0,n>2) \red\(10)\black\ f_(n-1) (x)=f_n(x)-a_n(x-x_1)^n \red\(11)\black\ f_(n-1) (x)=0 ... \red\(12)\black\ f_2(x)=f_3(x)-a_3(x-x_1)^3 \red\(13)\black\ f_2(x)=0 f_2(x) kann dabei als Teil des Taylor-Polynoms bzw. der Taylor-Entwicklung interpretiert werden: \red\(14)\black\ t(x)=f(x_1)+f'(x_1)(x-x_1)+(f''(x_1)(x-x_1)^2)/2!+...+(f^n(x_1)(x-x_1)^n)/n! \red\(15)\black\ f_2(x)=f(x_1)+f'(x_1)(x-x_1)+(f''(x_1)(x-x_1)^2)/2! \red\(16)\black\ f_2(x)=x^2+2((f_n)'(x_1)/(f_n)''(x_1)-x_1)x-2x_1 (f_n)'(x_1)/(f_n)''(x_1)+x_1^2+2f_n(x_1)/(f_n)''(x_1) \red\(17)\black\ x_(n+1)=x_n-f'(x_n)/f''(x_n)+-(sqrt((f'(x_n))^2-2 f''(x_n) f(x_n)))/f''(x_n) \big\ 3.\normal\ Während das Newton-Verfahren quadratisch konvergiert, sofern der Startwert x_n hinreichend nahe bei der Nullstelle liegt, konvergiert dieses Verfahren unter noch nicht ganz geklärten Voraussetzungen mindestens kubisch gegen die Nullstelle. Da auch noch Lösungsformeln für Gleichungen 3. und 4. Grades existieren, ließen sich aus der Taylor-Formel zudem Näherungsverfahren gewinnen, die dann (unter noch zu untersuchenden Voraussetzungen) mindestens biquadratisch bzw. quintisch konvergieren. \big\ 4.\normal\ Abschließend ein Beispiel. Die Nullstelle der Funktion f(x)=x-e^(-x) soll mit dem Parabel-Verfahren näherungsweise bestimmt werden. f(x)=x-e^(-x) f'(x)=1+e^(-x) f''(x)=-e^(-x) x_1=0,5 f'(0,5)>0 x_(n+1)=x_n-f'(x_n)/f''(x_n)+(sqrt((f'(x_n))^2-2 f''(x_n) f(x_n)))/f''(x_n) x_2=0,56716250891 x_3=0,56714329041
\(\endgroup\)
Get link to this article Get link to this article  Printable version Printer-friendly version -  Choose language     Kommentare zeigen Comments  
pdfFür diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei


Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
: Mathematik :: Näherungsverfahren :: Polynome :: Numerik :: Rekursion :: Approximationstheorie :: Sonstige Mathematik :
Das Parabel-Näherungsverfahren [von bindi]  
Approximation der Kurve y=x3+ax2+bx+c durch die kubische Parabel y=x3, die durch die Startnäherung xn auf der x-Achse verschoben wird,
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
 
Aufrufzähler 2568
 
Aufrufstatistik des Artikels
Insgesamt 295 externe Seitenaufrufe zwischen 2012.01 und 2021.12 [Anzeigen]
DomainAnzahlProz
http://google.de22475.9%75.9 %
https://google.com4314.6%14.6 %
https://google.de165.4%5.4 %
http://google.it51.7%1.7 %
http://search.conduit.com10.3%0.3 %
http://google.ch10.3%0.3 %
http://suche.web.de20.7%0.7 %
http://de.search.yahoo.com10.3%0.3 %
http://www.bing.com10.3%0.3 %
http://search.mywebsearch.com10.3%0.3 %

Häufige Aufrufer in früheren Monaten
Insgesamt 276 häufige Aufrufer [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2013-2018 (85x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=
2020-2021 (43x)https://google.com/
2012-2013 (20x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=sinus als parabel
201203-03 (16x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=taylorsches näherungsverfahren
201202-02 (11x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=taylorpolynom kubische parabel
201211-11 (11x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=parabel mit sinuskurve
2012-2014 (10x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=newton verfahren parabel
201301-01 (10x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=näherungsverfahren taylor
2020-2021 (9x)https://google.de
201304-04 (7x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=wie appromiert man eine parabel
201306-06 (7x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zustandsdichtemasse parabel näherung
202104-06 (6x)https://google.de/
201502-02 (5x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=1&ved=0CB0QFjAA
201210-10 (5x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=mathe näherungsverfahren
201206-06 (5x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=polynome näherungsverfahren
201409-09 (5x)http://google.it/
201207-07 (5x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=parabelverfahren
201308-08 (4x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=parabelförmige näherung
201204-04 (4x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=newton verfahren konvergenz parabel
201302-02 (4x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=mathematische annäherung solarstrom
201403-03 (4x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=newton mit parabel

[Top of page]

"Mathematik: Das Parabel-Näherungsverfahren" | 3 Comments
The authors of the comments are responsible for the content.

Re: Das Parabel-Näherungsverfahren
von: Wally am: Mo. 28. November 2005 14:56:52
\(\begingroup\)Hallo, bindi, eine interessante Idee. Was hältst du davon, den Artikel zu erweitern und bei drei bis vier Testproblemen dieses Verfahren mit dem Newtonverfahren zu vergleichen? Dabei sollte man berücksichtigen, wieviele Funktionsauswertungen gebraucht werden (hier braucht man ja außer der Funktion und der Ableitung auch die zweite Ableitung) Wally\(\endgroup\)
 

Re: Das Parabel-Näherungsverfahren
von: bindi am: Mo. 28. November 2005 15:36:04
\(\begingroup\)Hallo Wally, das Parabel-Näherungsverfahren soll demnächst an einer Uni diverse Tests durchlaufen. Auf die Ergebnisse bin ich schon sehr gespannt. Natürlich kann ich den Artikel erweitern. Nenn mir doch bitte drei bis vier Testprobleme. Wenn ich mir selber welche aussuche, laufe ich Gefahr, bei der Selektion zu subjektiv zu sein. Interessant wäre auch, ob diese Idee bereits einmal an anderer Stelle veröffentlicht wurde. Internet-Recherchen haben bis jetzt noch nichts in diese Richtung ergeben. LG bindi\(\endgroup\)
 

Re: Das Parabel-Näherungsverfahren
von: LutzL am: Di. 29. November 2005 14:33:12
\(\begingroup\)Hi, ein Xavier Gourdon aus Frankreich hat 2001 einen netten kleinen Artikel (Postscript) zu Verallgemeinerungen des Newtonverfahrens geschrieben. Das Problem aus numerischer Sicht ist, dass zur Anwendung der Verfahren höherer Ordnung die Funktion öfter oder komplexer (mit 2., 3.,... Ableitungen) ausgewertet werden muss. Was man in der Konvergenz an Beschleunigung gewinnt, geht in der Auswertung wieder verloren. Zur Konvergenzvermutung: Vermutlich ist der Bereich überquadratischer Konvergenz wesentlich kleiner als der quadratischer Konvergenz. Dieser wiederum ist kleiner als der Bereich linearer Konvergenz. Ciao Lutz\(\endgroup\)
 

 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]