Mathematik: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
Released by matroid on Di. 18. März 2008 12:13:36 [Statistics]
Written by FlorianM - 32541 x read [Outline] Printable version Printer-friendly version -  Choose language   
Analysis

\(\begingroup\) da_bounce und FlorianM schreiben: Analysis-Logo

§1 Einführung und Grundlagen

Die Analysis I - Vorlesung gehört zu den Grundvorlesungen eines jeden Mathematikers und Ingenieurs, wobei bei den Ingenieuren mehr gerechnet wird. Deswegen werden wir auch eine Vielzahl an Aufgaben zur Verfügung stellen, die einerseits für Mathestudenten geeignet sind, aber auch Aufgaben, die ein Ingenieursstudent bewältigen muss. Viele Studienanfänger haben Schwierigkeiten, von der Schul-"Mathematik" auf die Hochschulmathematik zu wechseln. Viele brechen nach ein paar Wochen ab. Mit dieser umfangreichen Artikelserie wollen wir versuchen, ein paar Erstis, die mit dem Gedanken spielen, mit dem Mathematikstudium aufzuhören, aufzufangen und ihnen den Stoff der Analysis I nochmals von unserem Standpunkt aus zu erklären. Aber natürlich darf jeder Studienanfänger (und auch die Studenten aus den höheren Semestern) diese Artikel zur Wiederholung oder zu was auch immer lesen und kritisieren. Wir wünschen viel Spaß und vor allem viel Erfolg beim schönsten Studium der Welt. :-)

Zunächst eine kleine Übersicht über die geplanten Artikel. Wir werden versuchen, jedes Kapitel in einem Artikel abzuhandeln. Es sei denn, der Artikel wird zu lang, dann kann es auch sein, dass ein Kapitel in zwei Artikeln Platz finden muss. \grey\ \big\ Inhalt der Vorlesung: \darkblue\ \big\ 1. Grundlagen 1.1 Schreibweisen und Abkürzungen 1.2 Mengen 1.3 Relationen 1.4 Abbildungen 1.5 Injektivität, Surjektivität und Bijektivität 1.6 Abzählbarkeit 1.7 Gleichmächtigkeit von Mengen 1.8 Lösungen zu den Übungsaufgaben \darkblue\ \big\ 2. Beweisverfahren 2.1 Direkter Beweis 2.2 Indirekter Beweis 2.3 Konstruktive Beweise 2.4 Vollständige Induktion 2.5 Lösungen zu den Übungsaufgaben \darkblue\ \big\ 3. Die reellen Zahlen 3.1 Was ist ein Körper? \(Kurzer Exkurs in die Lineare Algebra) 3.2 Existenz und Eindeutigkeit der reellen Zahlen 3.3 Anordnung 3.4 Vollständigkeit 3.5 Was unterscheidet den Körper der reellen Zahlen von den anderen Körpern? 3.6 Lösungen zu den Übungsaufgaben \darkblue\ \big\ 4. Folgen 4.1 Was ist eine Folge? 4.2 Folgenkonvergenz 4.3 Erste Beispiele 4.4 Teilfolgen und Häufungspunkte 4.5 Monotonie von Folgen 4.6 Cauchy\-Folge 4.7 Wichtige Sätze zur Folgenkonvergenz 4.8 Rekursiv definierte Folgen 4.9 Lösungen zu den Übungsaufgaben \darkblue\ \big\ 5. Reihen 5.1 Was ist eine Reihe? 5.2 Wann konvergiert eine Reihe? 5.3 Besondere Reihen 5.4 Konvergenzkriterien 5.5 Cauchyprodukt für Reihen 5.6 Viele Beispiele 5.7 Exponentialfunktion und trigonometrische Funktionen 5.8 Doppelreihen 5.9 Lösungen zu den Übungsaufgaben \darkblue\ \big\ 6. Grenzwerte und Stetigkeit 6.1 Definition der Stetigkeit 6.2 Der Zwischenwertsatz 6.3 Gleichmäßige Stetigkeit 6.4 Alpha\-Hölder\- und Lipschitz\-Stetigkeit 6.5 Beispiele 6.6 Lösungen zu den Übungsaufgaben \darkblue\ \big\ 7. Differenzierbarkeit 7.1 Definition 7.2 Ableitungsregeln 7.3 Umkehrfunktion und eine wichtige Formel zur Berechnung 7.4 Extremwerte 7.5 Mittelwertsatz und Satz von Rolle 7.6 Lösungen zu den Übungsaufgaben \darkblue\ \big\ 8. Integration 8.1 Treppenfunktionen 8.2 Was ist ein Integral? 8.3 Mittelwertsatz der Integralrechnung 8.4 Unbestimmtes Integral und Hauptsatz der Differential\- und Integralrechnung 8.5 Integrationsmethoden 8.6 Viele Integrale 8.7 Lösungen zu den Übungsaufgaben \darkblue\ \big\ 9. Besondere Reihen 9.1 Die Potenzreihe 9.2 Fourierreihe 9.3 Taylorreihen 9.4 Lösungen zu den Übungsaufgaben \darkblue\ \big\ 10. Funktionenfolgen (punktweise und gleichmäßige Konvergenz)

§0 Vorwort

Einige werden schon über die Themen und Begriffe, die wir gleich anführen, schwitzen und sich fragen, wozu man dies denn alles benötige. Wir wissen selbst, dass der Übergang zur richtigen Mathematik eine sehr große Hürde darstellt, und dass die ersten beiden Semester die schwersten sein können. Viele Studienanfänger kommen mit dem abstrakten Denken nicht klar. Aber: Durch dauerhaftes Üben und Aneignen der Definitionen und neuen Begriffe bekommt ihr das alle hin. ;) Man muss sich nur von dem Aberglauben lösen, dass man das Mathestudium ohne Arbeit bewältigen kann. Das funktioniert nicht. Auch wenn ihr im Mathematik-LK Überflieger wart, kann es gut sein, dass ihr jetzt Probleme habt. Vielleicht musstet ihr im Leistungskurs wenig bis gar nichts machen. Alles flog euch so zu. Das ist im Studium anders. Es gibt kaum Leute, die den Stoff sofort verstehen und alles gleich zu hundert Prozent beherrschen. Das Studium kann man nur durch regelmäßige Arbeit, Fleiß und Übung schaffen. Natürlich gehört auch ein Talent dazu, das wollen wir gar nicht abstreiten. Aber das meiste müsst ihr selbst machen. Arbeitet die Vorlesungen gründlich nach, lest zusätzlich Fachliteratur, schaut über den Tellerrand hinaus! Denn bedenkt: Ihr studiert nicht nur, um gute Klausuren zu schreiben, sondern um Mathematik zu lernen. Ihr wollt Mathematiker werden! Nun hören wir schon einige Lehramtsstudenten klagen: "Wozu brauchen wir denn das? Das brauchen wir später doch nie wieder!". Das stimmt so nicht. Denn ihr könnt euren Schülern den Stoff nur richtig erklären, wenn ihr das Ganze von einem höheren Standpunkt aus verstanden habt. Und ihr werdet sehen, wie viel ihr in der Analysis-I-Vorlesung und damit auch in dieser Artikelserie aus der Schule wiedererkennt. Es gibt eigentlich kaum was Neues. Nur die Art und Weise der Definitionen, Sätze und vor allem das Beweisen müsst ihr neu kennen lernen und vor allem lieben lernen. Lehnt euch in der Vorlesung nicht zurück, wenn der Professor einen Satz beweist. Wir sagen euch: Die Beweise sind das Schönste an der gesamten Vorlesung. ;) Es ist auch weit gefehlt, zu glauben, dass Beweise nicht wichtig sind. In der ersten Klausur zur Analysis I werdet ihr vielleicht gar nicht so viel beweisen müssen, da die Zeit dafür fehlt; aber nur wenn man die Beweise verstanden hat, hat man auch den Stoff richtig verstanden. Nun aber genug der Vorrede, lasst uns starten!

§1 Grundlagen

Was erwartet euch? Wir werden im ersten Kapitel nur wichtige Begriffe einführen, euch langsam mit der Schreibweise der Mathematiker vertraut machen und ein wenig Mengentheorie betreiben. Alles noch nicht so wild. Den Höhepunkt des Kapitels bilden die Begriffe Surjektivität, Injektivität und Bijektivität. Dort werden wir vielleicht die ersten Leser abhängen. Aber keine Angst, wir holen euch zurück ins Boot. 1.1 Schreibweisen und Abkürzungen Mathematiker benutzen eine Reihe von Abkürzungen und Schreibweisen, nicht weil sie faul sind, sondern weil sie einfach nicht so viel schreiben wollen. :-D Zunächst erscheinen diese vielleicht schwerfällig, aber glaubt uns, in ein paar Tagen werdet ihr froh sein, dass es diese Abkürzungen gibt. 1.1.1 Quantoren Es gibt viele Aussagen oder Behauptungen, die mit den Worten "Für alle reellen Zahlen x gilt ..." beginnen. Um dies nicht immer ausschreiben zu müssen, gibt es so genannte \big\ \darkblue\ Quantoren. So bedeutet z.B. \forall\ : "Für alle..." In unserem Fall würden wir also schreiben "\forall\ x\el\ \IR : ..." Der Doppelpunkt ersetzt das Wörtchen "gilt". Ein zweiter Quantor ist der "Es existiert ein"\-Quantor. Man schreibt einfach ein gespiegeltes E, also \exists\ . Wie schreibt man also die Aussage "Für alle \epsilon >0 existiert ein \delta >0, sodass für alle x\el\ D_f gilt, dass aus abs(x-x_0)<\delta folgt, dass abs(f(x)-f(x_0))<\epsilon."? Ganz einfach: \forall\ \epsilon >0 \exists\ \delta >0 \forall\ x\el\ D_f : (abs(x-x_0)<\delta => abs(f(x)-f(x_0))<\epsilon) Sieht auf den ersten Blick erstmal kompliziert aus, aber ihr gewöhnt euch dran. Übrigens: Das ist die Definition von "Stetigkeit einer Funktion f an einer Stelle x_0\.". Nein, Angst braucht ihr jetzt keine zu haben. Wir kommen in Kapitel 6 darauf zurück. :-D Mit den Quantoren kann man jetzt noch etwas "herumspielen". Zum Beispiel kann man sich ja fragen, wie sich die Quantoren verändern, wenn man eine Aussage negiert, also wenn man das Gegenteil behauptet. Dazu müssten wir aber erstmal genau klären, was wir unter einer Aussage verstehen wollen. \big\ Unter einer Aussage versteht man einen sprachlichen Ausdruck, dem man eindeutig einen der beiden Wahrheitswerte w ("wahr") bzw. f ("falsch") zuordnen kann. Eine Aussage kann also nur wahr oder nur falsch sein. Sie wird meistens mit einem großen Buchstaben abgekürzt. Behandeln wir einige Beispiele: A: "Jede natürliche Zahl n>1 besitzt einen Primteiler." Diese Aussage ist wahr. B: "Jede Primzahl ist ungerade." Diese Aussage ist falsch, als Gegenbeispiel kann man die Zahl 2 anführen. Und da eine Aussage nur wahr oder falsch sein kann, muss die Aussage falsch sein. C: "Diese Aussage ist falsch." Da man diesem Satz keinen Wahrheitswert zuordnen kann, ist der Satz keine Aussage. Denn wäre sie wahr, impliziert sie, sie sei falsch. Wäre sie falsch, würde folgen, dass sie wahr sei. 1.1.2 Logische Verknüpfungen Jetzt haben wir schon Begriffe wie "Implikation" benutzt. Aber was verstehen wir darunter? Dies wollen wir nun klären. Seien A und B zwei Aussagen. Wir können folgende Tabelle aufstellen: Logische Verknüpfungen Zum Beispiel: (x-2)(x+3)=0 <=> x^2+x-6=0 (x-2)(x+3)=0 <=> (x=2 \or\ x=-3) \not\(x>5) <=> x<=5 \big\ \darkblue\ Wahrheitstafeln: Nun können einige Wahrheitstafeln aufgestellt werden. Man geht in diesen Tafeln z.B. der Frage nach, ob die Konjunktion zweier Aussagen A und B wahr oder falsch ist, wenn A wahr und B falsch ist. Dies wollen wir nun systematisch tun. Prägt euch diese Tabelle gut ein, denn sie wird uns bei den Beweisen in Kapitel 2 noch sehr nützlich sein! Wahrheitstafel Wahrheitstafel \ Zur Strukturierung bezeichnen wir während der gesamten Artikelserie mit "\.Lemma__" einen Hilfssatz und mit "\.Korollar__" eine einfache Folgerung aus einem Satz. Nun schauen wir uns mal ein Beispiel zur Verneinung einer Aussage an. \stress\ Beispiel: Verneinung der Definition der Stetigkleit von f in a Die Stetigkeit einer Funktion im Punkt a ist folgendermaßen definiert: | |\red \forall \epsilon>0\exists \delta >0 \forall x\in D_f :(abs(x-a)<\delta =>abs(f(x)-f(a))<\epsilon) Um die Definition negieren zu können sind folgende \stress\ Regeln für Quantoren \normal\ zu beachten: a) \not\ \exists\ p \not\ A(p) ist äquivalent zu \forall\ p A(p) b) \not\ \forall\ p \not\ A(p) ist äquivalent zu \exists\ p A(p) Dabei ist p eine Variable und A(p) eine Aussage in der p vorkommt. Entsprechend dieser Regeln kann man die Definition nun schrittweise negieren: \blue\ Das p aus der Regel steht für \epsilon; A(p) für den Rest der Definition. \blue\ Man führt also die erste Verneinung durch: 1) | | \red \not\ \forall \epsilon>0 \not\ (\exists \delta >0 \forall x\in D_f (abs(x-a)< \delta => abs(f(x)-f(a))<\epsilon)) \blue\ Als nächstes steht p für \delta und A(q) für \forall\ x\in D_f(abs(x-a)< \delta => abs(f(x)-f(a))<\epsilon). 2) | | \red \not\ \forall\ \epsilon>0 \not\ (\not\ \exists \delta >0 \not\ (\forall x\in D_f (abs(x-a)< \delta => abs(f(x)-f(a))<\epsilon))) \blue\Der letzte Schritt funktioniert genauso wie die ersten zwei. 3) | | \red \not\ \forall \epsilon>0 \not\ (\not\ \exists \delta >0 \not\ (\not\ \forall\ x\in D_f \not\ (abs(x-a)< \delta => abs(f(x)-f(a))<\epsilon))) \stress\Hinweis: Die Klammern sind dabei nicht notwendig aber vereinfachen das Verständnis bei komplexen Aussagen. \blue\ Für die Verneinung von a => b gilt: \not\(a=>b)<=>(a\and\not\ b). \blue\ Die Quantoren werden nach oben genannten Regeln verneint. Wir erhalten also sowas hier: 4) | | \red\ \exists \epsilon >0 \forall \delta >0\exists x\in D_f : abs(x-a)<\delta \and abs(f(x)-f(a))>=\epsilon Das war nur ein Beispiel. Ihr könnt euch ja selbst mal eine Aussage anschauen und diese dann verneinen. Wir möchten nochmal kurz darauf hinweisen, dass wir manchmal Aussagen betrachtet haben, die erst nach Einsetzen eines Wertes für x entscheidbar sind. Denn x>5 ist eigentlich keine Aussage, weil das eben weder wahr noch falsch ist. Sondern das ist eine Aussageform, eine Aussage mit einer Variablen drin. Wir wollen aber mit den Begrifflichkeiten nicht zu sehr übertreiben und damit belassen wir dies mit dieser kurzen Anmerkung. :-)
1.2 Mengen Über Mengen gibt es ganze Abhandlungen und Bücher. Es versteht sich von selbst, dass wir hier nicht ins Detail gehen können. Das wollen wir auch gar nicht. Wir wollen uns bei der Definition einer Menge an die von Georg Cantor, dem Begründer der Mengenlehre halten, und definieren: 1.2.1 Definition einer Menge \big\ Unter einer Menge verstehen wir die Zusammenfassung von wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Natürlich ist diese Definition sehr schwammig und nicht im mathematischen Sinne, denn was verstehen wir unter "unserer Anschauung" oder unter dem "Ganzen"? Dennoch kann man sich unter dieser Definition schon etwas vorstellen, und das soll uns für diesen Moment erst einmal ausreichen. Wer Genaueres über die Mengenlehre erfahren möchte, dem empfehlen wir das Buch "Mengenlehre für den Mathematiker". Die Objekte, die zu einer Menge gehören, heißen \darkblue\ Elemente\black\ . So können wir ganz verschiedene Objekte zu einer Menge zusammenfassen. Zum Beispiel Zahlen, aber auch Buchstaben oder Wörter oder Mengen selbst. Eine Menge wird mit einem großen Buchstaben bezeichnet. Die Objekte selbst gehören in geschweifte Klammern. So sind also A:=menge(a, b, c) oder B:=menge(1, 2, 3) oder C:=menge(Hund, Katze, Maus) drei Mengen. \stress\ Achja, wenn man irgendwas neu definieren möchte, dann schreibt man nach dem neuen Objekt A einen Doppelpunkt und dann das Gleichheitszeichen. Das bedeutet, dass man die Menge A nun wie folgt definiert. Die Menge A ist also definiert als... Die Elemente einer Menge dagegen werden meistens mit kleinen Buchstaben bezeichnet. Ist ein Element x in einer Menge A enthalten, so schreiben wir x\el\ A. Wenn es nicht drin ist, dann x\notel\ A. 1.2.2 Schreibweise von Mengen Es gibt nun im Wesentlichen zwei Möglichkeiten, Mengen aufzuschreiben. Entweder man zählt die einzelnen Elemente auf, das bietet sich vor allem bei endlichen Mengen an \(d.h. die Menge besitzt eine endliche Anzahl von Elementen). So schreibt man z.B. die Menge der ersten drei natürlichen Zahlen als M:=menge(1, 2, 3) [oder wenn die Null zur Menge der natürlichen Zahlen gehören soll, entsprechend M:=menge(0, 1, 2)] Weiterhin kann man bei einer nicht\-endlichen Menge Pünktchen setzen. Dazu muss aber klar sein, wie die weiteren Elemente der Menge heißen. So wäre z.B. \IN:=menge(1, 2, 3, ...) die Menge der natürlichen Zahlen ohne die Null oder M_1:=menge(1, 4, 9, 16, 25, ...) die Menge der Quadratzahlen. Aber sowas wie M_2:=menge(8283, 72, 829, ...) wäre nicht okay. Denn keiner weiß, wie es weiter gehen soll. Oder? Eine zweite Möglichkeit, Mengen aufzuschreiben, ist, M=menge(x | E(x)) zu schreiben, wobei das folgendes bedeutet: M ist die Menge aller x, welche die Eigenschaft E(x) besitzen. Ein paar \big\ Beispiele: M_3:=menge(3, 4, 5, 6) =menge(x | x ist eine natürliche Zahl, die größer als 2 und kleiner als 7 ist) =menge(x\el\IN | 21.2.3 Mengenoperationen Kommen wir nun zu ein paar \big\darkblue\ Mengenoperationen\black\normal\ . Wir klären die Fragen, wie man Mengen vereinigt oder wie man deren Durchschnitte bildet und berechnet. Zuvor noch ein paar weitere Abkürzungen: Zur Wiederholung: Das Symbol \and\ ist das logische "Und" und \or\ das logische \(nichtausschließende) "Oder". Was das genau bedeutet, sehen wir gleich bei der Vereinigung zweier Mengen. Die Symbole selbst hatten wir oben schon in den Tabellen benutzt. Im Folgenden seien A und B zwei beliebige Mengen. \stress a) Die Vereinigung zweier Mengen \big\ \red \ A\union\ B:=menge(x | x\el\ A \or\ x\el\ B) Das "Oder" ist nicht so wie das gewöhnliche "Oder" im deutschen Sprachgebrauch zu verstehen. Denn x kann entweder in A liegen, oder in B oder in beiden Mengen! Zeichnet man sogenannte Venn-Diagramme, dann wird der Sachverhalt deutlicher: Vereinigung zweier Mengen \stress b) Durchschnitt zweier Mengen: \big\ \red\A\cut\ B:=menge(x | x\el\ A \and\ x\el\ B) Das Element muss daher in beiden Mengen, also im Schnitt der beiden Mengen, liegen. Durchschnitt zweier Mengen \stress A und B heißen disjunkt, wenn gilt \big\ \red\ A\cut\ B=\0. Disjunkte Mengen \stress c) Differenz zweier Mengen: \big\ \red\ A\\B :=menge(x | x\el\ A \and\ x\notel\ B) \big\ \red\ B\\A :=menge(x | x\el\ B \and\ x\notel\ A) Differenz \stress\d) Die symmetrische Differenz zweier Mengen ist definiert als \big\ \red\ A \Delta B:=A\\B \union\ B\\A Dies ist dasselbe wie \blue\ (A \union\ B) \\ (A \cut\ B). Man vereinigt also die beiden Mengen und nimmt den Schnitt beider Mengen raus. Das Element x liegt also entweder in A oder in B, aber nicht in beiden Mengen. Dass dies wirklich dasselbe ist, werden wir in Kapitel 2 noch beweisen. Symmetrische Differenz \stress\ e) Teilmenge A heißt Teilmenge von B, geschrieben \big\ \red\ A\subsetequal\ B, genau dann, wenn aus x\el\ A auch x\el\ B folgt. Wir möchte noch anmerken, dass A \subset\ B für (echte Teilmenge)__ steht, das heißt A ist eine echte Teilmenge von B. Das bedeutet wiederum, dass A nicht gleich B ist. Mit einem Venn\-Diagramm stellt man dies so dar: Teilmenge \stress\ Anmerkung: Gilt bei der Differenzmenge B\subsetequal\ A, so heißt A\\B auch das Komplement von B \(in A). \darkblue\ "X ist eine echte Teilmenge von Y" bedeutet: X\subsetequal\ Y \and\ X!=Y. Bei den Mengen X=menge(1, 2) und Y=menge(1, 2, 3) z.B. ist X eine echte Teilmenge von Y. Wir können nun schon mal den Umgang mit der Vereinigung und dem Durchschnitt von zwei beliebigen Mengen A und B üben. Sei also A\subsetequal\ B. Überlegt euch, dass dann A\union\ B=B und A\cut\ B=A ist. So wenn ihr bis hierher alles nachvollziehen könnt, dann hat sich das Lesen gelohnt. Nun kommen wir zu einem "komischen" Wort. \stress f) Idempotenz: \big\ \red\ A\cut\ A=A und A\union\ A=A Jetzt könnten sich Einige fragen: Warum zum Teufel wird sowas definiert? Wenn ich A mit A schneide dann ist das doch logischerweise wieder A. Und dasselbe gilt auch für die Vereinigung :-) Nun ja manchmal muss man gewisse Dinge einfach mal so akzeptieren, wie sie definiert werden. Am Anfang wird man auch mit Mengen zu kämpfen haben. Wenn man sich aber einmal eine Definition nimmt und dann einfach selbst ein paar Elemente wählt und die Definition anwendet, dann leuchtet es meistens auch ein, was da von einem verlangt wird. Wie wir oben in der Einführung schon erwähnt haben: Ohne Ackern kommt man garantiert nicht weit. Es kann gut vorkommen, dass ihr stundenlang an einer Aufgabe brütet, aber in der 20. Stunde kommt dann erst die Erleuchtung und ihr werdet sehen, dass ihr euch dann über sowas freuen werdet, wo andere sich dann denken: "Hmm man der hat doch nicht alle.." ;). Nun schreiten wir aber weiter. Behandeln wir einige \big\ Beispiele: Sei A:=menge(2, 5, 6, 8) und B=menge(7, 5, 6). Wir wollen zur einfachen Übung erst einmal Vereinigung, Durchschnitt, Differenz und symmetrische Differenz dieser beiden Mengen bilden. \big\ a) Vereinigung: Wir müssen also A\union\ B bestimmen. Das sind all die Elemente, die in A, in B oder in beiden Mengen liegen. Wir schreiben also die jeweiligen Elemente der Mengen in eine gemeinsame Menge \(und schreiben doppelt auftretende Elemente nur einmal hin) und haben die Vereinigung schon gebildet. Es gilt demnach A\union\ B=menge(2,5,6,7,8). \big\ b) Durchschnitt: Im Durchschnitt der beiden Mengen sind all die Elemente aufzuzählen, die in A und in B vorkommen. Wir suchen die Mengen also nach gemeinsamen Elementen ab: A\cut\ B=menge(5,6) \big\ c) Differenz: Bestimmen wir zunächst A\\B. Hier sind all die Elemente von A anzugeben, die nur in A, aber nicht in B vorkommen. Also wäre das A\\B=menge(2,8). Zur Übung bildet B\\A! [Zur Kontrolle: Diese Menge enthält genau ein Element. Welches?] \big\ d) Symmetrische Differenz: Die symmetrische Differenz ist noch etwas stärker als die "normale" Differenz aus c). Wir müssen dort alle Elemente zu einer neuen Menge zusammenfassen, die nicht im Schnitt der beiden Mengen liegen. Entsprechend also: A \Delta B=menge(2, 7, 8). Was ist also A\\B\union\ B\\A? Habt ihr es verstanden? \big\ e) Teilmenge: Noch ein Beispiel zur Teilmenge. So ist z.B. \IN\subset\ \IN_0 oder menge(2,3,5)\subset\ menge(2,3,4,5,7,8). Aber es ist auch menge(2,3)\nosubset\ menge(7,2). Man liest das so: Die Menge menge(2,3) ist keine (echte) Teilmenge der Menge menge(7,2). 1.2.4 Mengengesetze Bevor wir zu den eigentlichen Mengengesetzen kommen, ein paar Anmerkungen: Wenn zwei Mengen gleich sein sollen, dann gilt: A=B genau dann, wenn x\el A <=> x\el B Weiterhin verlaufen die folgenden Beweise nach dem Motto Mengenregel -> Logik ->(Logikregel, per Wahrheitstabelle bewiesen) und Logik -> Megenregel. Wie das im Detail aussieht, werden wir gleich sehen. Nun aber genug der Vorrede, starten wir lieber: Es gibt einige "Rechenregeln" für Mengen, wie wir diese auch von den Rechenregeln für Zahlen kennen, die wir im Folgenden anführen und auch beweisen wollen. Dazu setzen wir voraus, dass ihr mit den logischen Verknüpfungen umgehen könnt. Im Weiteren seien A, B und C drei beliebige Mengen. \darkblue\ a) Assoziativgesetze: 1.) (A\union\ B)\union\ C=A\union\ (B\union\ C) 2.) (A\cut\ B)\cut\ C=A\cut\ (B\cut\ C) \stress\ Beweis: \(Euer vielleicht erster Beweis, freut euch!! :-P) 1.) Sei x ein beliebiges Element. Wir müssen dann zeigen, dass aus x\el\ (A\union\ B)\union\ C folgt, dass x\el\ A\union\ (B\union\ C) und umgekehrt. Sei also x\el\ (A\union\ B)\union\ C. Davon gehen wir aus, und daraus folgern wir durch logische Schlussfolgerungen, dass genau dann x\el\ A\union\ (B\union\ C). \stress\ Auch wenn ihr jetzt noch eigentlich keine Beweismethoden kennt, führen wir den Beweis schon mal an, da er nicht schwer ist. Aber keine Sorge, wir erklären was wir machen. \blue\ Zunächst nehmen wir uns ein beliebiges Element x und schreiben auf, was gegeben ist. Einfach nur hinschreiben, mehr nicht ;) x\el\ (A\union\ B)\union\ C \blue\ das Element x soll ja in der Vereinigung von A und B liegen oder in C <=>x\el\ (A\union\ B)\or\ x\el\ C \blue\ den logischen "oder" Operator nutzen, kurz : \or <=>(x\el\ A\or\ x\el\ B)\or\ x\el\ C \blue\ Klammern auflösen <=>x\el\ A\or\ x\el\ B\or\ x\el\ C \blue\ Klammern nach rechts verschieben ;) <=>x\el\ A\or\ (x\el\ B\or\ x\el\ C) \blue\ Den Anfangsweg rückwärts gehen <=>x\el\ A\or\ x\el\ (B\union\ C) \blue\ nun \or durch Vereinigungssymbol ersetzen! <=>x\el\ A\union\ (B\union\ C) Weil der Beweis zu Ende ist noch ein duftes Quadrat platzieren. \bigbox Damit ist unser Beweis abgeschlossen. Entweder man malt dann so ein kleines Quadrat, wie wir das gemacht haben oder schreibt q.e.d., was lateinisch (quod erat demonstrandum) ist und so viel bedeutet wie "Was zu zeigen (beweisen) war.". Zeichnet euch mal beide Mengen, also (A\union\ B)\union\ C und A\union\ (B\union\ C) auf. Und ihr werdet feststellen, dass dieselben Venn\-Diagramme herauskommen. Natürlich ist das kein Beweis, aber zur Veranschaulichung sicherlich am Anfang ganz gut. 2.) Wir müssen zeigen, dass (A\cut\ B)\cut\ C=A\cut\ (B\cut\ C). Der Beweis verläuft eigentlich analog \(Was heißt analog? Analog bedeutet, dass der Beweis durch ähnliche Überlegungen geführt wird). Wir ersetzen einfach nur den logischen "Oder"\-Operator durch den logischen "Und"\-Operator. Wir wollen den Beweis der Vollständigkeit halber nochmals ausführen. Aber es empfiehlt sich erstmal nicht weiterzulesen, sondern den Beweis selbst zu probieren. Sei x\el\ (A\cut\ B)\cut\ C. Zu zeigen ist, dass x\el\ A\cut\ (B\cut\ C). x\el\ (A\cut\ B)\cut\ C <=>x\el\ (A\cut\ B)\and\ x\el\ C <=>(x\el\ A\and\ x\el\ B)\and\ x\el\ C <=>x\el\ A\and\ x\el\ B\and\ x\el\ C <=>x\el\ A\and\ (x\el\ B\and\ x\el\ C) <=>x\el\ A\and\ x\el\ (B\cut\ C) <=>x\el\ A\cut\ (B\cut\ C) \bigbox War doch gar nicht so schwer, oder? Wir verdeutlichen die Aussage in einem Venn\-Diagramm. Auch hier gilt: Zeichnet euch die beiden Mengen, also (A\cut\ B)\cut\ C und A\cut\ (B\cut\ C) einfach mal auf. In beiden Fällen werdet ihr zu diesem Ergebnis kommen: Assoziativgesetz \darkblue\ b) Kommutativgesetze: 1.) A\union\ B=B\union\ A 2.) A\cut\ B=B\cut\ A \stress\ Beweis: Diese Beweise sollten euch jetzt leicht von der Hand gehen: 1.) Sei x\el\ A\union\ B. x\el\ A\union\ B <=> x\el\ A\or\ x\el\ B <=> x\el\ B\or\ x\el\ A<=>x\el\ (B\union\ A) \bigbox 2.) Sei x\el\ A\cut\ B. x\el\ A\cut\ B <=> x\el\ A\and\ x\el\ B <=> x\el\ B\and\ x\el\ A<=>x\el\ (B\cut\ A) \bigbox \darkblue\ c) Distributivgesetze: 1.) A\union\ (B\cut\ C)=(A\union\ B)\cut\ (A\union\ C) 2.) A\cut\ (B\union\ C)=(A\cut\ B)\union\ (A\cut\ C) Verdeutlichen wir uns 1.) erst einmal in einem Venn\-Diagramm: Distributivgesetz Distributivgesetz Nun zum \stress\ Beweis: Die Beweise sind jetzt etwas ausführlicher. Aber auch nicht schwerer. Auch hier gilt: Erstmal alleine probieren! Denn Mathematik lernt man nur durch selbstständiges Arbeiten. Deshalb solltet ihr beim Lesen des Artikels auch Papier und Stift neben euch haben. Zu 1.) Sei x\el\ A\union\ (B\cut\ C). Zu zeigen x\el\ (A\union\ B)\cut\ (A\union\ C). x\el\ A\union\ (B\cut\ C)<=>x\el\ A\or\ (x\el\ (B\cut\ C)) <=>x\el\ A\or\ (x\el\ B\and\ x\el\ C) <=>(x\el\ A\or\ x\el\ B)\and\ (x\el\ A\or\ x\el\ C) <=>x\el\ (A\union\ B)\cut\ (A\union\ C) \bigbox Beim Beweis haben wir das "Distributivgesetz" des Aussagenlogik ausgenutzt. Macht euch das am besten an einem selbst gewählten Beispiel klar. Der Beweis zu 2.) verläuft wieder analog. Sei x\el\ A\cut\ (B\union\ C). Zu zeigen ist, dass x\el\ (A\cut\ B)\union\ (A\cut\ C). x\el\ A\cut\ (B\union\ C)<=>x\el\ A\and\ x\el\ (B\union\ C) <=>x\el\ A\and\ (x\el\ B\or\ x\el\ C) <=>(x\el\ A\and\ x\el\ B)\or\ (x\el\ A\and\ x\el\ C) <=>x\el\ (A\cut\ B)\union\ (A\cut\ C) \bigbox Als Übung malt euch dazu nochmals die entsprechenden Venn\-Diagramme, wie unter 1.). \big\ \darkblue\ "Besondere" Eigenschaften der Teilmengenbeziehung: Für drei beliebige Mengen A, B und C gelten die folgenden Aussagen. Wir wollen diese nicht beweisen, aber man kann sie sich anschaulich sehr gut klar machen. a) A\subsetequal\ A \(Jede Menge ist eine Teilmenge von sich selbst.) b) (A\subsetequal\ B)\and\ (B\subsetequal\ A) <=>A=B Zwei Mengen sind also genau dann gleich, wenn Menge A Teilmenge von B ist und umgekehrt. Wir mussten also eben bei den Beweisen zwei Richtungen zeigen. Zum Beispiel einmal, dass (A\cut\ B)\union\ (A\cut\ C) \subsetequal\ A\cut\ (B\union\ C) und A\cut\ (B\union\ C) \subsetequal\ (A\cut\ B)\union\ (A\cut\ C). Durch die Äquivalenzpfeile haben wir aber gezeigt, dass man den Beweis auch "rückwärts" durchlaufen kann. Merke also: Wenn ihr die Gleichheit zweier Mengen zeigen wollt, so sind immer zwei Richtungen zu zeigen!! c) (A\subsetequal\ B)\and\ (B\subsetequal\ C) => A\subsetequal\ C Anschauchlich: Transitiv Wir werden in Abschnitt 1.3 gleich sehen, dass diese "Teilmengenrelation" eine Halbordnung bildet. Wie gesagt, was das genau ist, erfahrt ihr gleich. Erstmal noch eine letzte Eigenschaft: d) \forall\ A: \0\subsetequal\ A Die leere Menge ist also Teilmenge jeder Menge. 1.2.5 Die Potenzmenge und das kartesische Produkt \big\ \darkblue\ Die Potenzmenge: Nun zu einer Menge, die immer wieder mal auftreten kann. Sie ist definiert als \wp(M):=menge(A | A\subsetequal\ M) Die Potenzmenge ist also die Menge aller Teilmengen von M. Gebt zum Beispiel die Potenzmenge der Menge M:=menge(1, 2) an. Wir erhalten: \wp(M)=menge(\0, menge(1), menge(2), menge(1, 2)) Die leere Menge führt man mit auf, da diese ja Teilmenge jeder beliebigen Menge ist. Wir sehen hier: Mengen selbst können Elemente von Mengen sein. Da es so gut lief, bestimmt die Potenzmenge der Menge N:=menge(menge(1), 2, 3). Es gilt: \wp(N)=menge(\0, menge(menge(1)), menge(2), menge(3), menge(menge(1), 2), menge(menge(1), 3), menge(2, 3), menge(menge(1), 2, 3)). Wie bestimmt man also die Potenzmenge einer Menge? Indem man einfach in dieser Potenzmenge alle Teilmengen der Menge selbst zusammenfasst. Dabei sollte man systematisch vorgehen, um keine Teilmenge zu vergessen. Also erst die Teilmengen mit gar keinem Element aufführen \(die leere Menge), dann die Teilmengen mit genau einem Element, dann mit genau zwei Elementen, usw. Ob ihr keine Teilmenge vergessen habt, könnt ihr mit dem folgenden Satz überprüfen: \darkblue\ Eine Menge mit n Elementen besitzt genau 2^n Teilmengen. Überprüfen wir diesmal an unseren beiden Beispielen: Die Menge M besitzt 2 Elemente und deren Potenzmenge 2^2=4. Stimmt also. Auch bei der Menge N erhalten wir in der Potenzmenge die geforderten 2^3=8 Teilmengen. Diesen Satz beweisen wir in Kapitel 2. Wir benötigen dafür nämlich eine der wichtigsten Beweismethoden, die vollständige Induktion. \big\ \darkblue\ Das kartesische Produkt ist definiert als A_1\cross\ A_2\cross\ ...\cross\ A_n:=menge((a_1, a_2, ..., a_n) | a_i \el\ A_i für i=1, 2, ..., n) Sind A_1=A_2= ... =A_n , so schreiben wir A^n:=A \cross\ A\cross\ A \cross\ ...\cross\ A \(n\-mal) Während es bei Mengen nicht auf die Reihenfolge der Elemente ankommt, kommt es hier auf die Reihenfolge ganz erheblich an. Man spricht von \big\ geordneten Paaren. Es gilt (a', b')=(a, b) genau dann, wenn a'=a \and\ b'=b. Klingt erstmal kompliziert, machen wir also ein Beispiel: Gegeben seien die beiden Mengen A_1=menge(1, 3) und A_2=menge(1, 2, 3). Von diesen beiden Mengen wollen wir das kartesische Produkt bilden. Dabei halten wir uns \(wie soll es auch anders sein) an die Definition und erhalten: A_1 \cross\ A_2= menge((1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)). Es kommt also auf die Reihenfolge an. Ebenfalls werden wir in Kapitel 2 folgenden Satz beweisen: \darkblue\ Sei eine Menge A_1 mit n Elementen und eine Menge A_2 mit k Elementen gegeben. Dann besitzt das kartesische Produkt genau n*k Elemente. Am Ende eines jeden Abschnitts werden wir versuchen, mittels einer Übungsaufgabe zu überprüfen, ob ihr den Stoff verstanden habt. Hier also die ersten Aufgaben (Die Lösungen findet ihr am Ende des Kapitels): \big\ \red\ Aufgabe 1: Seien X und A beliebige Mengen. Man beweise \(oder widerlege durch ein Gegenbeispiel) die folgenden Behauptungen: a) X \Delta (A\union\ B)=(X \Delta A) \union\ (X \Delta B) b) X \Delta (A\cut\ B)=(X \Delta A) \cut\ (X \Delta B) \big\ \red\ Aufgabe 2: Gegeben seien die Mengen X:=menge(1, 2, 3, 4), Y:=menge(2, 3, 4, 5, 6) und Z:=menge(3, 4, 5, 6, 7, 8) Gib die folgenden Mengen an: (a) (X \union\ Y) \cut\ Z, (b) X \union\(Y \cut\ Z), (c) (X \\ Y)\union Z, (d) X \\(Y \union Z) \big\ \red\ Aufgabe 3: Gegeben seien die Mengen A,B,C und D. Beweise folgende Behauptungen! (a) (A \cut\ B) \cross\ (C \cut\ D)=(A \cross\ C)\cut\(B \cross\ D) (b) (A \union\ B)\cross\ C=(A \cross\ C)\union\(B \cross\ C)
1.3 Relationen Kommen wir nun zu Relationen. Diese benötigen wir zunächst einmal, um den Begriff der Abbildung in Abschnitt 1.4 auf ein sicheres Fundament zu stellen. Da wir uns ja langsam an die Hochschulmathematik gewöhnen wollen, werden wir jetzt so langsam immer mehr "Vorlesungsstruktur" annehmen. D.h. wir definieren etwas, formulieren einen Satz und beweisen diesen dann. So richtig beweisen werden wir aber erst in bzw. ab Kapitel 2, wenn wir die verschiedenen Beweismethoden auf einen Blick motivieren und einführen. Also: 1.3.1 Definition einer Relation Seien A und B zwei Mengen. Eine Teilmenge R\subsetequal\ A\cross\ B heißt Relation zwischen den Mengen A und B. Ist A=B, so sagen wir: R ist eine Relation auf A. Wir schreiben auch oft (a,b)\el\ R oder aRb, um anzudeuten, dass das Element a\el\ A in Relation \(in Beziehung) mit dem \(zum) Element b\el\ B steht. Das "R" ist dabei meist ein spezielles Symbol. Wie z.B. =, <, >, \subset\ , oder Ähnliches. Die folgenden Mengen stellen jeweils die Kleiner\-, Größer\- und die Gleichheitsrelation auf der Menge der natürlichen Zahlen dar: a) <:=menge((1,2), (1,3), (2,3), (1,4), (2,4), (3,4), (1,5), ...) b) >:=menge((2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3), (5,1), ...) c) =:=menge((1,1), (2,2), (3,3), ...) Betrachten wir nochmal a). Hier ist zum Beispiel (1,2) ein Element der Relation. Das wiederum bedeutet, dass 1 in Relation zu 2 steht. Und dies ist ja ersichtlich klar, denn 1<2. 1.3.2 Eigenschaften von Relationen Sei R eine Relation auf A. R heißt \big\ \squaredot Reflexiv \forall\ a\el\ A: (a,a)\el\ R \(Jedes Element steht also in Relation mit sich selbst. Offenbar ist die Gleichheitsrelation reflexiv.) \big\ \squaredot Symmetrisch \forall\ a, b\el\ A: (a,b)\el\ R => (b,a)\el\ R \(D.h.: Wenn a zu b in Relation steht, dann auch b zu a. Man kann diese also gewissermaßen vertauschen.) \big\ \squaredot Transitiv \forall\ a, b, c\el\ A: ((a,b)\el\ R\and\ (b,c)\el\ R) => (a,c)\el\ R \(Mit Worten: Wenn a zu b in Relation steht und b zu c, dann steht auch a zu c in Relation.) \big\ \squaredot Total \forall\ a, b\el\ A: (a,b)\el\ R\or\ (b,a)\el\ R \(Das bedeutet, dass zwei Elemente auf jeden Fall in Relation stehen.) \big\ \squaredot Irreflexiv \forall\ a\el\ A: (a,a)\notel\ R \(Kein Element steht also in Relation zu sich selbst.) \big\ \squaredot Antisymmetrisch \forall\ a, b \el\ A: ((a,b)\el\ R \and\ (b,a)\el\ R) => a=b \(Was heißt das? Einfach nur: Wenn a zu b in Relation steht und b zu a, dann sind a und b gleich.) Man beachte noch, dass totale Relationen immer reflexiv sind. Wieso? Diese Begriffe verinnerlicht man nur, indem man viele Beispiele anschaut und angibt, welche Eigenschaften zutreffen. Dies wollen wir jetzt machen. 1.3.3 Beispiele zu Relationen Bedenke, dass eine Relation niemals gleichzeitig symmetrisch und antisymmetrisch bzw. reflexiv und irreflexiv sein kann. Dennoch muss eine Relation nicht unbedingt reflexiv oder irreflexiv sein, wie folgende Relation zeigt: Wir betrachten die Relation R:=menge((1,2),(2,2))\subsetequal\ menge(1,2)\cross\ menge(1,2). Diese Relation ist nicht reflexiv, da (1,1)\notel\ R und nicht irreflexiv, da (2,2)\el\ R. Noch ein \big\ Beispiel: Sei die Relation wie folgt definiert als R:=menge((a,b)\el\ M\cross\ M | a und b sprechen die gleiche Sprache), wobei M die Menge aller Menschen ist. Diese Relation ist \squaredot reflexiv, denn jeder spricht die Sprache, die er nun mal selbst spricht. Also steht jedes Element in Relation mit sich selbst. \squaredot symmetrisch, denn wenn Mensch a und Mensch b dieselbe Sprache sprechen, sprechen natürlich auch Mensch b und Mensch a dieselbe Sprache. Es ist egal, in welcher Reihenfolge man die Menschen nennt. \squaredot nicht transitiv, denn nehmen wir mal an, Mensch a und Mensch b sprechen Deutsch und Mensch b und c sprechen Englisch. Und Mensch c spricht nur Englisch, aber Mensch a nur Deutsch. D.h., dass Mensch a und Mensch c nicht dieselbe Sprache sprechen. Also ist die Relation nicht unbedingt transitiv. \squaredot nicht total, da man immer zwei Menschen finden kann, die nicht dieselbe Sprache sprechen. (Zum Beispiel Mann und Frau ... Okay, schlechter Witz *g*) \squaredot nicht irreflexiv, da die Relation ja schon reflexiv ist, damit kann sie nicht zusätzlich noch irreflexiv sein. \squaredot nicht antisymmetrisch, da die Relation schon symmetrisch ist, wie wir uns oben überlegt haben. Ein weiteres Beispiel: Sei R die Relation R:=menge((a,b)\el\ M\cross\ M | a und b haben dieselbe Mutter). Diese Relation ist: \squaredot reflexiv, denn jeder Mensch hat die Mutter, die er nun mal hat. \squaredot symmetrisch, denn wenn a und b dieselbe Mutter haben, dann auch b und a. Sie sind Geschwister. \squaredot transitiv, da: Wenn a und b dieselbe Mutter haben und b und c, dann natürlich auch a und c. \squaredot nicht total, denn man findet sehr viele Menschen, die nicht dieselbe Mutter wie ich haben. \squaredot nicht irreflexiv, da schon reflexiv. \squaredot nicht antisymmetrisch, da schon symmetrisch. Noch ein \big\ drittes und letztes Beispiel: M sei wieder die Menge der Menschen und aRb :<=> a hat mit b ein gemeinsames Kind. Diese Relation ist: \squaredot nicht reflexiv, denn wer hat schon ein Kind mit sich selbst? Wenn das der Fall ist, bitte per PN melden. :-P \squaredot symmetrisch, denn wenn a mit b ein gemeinsames Kind hat, dann mit Sicherheit auch b mit a. \squaredot nicht transitiv, denn überlegt mal: Wenn a mit b ein gemeinsames Kind hat und b mit c, wie können dann a und c ein gemeinsames Kind haben? Das geht nicht \(jedenfalls nicht auf dem natürlichen Weg), denn die beiden Menschen haben dasselbe Geschlecht. \squaredot nicht total, da totale Relationen immer reflexiv sein müssen. \squaredot nicht antisymmetrisch, da die Relation schon symmetrisch ist. \squaredot irrflexiv, da kein Element in Relation mit sich selbst steht \(siehe Begründung unter "nicht reflexiv"). Überlegt euch selber Beispiele und prüft nach, ob die Relationen gewisse Eigenschaften von den oben genannten besitzen. So, überlegt euch, was mit der Relation R:=menge((m,n) | \exists\ k\el\ \IN: m-n=2k)\subsetequal\ \IN\cross\ \IN ist? Sieht komplizierter aus, als es ist. :-) 1.3.4 Besondere Relationen Relationen mit ganz gewissen und bestimmten Eigenschaften haben eigene Namen. \darkblue\ Äquivalenzrelation Eine Relation heißt Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. \darkblue\ Halbordnung Eine Relation heißt Halbordnung, wenn sie reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist. \darkblue\ Strenge Halbordnung Eine Relation heißt strenge Halbordnung, wenn sie irreflexiv und transitiv ist. \darkblue\ Totalordnung Eine Relation heißt Totalordnung, wenn sie reflexiv, transitiv und total ist. Bevor wir zu den Beispielen kommen, definieren wir noch den Begriff der \big\ \darkblue\ Äquivalenzklasse. Sei eine Äquivalenzrelation ~ auf einer Menge X gegeben. Dann heißt für jedes x\el\ X die Menge [x]:=menge(y\el\ X | y~x) Äquivalenzklasse von x und jedes y\el\ [x] ist ein \big\ \darkblue\ Repräsentant dieser Äquivalenzklasse. Das Symbol ~ \(genauer: y~x) bedeutet wieder, dass y in Relation zu x steht. Ein kurzes \big\ Beispiel: Sei X die Bevölkerung einer Großstadt und eine Relation auf X wie folgt definiert durch x~y :<=> (x und y haben dasselbe Elternpaar). Dies ist offensichtlich eine Äquivalenzrelation \(siehe weiter unten) und zwei Personen der Großstadt gehören genau dann in dieselbe Äquivalenzklasse, wenn sie Geschwister sind. Wir sind noch in der Anfangsphase, d.h. wir sollten so viele Beispiele wie möglich anführen: Also geben wir jetzt zu jeder der verschiedenen Relationsarten ein Beispiel: \ \big\ Beispiel zur Äquivalenzrelation und zur Äquivalenzklasse Folgendes Beispiel haben wir bei wikipedia.de entdeckt und konnten nicht der Versuchung widerstehen, es zu übernehmen. Man verzeihe uns. :) Ein Beispiel aus der Landwirtschaft soll die eingeführten Begriffe vorweg verdeutlichen. Betrachten wir die Menge aller Nutztiere in einem landwirtschaftlichen Betrieb. Wir definieren nun eine Relation: Wir sagen, zwei Tiere stehen in Relation zueinander, wenn sie von derselben Art sind. Die Kuh Erna zum Beispiel steht mit dem Ochsen Bruno in Relation, aber nicht mit dem Huhn Betti. Diese Relation ist eine Äquivalenzrelation: Jedes Tier ist von derselben Art wie es selbst \(=> "reflexiv"). Ist ein Tier von derselben Art wie das andere, dann ist das andere auch von derselben Art wie das erste \(=> "symmetrisch"). Wenn Erna und Lisa von derselben Art sind und Lisa und Bruno von derselben Art, dann sind auch Erna und Bruno von derselben Art \(z.B. Rinder; => "transitiv"). Eine Äquivalenzklasse besteht hier also aus den Tieren einer Art. Zum Beispiel bilden alle Hühner eine Äquivalenzklasse und die Rinder eine andere Äquivalenzklasse. Äquivalenzrelationen gibt es aber wie Sand am Meer. Wir zählen einige auf: \squaredot die Gleichmächtigkeit endlicher Mengen: zwei endliche Mengen heißen gleichmächtig, wenn sie dieselbe Anzahl von Elementen haben \(siehe auch Abschnitt 1.7) \squaredot die Kongruenz in der Geometrie \squaredot die Ähnlichkeit in der Geometrie ... \big\ Beispiel zur Halbordnung Wer diesen Artikel aufmerksam liest, dem müsste jetzt ein Beispiel für eine Halbordnung sofort einfallen... Klar, es ist die Teilmengenbeziehung \subsetequal\ . Diese war \(siehe Abschnitt 1.2) reflexiv, transitiv und antisymmetrisch. Wir haben dies zwar nicht formal nachgewiesen \(was gar nicht so einfach ist), sondern es uns einfach anschaulich klar gemacht, was uns jetzt erstmal genügen soll. \big\ Beispiel zur strengen Halbordnung Zum Beispiel sind die Relationen "Echte Teilmenge" in einer Potenzmenge oder die Relation "Komponentenweise kleiner, aber nicht gleich" strenge Halbordnungen. Prüft das nach! \big\ Beispiel zur Totalordnung Eine Totalordnung ist die Relation "Kleiner\-Gleich" auf den ganzen Zahlen. Zeit für Übungsaufgaben: \big\ \red\ Aufgabe 4: Sei R eine reflexive Relation auf einer Menge A. Man zeige: R ist eine Äquivalenzrelation auf A <=> \forall\ a, b, c\el\ A: ((aRc\and\ bRc) => aRb) \big\ \red\ Aufgabe 5: Sei R eine Relation auf A:=menge(1, 2, 3, 4, 5) gegeben durch R:=menge((1, 1), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 5), (4, 3), (4, 5), (5, 5)) Handelt es sich bei R um eine Halbordnung? Wenn nicht, dann ergänze Elemente, so dass R eine Halbordnung wird.
1.4 Abbildungen Mit den Relationen haben wir nun die Grundlage gelegt, um Abbildungen zu definieren: 1.4.1 Definition einer Abbildung Seien X und Y zwei beliebige Mengen. Definition der \big\ \darkblue\ partiellen Abbildung: Eine partielle Abbildung ist eine Relation f\subsetequal\ X\cross\ Y mit der folgenden Eigenschaft: f ist eindeutig, das heißt: Wenn (x,y)\el\ f und (x,y')\el\ f, so ist y=y'. Mit anderen Worten: Wir ordnen einem Element x der Menge X nicht mehr als ein Element y der Menge Y zu. Eine partielle Abbildung von der Menge X in die Menge Y ist demnach eine Relation, in der jedes Element in der Menge X mit höchstens einem Element in der Menge Y in Relation steht. Der Definitionsbereich von f ist die Menge D_f:=menge(x\el\ X | \exists\ y\el\ Y mit (x,y)\el\ f). Der Wertebereich von f ist dann: W_f:=menge(y\el\ Y | \exists\ x\el\ X, sodass (x,y)\el\ f) Eine partielle Abbildung heißt \big\ \darkblue\ Abbildung, wenn D_f=X, das heißt: f ist total definiert. Das wiederum bedeutet: \big\ Zu jedem x\el\ X existiert genau ein y\el\ Y mit (x,y)\el\ f. Ist f\subsetequal\ X\cross\ Y eine Abbildung und ist Y\subsetequal\ \IR \(oder auch Y\subsetequal\ \IC\.), so nennen wir f eine reelle bzw. komplexe \darkblue\ Funktion. Wir vereinbaren nun folgende Schreibweisen: Ist f\subsetequal\ X\cross\ Y eine Abbildung, so existiert \(wie wir oben gesehen haben) zu jedem x\el\ X genau ein y\el\ Y mit (x,y)\el\ f. Wir schreiben dazu f:X->Y und f(x)=y. Wir sagen: f bildet X in Y ab \(oder: f bildet X nach Y ab) und sagen: f nimmt an der Stelle x den Wert \(bei Funktionen sagen wir: den Funktionswert) f(x) an. Nun hier ein Beispiel für eine partielle Abbildung: Eine partielle Abbildung Dies ist nun keine Abbildung, da ja nicht jedem Element des Definitionsbereichs ein Element der Wertemenge zugeordnet wird. Denn der Definitionsbereich ist nicht komplett A. Aber es handelt sich um eine partielle Abbildung, da ja jedem Element des Definitionsbereiches höchstens ein Element der Menge B zugeordnet wird. Abbildung Es handelt sich um eine Abbildung, weil jedem Element des Definitionsbereichs genau ein Element der Menge B zugeordnet wird \(oder: da D_f=A ist und jedem Element des Definitionsbereichs höchstens ein Element der Menge B zugeordnet wird). Jede Abbildung ist auch eine partielle Abbildung. Die Umkehrung \(jede partielle Abbildung ist auch eine Abbildung) gilt jedoch nicht. Allerdings wird jede partielle Abbildung durch Einschränkung auf ihren Definitionsbereich D_f zu einer Abbildung. Dabei ist die Einschränkung einer partiellen Abbildung f:X->Y auf eine Teilmenge X'\subsetequal\ X definiert durch f\|_X' :=menge((x,y)\el\ f | x\el\ X')\subsetequal\ X'\cross\ Y. Das "\|" steht für die Einschränkung. Fassen wir dies mit eigenen Worten nochmal zusammen: Man streicht also in gewissem Sinne diejenigen Elemente hinaus, die nicht abgebildet werden und so kann man erreichen, dass D_f=X. 1.4.2 Verkettung von Abbildungen Es seien f:A->B und g:B->C zwei Abbildungen. Unter der Verkettung "g nach f" der Abbildungen g und f verstehen wir die neue Abbildung g\circ\ f:A->C, (g\circ\ f)(a):=g(f(a)) für ein beliebiges Element a\el\ A. Anschaulich bedeutet das: Verkettung An die Schreibweise muss man sich erst einmal gewöhnen. Man führt es sozusagen von rechts nach links durch. Was heißt das? Einem Element a in A wird also zunächst ein Element b=f(a) in B zugeordnet und diesem b wird seinerseits das Element c=g(b) zugeordnet. Insgesamt ist dann also c=g(f(a)). Obwohl man zuerst die Zuordnung f und dann die Zuordnung g ausführt, schreibt man die Verknüpfung in der Form g\circ\ f. g\circ\ f liest man besser "g nach f". Und das bedeutet, dass zuerst f und dann g angewendet wird. Aus der Definition wird klar, dass das so sein muss, aber es ist auch immer wieder am Anfang verwirrend. Dass die Reihenfolge aber eine sehr wichtige Rolle spielt, zeigen die beiden folgenden Beispiele: a) Sei f:\IR->\IR definiert durch f(x):=x^2 und g:\IR->\IR, g(x)=a*x+b. Dann ist: (g\circ\ f)(x)=a*x^2+b (f\circ\ g)(y)=(a*x+b)^2 Wir erhalten also ganz andere Funktionen, wenn nicht zufällig (a,b)\el\ menge((0, 0), (0, 1), (1, 0)) ist. b) Sei f:\IR->\IR definiert durch f(x)=abs(x) und g:\IR ->\IR, g(x)=-2x. Hier erhalten wir: (g\circ\ f)(x)=-2*abs(x) (f\circ\ g)(x)=g\circ\ f(x)=2*abs(x) Wir schließen daraus, dass die Verknüpfung \circ\ nicht kommutativ ist. Was genau man unter einer Verknüpfung versteht, lernt ihr vermutlich in der Linearen Algebra I. Merke, wie man verkettete Funktionen explizit erhält: "Die hintere Funktion in die Funktionsvorschrift der anderen Funktion einsetzen."
1.5 Injektivität, Surjektivität und Bijektivität Zunächst wollen wir nochmals einige Begriffe erklären, die immer wieder verwechselt, aber oft benutzt werden. \big\ \darkblue\ Definitionsbereich: Unter der Definitionsmenge__ oder dem Definitionsbereich__ versteht man jene Teilmenge einer Grundmenge, für die im jeweiligen Zusammenhang eine wohldefinierte Aussage möglich ist. Wir werden die Definitionsmenge oft mit einem D abkürzen. \big\ \darkblue\ Zielmenge: Im Kontext einer mathematischen Funktion f : A \to B, welche Elemente einer Menge A auf Elemente einer Menge B abbildet, bezeichnet man B als Zielmenge__ der Funktion. Man kann sich die Zielmenge auch als Wertevorrat vorstellen. Häufig wird dafür auch das Wort Wertemenge oder Wertebereich benutzt; diese Wörter bezeichnen aber oft stattdessen die Bildmenge von f. Es besteht also Verwechslungsgefahr. Die Zielmenge ist nur der Vorrat für mögliche Werte von f; es ist nicht zwingend erforderlich, dass diese auch tatsächlich alle durch f angenommen werden. \big\ \darkblue\ Bild (Bildmenge): Bei einer mathematischen Funktion f ist das Bild__ oder die Bildmenge__ einer Teilmenge M des Definitionsbereichs die Menge der Werte aus der Zielmenge, die f auf M tatsächlich annimmt. Insbesondere ist das Bild von f die Menge der Werte, die f insgesamt annimmt \(auch als Wertemenge bezeichnet). Kurz: Die Menge der Werte, die als Funktionswert von f erscheinen, ist die Bildmenge. Nun soll es um Abbildungen der Art f:A->B mit A\subsetequal\ X gehen. Dann ist A die Definitionsmenge, X die Grundmenge, aber B nicht die Bildmenge, sondern die Zielmenge. Jetzt zu drei Begriffen, die einigen Anfängern große Schwierigkeiten bereiten. Aber es hilft nichts: Diese Begriffe tauchen in der Mathematik sehr oft auf, nur durch Lernen und Verinnerlichen dieser Begriffe werdet ihr diese auch verstehen. Also beginnen wir gleich: Im Weiteren sei f: A->B eine Abbildung. Abbildungen können besondere Eigenschaften besitzen: 1.5.1 Injektivität Zunächst die knallharte Definition: \big\ f heißt injektiv, wenn aus f(x)=f(x') auch x=x' folgt. Oder auch: f heißt injektiv, wenn aus x!=x' folgt, dass f(x)!=f(x'). Man kann das Ganze auch so formulieren: \big\ Injektivität bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens einmal als Funktionswert angenommen wird. Es werden also keine zwei verschiedenen Elemente der Definitionsmenge auf ein und dasselbe Element der Zielmenge abgebildet. Im Unterschied zu einer bijektiven Abbildung \(siehe Abschnitt 1.5.3) entspricht dabei nicht unbedingt jedem Element der Zielmenge ein Element der Definitionsmenge. Die Bildmenge kann also "kleiner" als die Zielmenge sein. Dies veranschaulicht man sich zunächst am besten mit einigen "Pfeildiagrammen". Injektivität Wie wir im vorigen Abschnitt gelernt haben, stellt diese Darstellung eine partielle Abbildung dar. Man überlegt sich leicht, dass diese Abbildung injektiv ist. Denn jedes Element der Zielmenge wird höchstens einmal als Funktionswert angenommen. Injektivität Auch diese Abbildung ist injektiv. Dies folgt mit derselben Begründung wie oben. Injektivität Diese Abbildung ist nun nicht injektiv! Wieso nicht? Auf den zweiten Punkt (von unten) in der Menge B (rechte Menge) treffen zwei Pfeile. Das heißt, dass dieses Element der Zielmenge zweimal als Funktionswert angenommen wird. Und das darf nach Definition nicht sein. Wir wissen auch, dass Funktionen einfach Abbildungen sind, bei denen jedem Element der Urbildmenge (Definitionsbereich) genau ein Element der Bildmenge (Wertebereich) zu geordnet wird. Wir wollen nun klären, wie wir explizit Funktionen auf Injektivität überprüfen können. Hier ist der Definitions- und Wertebereich nicht gerade unwichtig, wie die folgenden Beispiele zeigen werden. Das "Gute" ist, dass wir bei Funktionen Abbildungsvorschriften \(auch Zuordnungsvorschriften) gegeben haben. Ist die Funktion f:\IR->\IR, f(x):=x^2 injektiv? Nein, denn es muss ja aus f(x)=f(x') folgen, dass x=x'. Aber die Funktion ist achsensymmetrisch zur y\-Achse. Das bedeutet, dass z.B. x=1 und x=-1 dieselben Funktionswerte besitzen. Es gilt also f(1)=1^2=1=(-1)^2=f(-1), aber 1 ist nicht dasselbe wie -1. Daher kann f:\IR->\IR, f(x):=x^2 nicht injektiv sein. Würde man sich das wieder so wie oben mit "Pfeildiagrammen" aufzeichnen, so würde man feststellen, dass auf die 1 in der Bildmenge zwei Pfeile treffen, nämlich einmal der Pfeil von x=1 aus der Urbildmenge und von x=-1 aus der Urbildmenge. Wie wir oben schon erwähnt hatten, ist auch bei der Injektivität \(bei der gleich folgenden Surjektivität noch mehr) die Urbildmenge und Bildmenge entscheidend. Betrachten wir die Funktion f:\IN->\IN, f(x):=x^2. Ist die Funktion injektiv? Ja, ist sie. Denn würden wir das Bild zur Funktion zeichnen, so betrachten wir umgangssprachlich nur den rechten Ast der Normalparabel. Und da -1\notel\ \IN, folgt eben nicht die oben durchgeführte Berechnung. Diese Abbildung \(Funktion) ist injektiv. Ist die Funktion f:\IZ->\IZ, f(x)=x^2 injektiv? Nein, denn f(-1)=f(1), aber -1!=1. Versucht nun selbst zu beantworten, warum g:\IN->\IN, g(x)=2*x und h:\IZ->\IZ, h(x):=x injektiv sind. Wie weist man jetzt Injektivität bei Funktionen mathematisch korrekt nach? Sei die Funktion f:\IR->\IR f(x):=2*x+6 gegeben. Wir müssen zeigen f(x)=f(x')=>x=x'. Sei also f(x)=f(x'), d.h. 2*x+6=2*x'+6. Diese Gleichung formen wir nun um: 2*x+6=2*x'+6 => 2*x=2*x' => x=x' Wir haben also gezeigt, dass die Funktion injektiv ist. Eine weitere "Definition" oder eher eine Folgerung aus der Definition der Injektivität ist: \big\ Eine Abbildung f:A->B heißt injektiv, wenn die Urbildmenge eines Elements von B aus höchstens einem Element besteht. Was bedeutet das? Wir betrachten die Funktion f:\IR->\IR, f(x):=x^3-x. Diese Funktion ist nicht injektiv. Wieso nicht? Schauen wir uns mal den Funktionsgraphen an: Die Funktion ist nicht injektiv Übersetzt in unser "Pfeildiagramm" heißt das: Anschauchliche Begründung mit Pfeildiagramm Das D steht für Definitionsbereich (Urbildmenge) und das W für den Wertebereich (Bildmenge). f(x)=x^3-x=x(x^2-1)=x(x+1)(x-1) Die Nullstellen liegen also bei x_1=0, x_2=1 und x_3=-1. D.h. für die entsprechende Urbildmenge: f^(-1)(0)=menge(-1,0,1). Die Urbildmenge zur Null besteht also nicht nur aus einem Element. Aufgabe an euch: Überlegt euch möglichst viele Funktionen, die injektiv bzw. nicht injektiv sind. Versucht es zunächst anschaulich und dann mathematisch mittels der Definition zu begründen! 1.5.2 Surjektivität \ Nun zum zweiten Begriff, der Surjektivität. Erst wieder die Definition: \big\ f:A->B heißt surjektiv, wenn es zu jedem y\el\ B mindestens ein x\el\ A gibt mit f(x)=y. So, erstmal schlucken. Nachdenken, und weiter geht's: Bleiben wir mal bei endlichen Mengen. Warum kann zwischen den beiden Mengen A und B keine surjektive Abbildung existieren? Keine surjektive Abbildung möglich Wir sehen, dass die Urbildmenge aus drei Elementen und die Zielmenge aus vier Elementen besteht. Die Zielmenge enthält also mehr Elemente, sie ist "größer" als die Urbildmenge. Was dieses "größer" genau bedeutet, sei jetzt mal dahin gestellt. Es ist klar, was wir meinen, und in Abschnitt 1.6 kommen wir nochmals darauf zurück. Wir bezeichnen mit \#M die Anzahl der Elemente einer Menge M. Es gilt: \big\ \#Zielmenge > \#Urbildmenge Immer wenn das der Fall ist, kann die Abbildung höchstens injektiv, aber nicht surjektiv sein! Surjektiv kann es also nur sein \(bei endlichen Mengen!), wenn \big\ \#Zielmenge <= \#Urbildmenge. \(Dies garantiert natürlich keinesfalls die Surjektivität, sondern ermöglicht diese nur.) Denn wegen der Definition einer Abbildung \(siehe vorigen Abschnitt) muss zu jedem Element der Urbildmenge genau ein Element der Zielmenge existieren. D.h. aber, dass ein Element der Zielmenge keinen "Pfeil abbekommen würde". Folglich kann die Abbildung nicht surjektiv sein. Denn: \big\ Ist die Bildmenge von f gleich der Zielmenge von f, so heißt f surjektiv. \big\ Surjektivität bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als \big\Funktionswert angenommen wird, also mindestens ein Urbild hat. Anders \big\ausgedrückt: Bild\- und Zielmenge stimmen überein. Auch hier einige \big\ Beispiele: Nicht surjektiv Diese Abbildung zeigt nochmal das eben angesprochene Problem bei endlichen Mengen. Da ein Pünktchen keinen Pfeil "abbekommt", ist diese Abbildung nicht surjektiv. Surjektiv, nicht injektiv Diese Abbildung ist surjektiv, aber nicht injektiv! Könnt ihr begründen, warum nicht? Noch zwei weitere sofort einleuchtende Beispiele: Surjektiv, nicht injektiv Surjektiv, nicht injektiv. Begründen! Injektiv, nicht surjektiv Injektiv, nicht surjektiv. Begründen! Okay, nochmal explizit zu Funktionen: Hier kommt es noch mehr auf den Wertebereich der Funktion an. Betrachten wir die Funktion f:\IR->\IR, f(x):=exp(x), so stellen wir fest, dass diese Funktion nicht surjektiv sein kann \(aber injektiv), denn erinnern wir uns an die Definition von Surjektivität: Zu jedem Element des Wertebereichs muss es mindestens ein Element des Definitionsbereichs geben. Oder bei Funktionen kann man das auch so ausdrücken: Der gesamte Wertebereich muss "durchlaufen" werden. Und das ist bei der obigen Funktion nicht der Fall. Das sieht man sofort, wenn man sich den Funktionsgraphen der \ee\-Funktion anschaut: Die Funktion ist nicht surjektiv \ Es ist ja bekannt, dass die Exponentialfunktion \(\ee\-Funktion) nur positive Funktionswerte annimmt. \(Darauf kommen wir übrigens auch noch zu sprechen und wir werden das noch ganz genau zeigen.) Daher besitzt z.B. -2 kein Urbild \(damit haben wir ein Gegenbeispiel gefunden) und die Funktion ist nicht surjektiv. Schränken wir jetzt aber den Wertebereich wie folgt ein, so folgt, dass die Abbildung surjektiv ist: f:\IR->\IR_+ , f(x):=exp(x) Denn jetzt wird der gesamte Wertebereich "durchlaufen". Weisen wir mal an einer Funktion nach, dass sie surjektiv ist. Die Funktion f:\IR->\IR mit f(x):=2*x+1 ist surjektiv, denn für jede reelle Zahl y gibt es \(mindestens) ein Urbild. Um dies zu zeigen, löst man die Gleichung y=2*x+1 in einem ersten Schritt nach x auf und erhält x=(y-1)/2. Das Berechnen von x reicht aber im Allgemeinen nicht als Beweis. Dieser kann jedoch hier durch eine einfache Probe erbracht werden. Einsetzen liefert in der Tat: f((y-1)/2)=2((y-1)/2)+1=y. Noch ein letztes Beispiel: f:\IZ->\IZ, f(x)=x^3 ist injektiv, aber nicht surjektiv. Denn z.B. besitzt 2 kein Urbild. Denn wir müssten für x die dritte Wurzel aus 2 einsetzen und bekanntlich ist das aber gar keine ganze Zahl. Also wird nicht der gesamte Wertebereich "durchlaufen" und die Funktion ist damit nicht surjektiv. Injektiv, aber nicht surjektiv \big\ Die Urbildmenge eines Elements von B besteht bei der Surjektivität also aus mindestens einem Element. 1.5.3 Bijektivität Wer die Begriffe "injektiv" und "surjektiv" verstanden hat, hat mit dem Begriff der Bijektivität keine Probleme. Definition: \big\ f heißt bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist. Bijektivität \(bijektiv oder umkehrbar eindeutig auf oder eineindeutig auf) ist eine dritte Eigenschaft einer mathematischen Funktion \(Abbildung). Eine Funktion ist bijektiv, wenn sie verschiedene Elemente ihres Definitionsbereichs auf verschiedene Elemente der Zielmenge abbildet \(sie also injektiv ist), und wenn zusätzlich jedes Element der Zielmenge als Funktionswert auftritt \(sie also surjektiv ist). Eine bijektive Funktion hat daher immer eine Umkehrfunktion, ist also invertierbar \(siehe dazu auch die gleich folgenden Ausführungen). Ein paar Pfeildiagramme zur Verdeutlichung und Veranschaulichung: Bijektivität Bijektivität Die analogen Merksätze für Bijektivität lauten: \big\Für endliche Mengen haben die Definitionsmenge, die Bildmenge und die Zielmenge \big\einer Bijektion dieselbe Anzahl von Elementen. Umgekehrt ist eine Funktion \big\zwischen endlichen Mengen bijektiv, wenn diese drei Zahlen übereinstimmen. \big\ f:A->B ist bijektiv genau dann, wenn die Urbildmenge jedes Elements von B aus genau einem Element besteht. So ist die Funktion f:\IR->\IR, f(x):=x^3 sowohl injektiv, als auch surjektiv und damit bijektiv. Wenn man eine Abbildung also auf Bijektivität überprüfen will, so muss man zeigen, dass sie erstens injektiv und zweitens surjektiv ist. 1.5.4 Die Umkehrabbildung Bei einer bijektiven Abbildung f ist die inverse Relation f^(-1) auch eine bijektive Abbildung. Diese nennt man Umkehrabbildung von f. Ist allgemeiner f:A->B eine Abbildung, so bezeichnet f^(-1)(b):=menge(a\el\ A | f(a)=b) die Urbildmenge von f beim Wert b\el\ B. Wir merken an: Wenn f bijektiv ist, so ist f natürlich umkehrbar und zwar entsteht eine eindeutige gegenseitige Zuordnung. Umkehrabbildung Nicht jede Abbildung besitzt eine Umkehrabbildung. Denn wenn f nicht injektiv ist, existiert keine Umkehrabbildung. Dies veranschaulicht folgendes Pfeildiagramm Umkehrabbildung Besitzt eine nicht surjektive Abbildung eine Umkehrabbildung? Umkehrabbildung Wir halten fest: Nur eine bijektive Abbildung ist eindeutig umkehrbar! Zusammenfassend lässt sich vielleicht nochmal sagen: f:X->Y ist injektiv\/surjektiv\/bijektiv, wenn die Gleichung f(x)=y für jedes y\el Y höchstens\/mindestens\/genau eine Lösung hat. Es ist wieder Zeit für Aufgaben: \big\ \red\ Aufgabe 6: Seien X, Y und Z Mengen und f:X->Y, g:Y->Z Abbildungen. Man beweise \(oder widerlege durch Angabe eines Gegenbeispiels) die folgenden Behauptungen: a) Ist g\circ\ f injektiv, so ist f injektiv. b) Ist g\circ\ f surjektiv, so ist f surjektiv. c) Ist g\circ\ f injektiv, so ist g injektiv. d) Ist g\circ\ f surjektiv, so ist g surjektiv. \big\ \red\ Aufgabe 7: In einer Signatur von Yves stand mal folgender "Witz" \(nicht im Wortlaut): Sagt eine Studentin zu ihrem Professor: "Hmmm, injektiv ist die Abbildung nicht." Fragt der Professor:"Ist sie denn surjektiv?" Die Studentin entgegnet: "Ne, das auch nicht. Na gut, dann kann sie ja nur noch bijektiv sein." Warum können Mathematiker darüber lachen und "normale" Menschen nicht?
1.6 Abzählbarkeit 1.6.1 Was versteht man unter einer endlichen Menge? Zunächst also: Was versteht man unter einer \big\ \darkblue\ endlichen Menge? Eine Menge M heißt endlich, wenn es ein n\el\ \IN_0 gibt und eine surjektive Abbildung menge(1,2,...,n)->M. Mit anderen Worten: Die Menge besitzt eine endliche Anzahl an Elementen. Z.B. ist die Menge M:=menge(2,4,6) endlich, da eine surjektive (sogar bijektive) Abbildung f: menge(1,2,3)->menge(2,4,6) existiert. 1.6.2 Was bedeutet Abzählbarkeit? Im Folgenden müssen wir zwischen endlichen und nicht\-endlichen Mengen unterscheiden. Für endliche Mengen ist klar, was abzählbar bedeutet. Nämlich, dass man die Elemente der Menge abzählen kann. So ist z.B. die Menge M:=menge(1,2,3) abzählbar, sie besitzt drei Elemente. Wir halten also schon mal fest: \big\ Jede endliche Menge ist abzählbar. Wie sieht es aber mit nicht\-endlichen Mengen aus? Z.B. den natürlichen Zahlen? Oder was ist mit den reellen Zahlen? Kann man diese abzählen? Zunächst müssen wir einmal definieren, was wir unter Abzählbarkeit einer nicht\-endlichen Menge verstehen wollen. Und da hilft uns der Begriff der Surjektion: \big\ Eine Menge M heißt abzählbar \(\-unendlich), wenn es eine Surjektion zwischen der Menge der natürlichen Zahlen \IN und der Menge M gibt. Um zu zeigen, dass eine Menge abzählbar ist, muss man also nur solch eine Surjektion angeben. Anschaulich bedeutet das, dass man die Menge durchnummeriert. Jedes Element der Menge M bekommt also sozusagen ein Zettelchen dran geklebt, auf dem irgendeine natürliche Zahl steht. Naja, mit dem "irgendeine" sollten wir vorsichtig sein, denn bedenkt, es soll ja eine Bijektion werden. Ist eine Menge nicht abzählbar, so sagt man, sie ist \big\ überabzählbar. Wir fragen uns also nun, welche der bekannten Zahlenmengen abzählbar und welche überabzählbar sind. 1.6.3 Ist die Menge der natürlichen Zahlen abzählbar? \big\ \darkblue\ Die Menge der natürlichen Zahlen ist abzählbar! \stress\ Beweis: Die Menge der natürlichen Zahlen ist per Definition abzählbar, denn f:\IN->\IN mit f(x)=x ist mit Sicherheit eine Surjektion. 1.6.4 Ist die Menge der ganzen Zahlen abzählbar? \big\ \darkblue\ Die Menge der ganzen Zahlen ist abzählbar! Wir benötigen eine Surjektion. Wir definieren eine Abbildung f: A->\IN wie folgt: f(i):=cases(1, für i=0;2*i, für i>0;2*abs(i)+1, für i<0) Hierbei ist nun A=\IZ. Und sicherlich nummeriert man so alle ganzen Zahlen durch. Mathematisch: Man erhält die geforderte Surjektion. Also ist die Menge der ganzen Zahlen abzählbar. 1.6.5 Ist die Menge der rationalen Zahlen abzählbar? \big\ \darkblue\ Die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar. Auf dem ersten Blick erscheint die Menge der positiv rationalen Zahlen viel größer als die Gesamtheit aller natürlichen Zahlen. Betrachtet man die Zahlen 1 und 2, so gibt es keine natürliche Zahl, die zwischen den beiden liegt. Bei den rationalen Zahlen dagegen gibt es immer eine Zahl die zwischen zwei anderen liegt. Man braucht nur ihr arithmetisches Mittel zu bilden. So liegt zum Beispiel zwischen 9/12 und 10/12 die rationale Zahl 19/24. Um die Abzählbarkeit der rationalen Zahlen zu zeigen, verwendet man das 1.Cantorsche Diagonalverfahren. Wir wollen dies nur skizzenhaft skizzieren: Cantors Verfahren wird am besten mit der einfachsten unendlich großen Menge, der Menge der natürlichen Zahlen, und der Menge der positiven Brüche veranschaulicht. Die Aussage ist, dass die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge der positiven Brüche gleichmächtig sind. (Gleichmächtigkeit, siehe nächsten Abschnitt) Man ordnet die Brüche so an und nummeriert durch: 1. Cantorsche Diagonalverfahren \stress\ Bild entliehen von www.sgipt.org Damit ist die Abzählbarkeit von \IQ gezeigt. Man kann den Beweis auch viel mathematischer aufschreiben bzw. müsste es sogar vielleicht. Dies würde aber einige Anfänger überfordern und wir verweisen die Interessierten auf unser Literaturverzeichnis, z.B. auf [11]. 1.6.6 Ist die Menge der reellen Zahlen abzählbar? \big\ \darkblue\ Die Menge der reellen Zahlen ist überabzählbar. Cantors zweites Diagonalargument ist ein mathematischer Beweis dafür, dass die Menge der reellen Zahlen überabzählbar ist. Dieser Beweis ist auch unter dem Namen Diagonalisierung bekannt. Der Mathematiker Georg Cantor fand ihn im Jahr 1877. Den Beweis führt man mittels Widerspruch. Es ist ein sogenannter indirekter Beweis. Wir führen diesen dennoch durch, obwohl wir diesen erst in Kapitel 2 einführen. Bei Bedarf kann dort nachgeschlagen werden. Kurze Idee des Widerspruchsbeweises: Man nimmt das Gegenteil der Behauptung an und führt dieses zum Widerspruch; und da eine Behauptung nur entweder wahr oder falsch sein kann, folgt daraus direkt die Behauptung. In unserem Fall bedeutet das: Wir beschränken uns zunächst auf reelle Zahlen zwischen 0 und 1. Angenommen die Menge der reellen Zahlen zwischen 0 und 1 wäre abzählbar, so könnte man diese Zahlen in einer unendlichen Kolonne \(an Dezimalstellen) hintereinander aufschreiben: x_1=0.a_(11) a_(12) a_(13)..., x_2=0.a_(21) a_(22) a_(23)..., x_3=0.a_(31) a_(32) a_(33)..., ... Die Ziffern a_(ij) nehmen dabei wie üblich bei einer Dezimaldarstellung Werte zwischen 0 und 9 an. Nun konstruieren wir eine reelle Zahl y=0.c_1 c_2 c_3... wie folgt: Es sei c_i:=cases(5,falls a_(ii)!=5;4,falls a_(ii)=5) Offenbar liegt y zwischen 0 und 1 und muss daher unter den Folgengliedern x_1, x_2, x_3, ... vorkommen. Es gibt also ein n\el\ \IN, so dass y=x_n ist. Dann ist aber c_n=a_(nn). Das steht im Widerspruch zur Definition. Also war unsere Annahme falsch und die Behauptung richtig. \bigbox \big\ \darkblue\ Wichtige Sätze zur Abzählbarkeit 1.) Jede Teilmenge einer abzählbaren Menge ist abzählbar, insbesondere ist jede endliche Menge abzählbar. 2.) \big\ \darkblue\ Vereinigungssatz: Die Vereinigung abzählbar vieler abzählbarer Mengen ist wieder abzählbar. Der Leser ist aufgefordert, in Aufgabe 9 diesen Satz anzuwenden. Der Beweis soll erst einmal nicht geliefert werden, da wir Abzählbarkeit und Gleichmächtigkeit nur am Rande ansprechen wollten. Kann aber bei Bedarf jeder Zeit nachgereicht werden. Aus dem Vereinigungsssatz folgt sofort, dass die Menge der irrationalen Zahlen \IR \\ \IQ nicht abzählbar ist. Denn sonst wäre die Menge der reellen Zahlen \IR als Vereinigung der rationalen und irrationalen Zahlen abzählbar \(nach dem Vereinigungssatz). Wir wissen aber, dass \IR nicht abzählbar ist. Folglich ist auch \IR \\ \IQ nicht abzählbar. Drei Übungsaufgaben: \big\ \red\ Aufgabe 8: Man zeige: Die Primzahlen sind abzählbar. \big\ \red\ Aufgabe 9: Man zeige: Die Menge aller endlichen Teilmengen von \IN ist abzählbar. \big\ \red\ Aufgabe 10: \(Klassiker) Sei A!=\0 eine beliebige Menge und \wp(A) ihre Potenzmenge. Man zeige, dass es zwar eine injektive, aber keine surjektive Abbildung f:A->\wp(A)gibt. \stress\ Hinweis: Man betrachte die Menge X:=menge(a\el\ A | a\notel\ f(a)).
1.7 Gleichmächtigkeit von Mengen 1.7.1 Was bedeutet Mächtigkeit? \ Was bedeutet Mächtigkeit? In der Mathematik verwendet man den aus der Mengenlehre von Cantor stammenden Begriff der Mächtigkeit oder Kardinalität, um den für endliche Mengen verwendeten Begriff der "Anzahl der Elemente einer Menge" auf unendliche Mengen zu verallgemeinern. Für endliche Mengen setzt man die Mächtigkeit gleich der Anzahl der Elemente der Menge, das ist eine natürliche Zahl (oder die Null). Für unendliche Mengen muss man sich was anderes überlegen. \big\ \darkblue\ Wann sind zwei Mengen gleichmächtig? \big\ Eine Menge A heißt gleichmächtig zu einer Menge B, wenn es eine Bijektion f:A->B gibt. Oder mit anderen Worten: Zwei Mengen sind genau dann gleichmächtig, wenn jedem Element der einen Menge genau ein Element der anderen Menge zugeordnet werden kann, und umgekehrt ebenso, wenn also eine Bijektion zwischen den Mengen existiert. \stress\ Beispiele: a) Gleichmächtig sind \IN, \IZ und \IQ. b) Die Menge \IR der reellen Zahlen ist mächtiger als die Menge der natürlichen Zahlen \IN \(da \IR ja überabzählbar ist, wie wir eben gezeigt haben). Man kann die Abzählbarkeit also auch wie folgt definieren: Andere Definition von Abzählbarkeit: Eine Menge A bezeichnet man als abzählbar unendlich, wenn sie die gleiche Mächtigkeit hat wie die Menge der natürlichen Zahlen \IN.
1.8 Lösungen zu den Übungsaufgaben Hier nun unsere Lösungsvorschläge zu den Aufgaben. \big\ \red\ Lösung Aufgabe 1: Seien X, A und B beliebige Mengen. Man beweise \(oder widerlege durch ein Gegenbeispiel) die folgenden Behauptungen: a) X \Delta (A\union\ B)=(X \Delta A) \union\ (X \Delta B) b) X \Delta (A\cut\ B)=(X \Delta A) \cut\ (X \Delta B) \big\ \darkblue\ Lösung: Zunächst definieren wir uns einfach drei beliebige Mengen X, A und B wie folgt: X:=menge(1, 2, 3), A:=menge(7, 3, 9) und B:=menge(11, 2, 9) Nun bilden wir nacheinander die Mengen: a) X \Delta (A\union\ B)=menge(1, 2, 3) \Delta (menge(7, 3, 9)\union\ menge(11, 2, 9)) =menge(1, 2, 3) \Delta menge(7, 3, 9, 2, 11) =menge(1, 7, 9, 11) Es gilt aber: (menge(1, 2, 3) \Delta menge(7, 3, 9)) \union\ (menge(1, 2, 3) \Delta menge(11, 2, 9)) =menge(1, 2, 7, 9) \union\ menge(1, 3, 9, 11) =menge(1, 2, 3, 7, 9, 11) Aber menge(1, 9, 11)!=menge(1, 2, 3, 7, 9, 11) Wir haben also ein Gegenbeispiel gefunden. Was Anfänger oft falsch machen, ist die Behandlung der Aussage "Für alle ... gilt: ...". Wenn ihr so eine Aufgabe gegeben habt, dann müsst ihr das wirklich für ALLE zeigen. Also reicht ein Gegenbeispiel, wie eben, aus, um die Aussage oder Behauptung zu widerlegen. Wir werden noch öfters darauf zurückkommen. b) Es gilt zum einen X \Delta (A\cut\ B)=menge(1, 2, 3) \Delta (menge(7, 3, 9)\cut\ menge(11, 2, 9)) =menge(1, 2, 3) \Delta menge(9) =menge(1, 2, 3,9) und zum anderen (X \Delta A) \cut\ (X \Delta B)=(menge(1, 2, 3) \Delta menge(7, 3, 9)) \cut\ (menge(1, 2, 3) \Delta menge(11, 2, 9)) =menge(1, 2, 7, 9) \cut\ menge(1, 3, 9, 11)=menge(9). Aber: menge(1, 2, 3, 9)!=menge(9) Also ist auch die Behauptung falsch. Die Aufgabe ist damit gelöst. \big\ \red\ Lösung Aufgabe 2: Gegeben seien die Mengen X:=menge(1, 2, 3, 4), Y:=menge(2, 3, 4, 5, 6) und Z:=menge(3, 4, 5, 6, 7, 8) Wir geben die folgenden Mengen an: (a) (X \union\ Y) \cut\ Z, (b) X \union\(Y \cut\ Z), (c) (X \\ Y)\union Z, (d) X \\(Y \union Z) (a) (X \union\ Y) \cut\ Z=(menge(1, 2, 3, 4) \union\ menge(2, 3, 4, 5, 6)) \cut\ menge(3, 4, 5, 6, 7, 8) =menge(1, 2, 3, 4, 5, 6) \cut\ menge(3, 4, 5, 6, 7, 8)=menge(3, 4, 5, 6) (b) X \union\(Y \cut\ Z)=menge(1, 2, 3, 4) \union\ (menge(2, 3, 4, 5, 6) \cut\ menge(3, 4, 5, 6, 7, 8)) =menge(1, 2, 3, 4) \union\ menge(3, 4, 5, 6) =menge(1, 2, 3, 4, 5, 6) (c) (X \\ Y)\union Z=(menge(1, 2, 3, 4) \\ menge(2, 3, 4, 5, 6))\union\ menge(3, 4, 5, 6, 7, 8) =menge(1) \union menge(3, 4, 5, 6, 7, 8)=menge(1, 3, 4, 5, 6, 7, 8) (d) X \\(Y \union Z)=menge(1, 2, 3, 4) \\ (menge(2, 3, 4, 5, 6) \union menge(3, 4, 5, 6, 7, 8)) =menge(1, 2, 3, 4) \\ menge(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)=menge(1) \big\ \red\ Lösung Aufgabe 3: (a) (A \cut\ B) \cross\ (C \cut\ D)=(A \cross\ C)\cut\(B \cross\ D) (b) (A \union\ B)\cross\ C=(A \cross\ C)\union\(B \cross\ C) zu a): Diesmal nehmen wir uns zwei Elemente einmal x und y. (x,y)\el\ (A \cut\ B) \cross\ (C \cut\ D) \blue\ x Element A geschnitten B und y Element C geschnitten D <=> x\el\ A \cut\ B und y\el\ C \cut\ D \blue\ das schreiben wir getrennt auf, also "\cut\" durch "und" ersetzen <=> (x\el\A und x\el\B) und (y\el\C und y\el\ D) \blue\ rechte Seite benutzen und dasselbe nochmal aufschreiben <=>(x\el\A und y\el\C) und (x\el\B und y\el\ D) <=>(x,y)\el\ A \cross\ C und (x,y)\el\ B \cross\ D <=>(x,y)\el\ (A \cross\ C) \cut\ (B \cross\ D) und damit haben wir die Gleichheit bewiesen. Das Prinzip sollte nun klar sein. Andere Mengenbeweise verlaufen ähnlich. zu b) Der Beweis geht fast analog. Jetzt muss man die Vereinigung benutzen. (x,y)\el\ (A\union\ B)\cross\ C <=> (x\el\ A oder x\el\ B) und y\el\ C <=> (x\el\ A und y\el\ C) oder (x\el\ B und y\el\ C) <=> (x,y)\el\ A \cross\ C oder (x,y)\el\ B \cross\ C <=> (x,y)\el\ (A \cross\ C) \union\ (B \cross\ C) und das war zu zeigen. Lösungen der Übungsaufgaben aus \big\ Abschnitt 1.3. \big\ \red\ Lösung Aufgabe 4: Sei R eine reflexive Relation auf einer Menge A. Man zeige: R ist eine Äquivalenzrelation auf A <=> \forall\ a, b, c\el\ A: (aRc\and\ bRc)=>aRb Da wir hier eine Äquivalenzrelation vorliegen haben, müssen wir zwei Richtungen zeigen: "=>": R ist eine Äquivalenzrelation auf A => \forall\ a, b, c\el\ A: (aRc\and\ bRc)=>aRb "<==" : (\forall\ a, b, c\el\ A: (aRc\and\ bRc)=>aRb) => R ist eine Äquivalenzrelation auf A \stress\ Zur ersten Richtung: Es gilt also aRc und bRc. Da R eine Äquivalenzrelation ist, gilt dann wegen der Symmetrie von R auch cRb. Mit der Transitivität von R folgt dann aus aRc und cRb auch aRb. Und das war zu zeigen. \stress\ Zur anderen Richtung: Die Reflexivität brauchen wir nicht mehr nachzuweisen, es fehlt nur noch die Symmetrie und die Transitivität. Weise zunächst die Symmetrie nach, da daraus die Transitivität leicht gefolgert werden kann. Es gelte also aRb. Da R nach Voraussetzung reflexiv ist, gilt bRb. Aus bRb und aRb folgt nun nach Voraussetzung auch bRa, also die Symmetrie. \stress\ Zur Transitivität: Es gelte aRb und bRc. Da die Symmetrie schon gezeigt wurde, gilt dann auch cRb. Eine Anwendung unserer Voraussetzung liefert aRc, und damit die Transitivität. Und schon habt ihr eine weitere Aufgabe in Analysis I gelöst. \big\ \red\ Lösung Aufgabe 5: Sei R eine Relation auf A:=menge(1, 2, 3, 4, 5) gegeben durch R:=menge((1, 1), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 5), (4, 3), (4, 5), (5, 5)) Handelt es sich bei R um eine Halbordnung? Wenn nicht, dann ergänze Elemente, so dass R eine Halbordnung wird. Wegen (4,4)\notel\ R ist R nicht reflexiv und folglich keine Halbordung. Um eine Halbordnung zu erhalten, muss man also noch (4, 4) hinzunehmen, dadurch wird die Relation dann reflexiv. Da R auch transitiv sein muss, müssen wir noch (1, 3),(1, 5),(2, 4) und dann noch (2, 3),(2, 5) hinzunehmen. Dann ist R^\*:=R\union\ menge((4, 4), (1, 3), (1, 5), (2, 4), (2, 3), (2, 5)) eine Halbordnung, da diese auch antisymmetrisch ist, wie man leicht nachprüft \(Aufforderung an den Leser! :-D) Die Lösungen zu Abschnitt \big\ 1.5. Injektivität, Surjektivität und Bijektivität. \big\ \red\ Lösung zu Aufgabe 6: Seien X, Y und Z Mengen und f:X->Y, g:Y->Z Abbildungen. Man beweise \(oder widerlege durch Angabe eines Gegenbeispiels) die folgenden Behauptungen: a) Ist g\circ\ f injektiv, so ist f injektiv. b) Ist g\circ\ f surjektiv, so ist f surjektiv. c) Ist g\circ\ f injektiv, so ist g injektiv. d) Ist g\circ\ f surjektiv, so ist g surjektiv. Wir können schon so viel verraten, dass die Aussagen a) und d) wahr und die anderen beiden falsch sind. Aber wie beweist man das? Fangen wir mit a) an: Voraussetzung ist, dass g\circ\ f injektiv ist. Was heißt das? Das bedeutet, dass für zwei beliebige Elemente x_1 und x_2 aus (g\circ\ f)(x_1)=(g\circ\ f)(x_2) folgt, dass x_1=x_2 . Zu zeigen ist, dass f injektiv ist, also dass aus f(x_1)=f(x_2) folgt, dass x_1=x_2 ist. Wir starten mit dem Beweisen: Sei (g\circ\ f)(x_1)=(g\circ\ f)(x_2). Dies ist dasselbe wie g(f(x_1))=g(f(x_2)). Weiterhin sei f(x_1)=f(x_2). Nun müssen wir zeigen, dass x_1=x_2 folgt. Das geht so: (g\circ\ f)(x_1)=g(f(x_1))=g(f(x_2))=(g\circ\ f)(x_2) Also: x_1=x_2. \bigbox Damit ist alles gezeigt. Zeigen wir nun d). Wir wissen, dass g\circ\ f:X->Z surjektiv ist, d.h. daß zu jedem z\el\ Z ein x\el\ X mit f(x)=z existiert. Desweiteren ist ja (g \circ\ f)(x)=z mit z\el\ Z \(nach Definition einer Funktion). Wir müssen zeigen, dass g surjektiv ist, dass also zu jedem z\el\ Z ein y\el\ Y existiert mit g(y)=z. Es gilt: (g\circ\ f)(x)=g(f(x))=g(y)=z. \bigbox Damit ist alles gezeigt. Wie schon oben ausgeführt, sind die Aussagen b) und c) falsch. Wir geben ein einfaches Gegenbeispiel an. Der Leser möge sich dann klar machen, warum die jeweilige Abbildung surjektiv, injektiv ist. Zu c): Sei f:\IR_>0 ->\IR, f(x):=sqrt(x) und g:\IR->\IR, g(x):=x^2 und entsprechend g\circ\ f:\IR_>0->\IR, (g\circ\ f)(x)=x. Dann ist g\circ\ f injektiv, aber g ist nicht injektiv. Das hatten wir schon in Abschnitt 1.5 gezeigt. Zu b): Sei f:\IR_>0 ->\IR, f(x):=3*x und g:\IR->\IR_>0, g(x):=exp(x). Dann ist g\circ\ f:\IR_>0 => \IR_>0, (g\circ\ f)(x):=exp(3*x). Also ist g\circ\ f zwar surjektiv, aber f ist nicht surjektiv, denn nicht der gesamte Wertebereich wird "durchlaufen". Damit haben wir die Aufgabe gelöst. \big\ \red\ Lösung zu Aufgabe 7: In einer Signatur von Yves stand mal folgender "Witz" \(nicht im Wortlaut): Sagt eine Studentin zu ihrem Professor: "Hmmm, injektiv ist die Abbildung nicht." Fragt der Professor:"Ist sie denn surjektiv." Die Studentin entgegnet: "Ne, das auch nicht. Na gut, dann kann sie ja nur noch bijektiv sein." Warum können Mathematiker darüber lachen und "normale" Menschen nicht? Naja, diese Aufgabe sollte den ganzen Stoff eher etwas auflockern. Na klar, bijektiv ist eine Abbildung ja genau dann, wenn sie injektiv und surjektiv zugleich ist. Und wenn eine Abbildung weder injektiv noch surjektiv ist, wie kann sie dann bijektiv sein? Gar nicht. Lösungen zu den Aufgaben aus Abschnitt 1.6 \big\ \red\ Lösungen Aufgabe 8: Man zeige: Die Primzahlen sind abzählbar. Die Menge der Primzahlen ist abzählbar, da sie Teilmenge der natürlichen Zahlen ist. \big\ \red\ Lösungen Aufgabe 9: Man zeige: Die Menge aller endlichen Teilmengen von \IN ist abzählbar. Wir müssen zwei Dinge zeigen, um den Vereinigungssatz aus Abschnitt 1.6 anwenden zu können. Einmal, dass man abzählbar viele Mengen vereinigt und zum anderen, dass diese Mengen, die man vereinigt, abzählbar sind. Nun sind die Mengen natürlich abzählbar, da sie endlich sind. Außerdem sind es nur endlich viele, denn wir haben gesehen, dass eine Menge mit n Elementen 2^n Teilmengen besitzt. Etwas mathematischer könnte man das so formulieren: Für jedes n\el\ \IN betrachten wir die Potenzmenge \wp(I_n) von I_n:=menge(1, 2, ..., n). Jede dieser Mengen ist abzählbar, da endlich. Wegen N=union(\wp(I_n),n\el\ \IN,) liefert der Vereinigungssatz die Behauptung, wobei N:=menge(A\subset\ \IN | A ist endlich). \big\ \red\ Lösungen Aufgabe 10: \(Klassiker) Sei A!=\0 eine beliebige Menge und \wp(A) ihre Potenzmenge. Man zeige, dass es zwar eine injektive, aber keine surjektive Abbildung f:A->\wp(A) gibt. \stress\ Hinweis: Man betrachte die Menge X:=menge(a\el\ A | a\notel\ f(a)). Für endliche Mengen haben wir dies schon in Abschnitt 1.5 über Injektivität, Surjektivität und Bijektivität gezeigt. Denn die Urbildmenge besitze jetzt n Elemente. Damit hat die Bildmenge insgesamt 2^n Elemente, ist also mächtiger als die Urbildmenge. Mit derselben Überlegung wie in Abschnitt 1.5 folgt, dass solch eine Abbildung injektiv, aber nicht surjektiv sein kann. Für nicht\-endliche Mengen geht die Begründung mittels des Hinweises wie folgt: (i) Zunächst ist die Abbildung a|->menge(a) eine injektive Abbildung von A in ihre Potenzmenge. (ii) \(Wieder Beweis durch Widerspruch:) Angenommen, es gäbe eine surjektive Abbildung f:A->\wp(A). Wir betrachten die Menge X:=menge(a\el\ A | a\notel\ f(a)). Da f surjektiv ist, gibt es ein a\el\ A mit f(a)=X. Auf Grund der Definition von X folgt nun der Widerspruch a\el\ X <=> a\notel\ X. \bigbox Damit ist alles gezeigt.
Abschluss und Literatur Am Anfang der Einführung haben wir gesagt, dass es sinnvoll ist, neben der Vorlesung Fachbücher zu lesen. Es gibt sehr viele Analysis I - Bücher von sehr verschiedenen Autoren. Wir wollen hier kein Buch empfehlen, sondern können nur raten: Geht in die Bibliothek, schaut euch die einzelnen Bücher an. Dem einen gefällt der Königsberger besser, dem anderen der Heuser. Das ist ganz individuell. Im Folgenden seien nur ein paar Beispiele für Analysis I - Bücher angeführt: Bücher: [1] Analysis I-III, Herbert Amann und Joachim Escher [2] Lehrbuch der Analysis I und II, Heuser [3] Analysis I, II, Königsberger [4] Grundkurs Analysis, Klaus Fritzsche [5] Analysis Band 1, 2, Behrends [6] Repetitorium der Analysis, Timmann [7] Analysis I, II, Hildebrandt [8] Analysis I, II, Walter [9] Analysis I-III, Forster Artikel im Internet: [10] Konstruktion der Zahlenmengen, Teil 1-5, Martin_Infinite [11] Analysis I, Kapitel 1, Knut Smoczyk Wir hoffen, euch hat der erste Teil gefallen und ihr freut euch schon auf das nächste Kapitel, in dem wir endlich die Beweisverfahren, die jetzt ja schon teilweise angeklungen sind, einführen werden. Zum Abschluss ein ganz großes Dankeschön an unsere Testleser Wally, Wauzi und fru, die viele Fehler verbessert, uns Änderungsvorschläge gemacht haben und ohne die der Artikel jetzt nicht das wäre, was er jetzt ist. Herzlichen Dank dafür! :-)

Trennlinie

-> §1 Einführung und Grundlagen
-> §2 Die Beweisverfahren
-> §3 Die reellen Zahlen
-> §4 Folgen
-> §5 Reihen
-> §6 Grenzwerte und Stetigkeit
-> §7 Differenzierbarkeit
-> §8 Integration
-> §9 Besondere Reihe
-> §10 Funktionenfolgen (Punktweise und gleichmäßige Konvergenz)

\(\endgroup\)
Get link to this article Get link to this article  Printable version Printer-friendly version -  Choose language     Kommentare zeigen Comments  
pdfpdf-Datei zum Artikel öffnen, 342 KB, vom 20.03.2008 22:24:52, bisher 11951 Downloads


Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
: Analysis :
Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen [von FlorianM]  
1. Kapitel der Artikelserie zur Analysis I. Inhatlich legen wir hier die Grundlagen wie Mengen, Relationen, Abzählbarkeit, Gleichmächtigkeit und viele mehr.
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
 
Aufrufzähler 32541
 
Aufrufstatistik des Artikels
Insgesamt 5737 externe Seitenaufrufe zwischen 2012.01 und 2022.05 [Anzeigen]
DomainAnzahlProz
https://google.com20%0 %
https://duckduckgo.com210.4%0.4 %
https://www.ecosia.org160.3%0.3 %
http://google.se72112.6%12.6 %
http://google.de249343.5%43.5 %
https://google.de3606.3%6.3 %
http://google.ru3155.5%5.5 %
http://google.pl2714.7%4.7 %
http://board.gulli.com2053.6%3.6 %
http://www.stud.uni-hannover.de3466%6 %
http://google.nl2444.3%4.3 %
http://images.google.de1111.9%1.9 %
http://google.gr1773.1%3.1 %
http://google.it1021.8%1.8 %
http://google.mn841.5%1.5 %
https://google.es480.8%0.8 %
http://google.rs330.6%0.6 %
http://google.ro230.4%0.4 %
https://www.bing.com250.4%0.4 %
http://www.stud.uni-hannover60.1%0.1 %
http://google.fr50.1%0.1 %
http://suche.t-online.de70.1%0.1 %
http://www.mikrocontroller.net70.1%0.1 %
http://www.ecosia.org60.1%0.1 %
http://suche.web.de100.2%0.2 %
https://yandex.ru30.1%0.1 %
http://matheforum.bluesquaregroup.de40.1%0.1 %
http://google.com70.1%0.1 %
http://search.1und1.de30.1%0.1 %
http://suche.gmx.net60.1%0.1 %
http://www.bing.com310.5%0.5 %
https://www.startpage.com20%0 %
http://r.duckduckgo.com30.1%0.1 %
https://startpage.com20%0 %
http://de.images.search.yahoo.com80.1%0.1 %
http://search.yahoo.com10%0 %
http://avira-int.ask.com10%0 %
http://de.search.yahoo.com70.1%0.1 %
https://r.search.yahoo.com10%0 %
http://yandex.ru10%0 %
http://search.surfcanyon.com10%0 %
http://de.yhs4.search.yahoo.com10%0 %
http://www.search.ask.com10%0 %
http://by157w.bay157.mail.live.com10%0 %
http://images.google.es10%0 %
https://www.qwant.com10%0 %
http://visualbee.delta-search.com10%0 %
http://www.searchmobileonline.com10%0 %
http://search.socialdownloadr.com10%0 %
http://avira.search.ask.com10%0 %
https://de.search.yahoo.com10%0 %
http://131.220.77.5610%0 %
http://images.search.conduit.com10%0 %
http://images.google.com10%0 %
https://suche.t-online.de10%0 %
http://www.tagged.com10%0 %
http://www.buzzdock.com10%0 %
http://images.google.fr10%0 %
http://isearch.avg.com10%0 %

Aufrufer der letzten 5 Tage im Einzelnen
Insgesamt 2 Aufrufe in den letzten 5 Tagen. [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2022.05.05-2022.05.22 (2x)https://google.com/

Häufige Aufrufer in früheren Monaten
Insgesamt 5599 häufige Aufrufer [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2013-2014 (451x)http://google.se/url?sa=i&rct=j&q=
201210-10 (338x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=negation von aussagen mathematik analysis
2020-2022 (326x)https://google.de/
201310-10 (315x)http://google.ru/url?sa=i&rct=j&q=
201301-01 (270x)http://google.se/imgres?um=1&sa=N&tbo=d&biw=1280&bih=702&tbm=isch&tbnid=BO7f1...
2013-2014 (248x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=grundlagen analysis
201211-11 (244x)http://google.pl/imgres?um=1&sa=N&biw=1440&bih=722&tbm=isch&tbnid=qHYcbHMV0P8...
2013-2014 (212x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=mathe analysis grundlagen
2014-2018 (201x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=
2012-2017 (199x)http://board.gulli.com/thread/1371584-studium-ohne-mathematik-bitte-um-rat-/3...
201402-02 (190x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=3&ved=0CC4QFjAC
2012-2018 (182x)http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/analysis1.html
2012-2014 (164x)http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/ganalysisI.html
201207-08 (140x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=wozu benutzen in analysis delta
201312-12 (133x)http://google.nl/imgres?sa=X&biw=1440&bih=703&tbm=isch&tbnid=DbgBT4kKMya32M:
201212-12 (121x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zeige, dass die potenzmenge einer menge nie...
201206-06 (117x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=matheplanet analysis i
2015-2018 (110x)http://images.google.de/url?sa=t&rct=j&q=
2015-2017 (109x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=analysis einführung
201209-09 (108x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=matheplanet einführung grundlagen
201309-09 (106x)http://google.gr/imgres?imgurl=
201205-05 (106x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=verkettete Funktion Nachweis Stetig epsilon...
201304-04 (97x)http://google.nl/url?sa=t&rct=j&q=grundlagen analysis
201410-10 (87x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=6&ved=0CC4QFjAF
201303-03 (87x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=wichtige analysis 1 grundlagen
201204-04 (85x)http://google.it/imgres?q=differenz von Mengen
201305-05 (84x)http://google.mn/url?sa=t&rct=j&q=
201306-06 (71x)http://google.gr/url?sa=t&rct=j&q=analysis i - §1 matroids
201409-09 (65x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=einführung in die analysis 1
201404-04 (58x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=2&ved=0CCwQFjAB
201411-11 (54x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=matheplanet analysis 1
202011-11 (48x)https://google.es
201307-07 (43x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=grundlagen der analysis operationen und rel...
201406-06 (38x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=3&ved=0CCAQFjAC
201203-03 (37x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=matroids analysis articles
201501-01 (36x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=analysis eiführung
201408-08 (34x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=einführung in mathe analysis
2021-2022 (34x)https://google.de
201504-04 (33x)http://google.rs/url?sa=i&rct=j&q=
2017-2019 (28x)http://google.de/url?sa=i&rct=j&q=
201510-10 (27x)http://google.pl/url?sa=i&rct=j&q=
201201-01 (23x)http://google.ro/imgres?q=die vereinigung zweier diagramme
2020-2022 (23x)https://www.bing.com/
201202-02 (22x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=matheplanet ana 1
2020-2022 (19x)https://duckduckgo.com/
201509-09 (17x)http://google.it/url?sa=i&rct=j&q=
201705-05 (14x)http://google.nl/url?sa=t&rct=j&q=
2020-2022 (11x)https://www.ecosia.org/
2012-2013 (6x)http://www.stud.uni-hannover
201706-12 (6x)http://google.de/
201507-07 (5x)http://google.fr/url?sa=t&rct=j&q=
201605-05 (5x)http://google.de/search?q=zahlenmengen übersicht
2014-2016 (4x)http://suche.t-online.de/fast-cgi/tsc?sr=ptoweb&q=einführung in die analys...
2014-2016 (4x)http://www.mikrocontroller.net/topic/321611
201403-12 (4x)http://www.ecosia.org/search?addon=safari&q=analysis grundlagen

[Top of page]

"Mathematik: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen" | 56 Comments
The authors of the comments are responsible for the content.

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: robbe am: Di. 18. März 2008 12:32:12
\(\begingroup\)Ich glaube diese Artikelreihe wird im Forum sehr sehr oft verlinkt werden. Im Inhaltsverzeichnis habe ich aber ein Kapitel "Taylorreihen" vermisst, oder ist das in Analysis I ein unübliches Thema? Außerdem wäre ein passendes Bild in der Einleitung als Blickfänger und "Markenzeichen" der Artikelreihe nicht verkehrt. \(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: FlorianM am: Di. 18. März 2008 14:18:41
\(\begingroup\)Hi Robbe, doch... Taylorreihen wird es auch geben. Das haben wir bei dieser Fülle im Inhaltsverzeichnis nur irgendwie verschlampt. 😄 Vermutlich werden wir es in Kapitel 5 oder in Kapitel 9 mit aufnehmen. Ja, wegen des Markenzeichens sind die User aufgerufen, uns ein Logo oder sowas zu machen. 😛 😁 Das wäre echt nicht schlecht, aber wir beide sind leider nicht gerade die besten Grafiker. 😁 Wenn aber von keinem anderen etwas kommt, dann werden wir sehen, was wir machen können. 😄 Danke für deinen Kommentar. 😄 Gruss Florian\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: da_bounce am: Di. 18. März 2008 14:38:54
\(\begingroup\)Hallo, ja das mit dem Logo ist echt ein Problem, denn mir persönlich fehlt da auch die Idee aber mal gucken vielleicht fällt mir ja noch was ein. @Florian in 2d Grafik ist nicht so mein Ding aber 3d geht schon ;) lg George\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: aexl am: Di. 18. März 2008 17:18:39
\(\begingroup\)Hallo, Auch von meiner Seite ein Kompliment. Esistiert auch eine pdf-Version davon? Gruss aexl\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: FlorianM am: Di. 18. März 2008 17:23:55
\(\begingroup\)Hallo Aexel, leider nicht. Aber wir werden versuchen, nach und nach die Artikel zu latexen... Aber das wird wohl noch eine Weile dauern. 😄 Gruss Florian\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: bebenny am: Di. 18. März 2008 23:26:57
\(\begingroup\)Genial.\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: javra am: Di. 18. März 2008 23:54:09
\(\begingroup\)Bei eurem Beweis, dass die Menge der ganzen Zahlen abzählbar ist: Muss die Surjektion nicht von der Menge der natürlichen Zahlen auf die Menge der ganzen Zahlen gehen und nicht andersrum? Eine Surjektion auf die natürlichen Zahlen bekomme ich auch von den reellen hin!\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: Wauzi am: Mi. 19. März 2008 01:42:59
\(\begingroup\)@javra: Die gewählte Abbildung ist eine Bijektion und damit auch eine Surjektion von den natürlichen Zahlen zu den ganzen. Gruß Wauzi\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 19. März 2008 14:57:33
\(\begingroup\)Hi, wirklich schön! Allerdings ist euch beim ersten Beispiel in 1.2.2. imo ein formeller Fehler unterlaufen: Müsste für die letzte Darstellung von M_3 nicht etwas wie =menge(x\el\ \IN|2\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: fru am: Mi. 19. März 2008 15:44:12
\(\begingroup\)Hi Anonymer! Da hast Du völlig Recht, danke für den Hinweis! Die Änderung habe ich schon in die Wege geleitet ist bereits durchgeführt. Liebe Grüße, Franz \(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: Xartes am: Mi. 19. März 2008 17:31:17
\(\begingroup\)Hallo, auch von mir noch eine Frage/Anmerkung: Die Totalordnung müsste doch eigentlich reflexiv sein, sonst könnte sie doch nicht total sein, oder? Ansonsten auch großes Lob für die Arbeit, die ihr euch gemacht habt. Liebe Grüße\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 19. März 2008 17:36:13
\(\begingroup\) Und laut 1.5.2 kann keine Surjektivität existieren, wenn \#Zielmenge>=\#Urbildmenge ist, sollte man da >= nicht lieber durch > ersetzen? Viele Grüße, ist wirklich nen toller Artikel geworden\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: GrandPa am: Mi. 19. März 2008 18:07:03
\(\begingroup\)Einfach der Hammer !!! So viel Arbeit die Ihr da reinsteckt ! Das ist wirklicher Intusiasmus ! Gleich ausgedruckt !! \(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: fru am: Mi. 19. März 2008 18:16:28
\(\begingroup\)Hi Anonymer (von 17:36)! Auch Dir herzlichen Dank für Deine Aufmerksamkeit! Die Änderung ist schon beantragt durchgeführt. Liebe Grüße, Franz \(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: fru am: Mi. 19. März 2008 18:25:16
\(\begingroup\)@Xartes: Hallo Peter! Ja, das sehe ich auch so wie Du. Die nötigen Änderungen möchte ich aber den Autoren selbst überlassen. Liebe Grüße, Franz \(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: FlorianM am: Mi. 19. März 2008 18:44:35
\(\begingroup\)Hallo, vielen Dank an alle Leser. Die nötige Änderung habe ich beantragt. :) Gruss Florian\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: da_bounce am: Mi. 19. März 2008 21:54:20
\(\begingroup\)Hey, Ich möchte mich natürlich auch noc für netten Kommentare bedanken. Das mit den Taylorreihen werden wir natürlich hinzufügen. Desweiteren habe ich auch noch vor Fourierreihen mit rein zu nehmen. Die PDF Version muss wohl noch ein wenig warten. Wir haben uns aber vorgenommen jeden Artikel auch in pdf Format zu tippen. lg George\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: FlorianM am: Mi. 19. März 2008 22:14:00
\(\begingroup\)Hallo, auch von mir Danke für die netten Kommentare. Achso, robbe ist so lieb und hat angeboten, nach und nach die Artikel zu latexen. Echt ganz tolles Angebot von dir, danke! 😄 Und klar, lass dir Zeit. 😉 Gruss Florian\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: math_apprentice am: Do. 20. März 2008 00:52:33
\(\begingroup\)Hallo, Glückwunsch zu einem wirklich außerordentlich gut gelungenem Artikel, der jedes Skript alt aussehen lässt und vielen zukünftigen Mathematik-Erstis eine große Hilfe sein wird. Danke dafür von meiner Seite. MfG math_apprentice Mir ist ein kleiner Tippfehler bei der Lösung zur Aufgabe 6d.) aufgefallen: "...Wir wissen, dass g\circ\ f:X->Z surjektiv ist, d.h. daß zu jedem z\el\ Z ein x\el\ X mit f(x)=z existiert..." \(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: robbe am: Do. 20. März 2008 12:40:45
\(\begingroup\) \ Ich schließe mich dem Einwand von javra an. Zumindest sind die Abschnitte 1.6.2 und 1.6.4 recht verwirrend geschrieben. In 1.6.4 etwa wird eine Surjektion \IZ->\IN angegeben und daraus gefolgert, dass \IZ abzählbar ist. Allerdings folgt aus der Surjektivität nur \#\IN<=\#\IZ, nicht \#\IZ<=\#\IN. Natürlich ist gewählte Abbildungen bijektiv und damit gilt auch die zweite Ungleichung, aber das muss mE zumindest im Artikel erwähnt werden. \(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: FlorianM am: Do. 20. März 2008 18:10:03
\(\begingroup\)Hallo, erstmal gibt es jetzt dank Robbes Einsatz eine pdf-Version des Artikels. Nochmals herzlichen Dank. 😉 Gruss Florian\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: da_bounce am: Do. 20. März 2008 19:56:58
\(\begingroup\)Hallo, von mir natürlich auch ebenfalls ein Danke aber das wird noch nicht die Endfassung sein ;) lg George\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: g00fy am: Fr. 21. März 2008 15:59:17
\(\begingroup\)hey! sehr schöner artikel! ;) vllt eine kleine anmerkung: in "1.1.1 quantoren" wird davon gesprochen, dass man aussagen negieren möchte. vllt sollte auch an einem beispiel erläutert werden, wie man dies explizit macht.^^ lg g00fy\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: da_bounce am: Fr. 21. März 2008 17:45:14
\(\begingroup\)hi goofy danke für das Lob. Ja du hast Recht ich werde da noch was reinschreiben. lg George\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: Redfrettchen am: Fr. 21. März 2008 19:24:01
\(\begingroup\)Hallo! Sehr schöner Artikel, sehr ausführlich (fast schon Heuser-Style ausführlich ^^). Das wird ganz schön in Arbeit ausarten, die 10 Kapitel, könnte ich mir vorstellen (also in die unbequeme Art Arbeit, die man sich nicht gerne macht). Nur was mir beim schnellen Lesen aufgefallen ist: In Abschnitt 1.6.2 solltet ihr euch entscheiden, wie ihr Abzählbarkeit definiert. Einmal steht da Surjektion, danach etwas von Bijektion. Grüße! Thomas\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: jeffrey am: Fr. 21. März 2008 20:14:04
\(\begingroup\)Ohne es jetzt genau durchgelesen zu haben, eine gute Idee sowas zu machen. Vor allem toll, dass auch Quantoren nicht nur in einem Nebensatz erwähnt werden und der Teil zu Mengen ausführlich ist. Toll wäre vielleicht noch ein Abschnitt zum Thema Beweistechniken - damit hab ich mich im ersten Semester ziemlich schwer getan (nicht umsonst gibt es von Vieweg dieses eine Buch O.B.d.A. trivial...). Viele Grüße, Jeffrey\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: FlorianM am: Fr. 21. März 2008 20:37:39
\(\begingroup\)Hallo ihr beiden, @Thomas Ja okay. Wir werden dies ändern, da hast du Recht. Ist sonst wohl etwas verwirrend. Danke für den Hinweis. @Jeffrey Den Beweistechniken haben wir ein ganzes Kapitel gewidmet, und zwar folgt dies in Kapitel 2. Also, wenn alles klappt, wirst du den Artikel in den nächsten Wochen hier lesen können. 😄 Gruss Florian\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: da_bounce am: Fr. 21. März 2008 21:10:43
\(\begingroup\)Hey ich denke mal,dass wir Taylorreihen und zb auch die Fourierreihen erst der Analysis II widmen. lg George\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 22. März 2008 13:35:20
\(\begingroup\)Hallo Erstmal vielen Dank, toller Artikel, hat mir auf jeden Fall schon sehr geholfen. Was mir komisch vorkam ist dass in den ersten Beweisen zu Kommutatitivität von Schnittmenge und Vereinigung und den Distributivgesetzen und Assoziativgesetzen einfach die jeweiligen Gesetze der Aussagenlogik vorrausgesetzt wurden. Für mich schien das so als hätte man die Mengen nur anders aufgeschrieben. Naja aber sonst super! Lieben Gruß\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: Wally am: Di. 25. März 2008 08:39:27
\(\begingroup\) \ Hallo, Ano, das ist auch so. Aussagenlogik und Mengenalgebra sind zwei leicht verschiedene Formulierungen desselben Sachverhalts. Der Aussage \(eigentlich: Aussageform\) x\el A wird die Erfüllungsmenge zugeordnet, das ist gerade A \(weil genau für x\el A die Aussage "x\el A" wahr ist\). Der Schnittmenge A\cap B entspricht dann "x\el A\cap B", was genau dann wahr ist, wenn x\el A und x\el B ist, also genau dann wenn "x\el A" \wedge "x\el B" gilt, u.s.w Wally\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: FlorianM am: Di. 25. März 2008 16:57:00
\(\begingroup\)Hallo, jetzt haben wir endlich unser Logo, das uns viertel designed hat. Vielen Dank dafür! Auch danke an die anderen, die uns Vorschläge gemacht haben. 😄 Gruss Florian\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: checkit am: Di. 25. März 2008 17:00:43
\(\begingroup\)Hallo Ano! Sowohl die Aussagenalgebra, als auch die Mengenalgebra sind Beispiele für eine boolesche Algebra menge(M;*;+;';0;1), ein weiteres Beispiel wäre die Schaltalgebra die in der Informatik benutzt wird. Sie sind untereinander alle isomorph. Gruss checkit\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: Euler74 am: Mi. 26. März 2008 07:53:57
\(\begingroup\)Hallo Zusammen, Ich finde das eine wunderbare Sache mit dem Analysis Skript, ist es auch demnächst als PDF verfügbar? Eine Anmerkung: Vielleicht habe ich es auch nur überlesen, aber irgendwie fehlt mir bei denm Mengenlehre Abschnitt "DeMorgan". Außerdem könnte man ja den Zusammenhang zwischen Relation und Funktionen verdeutlichen, indem man Funktionen als rechtseindeutige Funktionen darstellt. Gruß Euler 74 \(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: viertel am: Mi. 26. März 2008 17:02:07
\(\begingroup\)@Euler74 Schau mal ganz unten am Rand des Artikels, da gibt es die grandiose Arbeit als PDF.\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 28. März 2008 04:38:07
\(\begingroup\)Hallo Zusammen Dieser Artikel hat einen grossen Eindruck auf mich gemacht. Vielen Dank vor allem. Ich bin kein Deutscher,aber bereite ich vor an der deutschen Uni studieren. Wann werden $2-"Die Beweisverfahren" und weitere geschrieben werden?\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: FlorianM am: Fr. 28. März 2008 08:00:05
\(\begingroup\)Hallo Anonymous, wann Kapitel 2 erscheint, können wir nicht so genau sagen. Es kann in den nächsten Tagen sein, aber auch erst in 2 Wochen. Aber wir hoffen, dass der Artikel spätestens in 2 Wochen erscheint. 😄 Und an den anderen schreiben wir schon fleißig. Gruss Florian P.S.: Weiterhin viel Erfolg bei deinem Studium!\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: YoshiGreen am: Fr. 04. April 2008 12:06:04
\(\begingroup\)"Es kann gut vorkommen, dass ihr stundenlang an einer Aufgabe brütet, aber in der 20. Stunde kommt dann erst die Erleuchtung und ihr werdet sehen, dass ihr euch dann über sowas freuen werdet, wo andere sich dann denken: "Hmm man der hat doch nicht alle.." ;). " *lacht* Vielen Dank für den Satz! Der passt wie die Faust auf's Auge! Allgemein ein sehr guter Artikel aber ich hab noch eine Anmerkung: 1.2.2 Mit \IQ bezeichnet man die Menge der \darkblue\ rationalen Zahlen\black\ . Sie ist definiert als \IQ:=menge(p/q | p\el\IZ\and\ q\el\IN). Sollte es nicht heißen: q\el\IZ\\0 ? Grüße Yoshi\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: mire2 am: Fr. 04. April 2008 12:38:47
\(\begingroup\)Mahlzeit Yoshi! Hmm, wie es aussieht meinst Du sicherlich q Î IN\0, oder? Das ist natürlich eine Frage der Definition bzgl. der Menge IN, denn manche zählen die Null dazu, andere wiederum nicht und ich erinnere mich an einen Thread auf dem MP, der just diese Frage zum Thema hatte, ohne ihn aber jetzt explizit angeben zu können. Wenn Du aber mal unter 1.6.4 nachschaust, dann wirst Du sehen, dass Florian und George die Null nicht zu den natürlichen Zahlen zu zählen scheinen, was natürlich befremdlich für einen ist, der der Mengenlehre und Logik nicht ganz abgewandt ist. 😉 Grüße mire2 \(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: YoshiGreen am: Fr. 04. April 2008 21:48:56
\(\begingroup\)Nein ich meine, dass p und q aus Z stammen können wobei lediglich gefordert ist q != 0 Nach der Definition wäre z.B. 7 / -5 keine rationale Zahl.\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: FlorianM am: Fr. 04. April 2008 22:23:33
\(\begingroup\) Hallo, aber (-7)/5. 😄 Na klar hätten wir auch \IQ:=menge(p/q | p, q \el\IZ mit q!=0) schreiben können. 😄 Gruss Florian \(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: jaruleking am: Sa. 05. April 2008 01:21:54
\(\begingroup\)hi, ihr macht diese Sachen echt super klasse. Nur eine Frage, warum stellt ihr nicht gleich alle § gleichzeitig online? Oder sind die alle noch gar nicht fertig? Denn ich glaube, viele schreiben demnächst Diff-Klausuren, da sind so gut erklärte Sachen gar nicht mal so schlecht :-). Danke für eure Arbeit. Gruß\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: FlorianM am: Sa. 05. April 2008 09:46:52
\(\begingroup\)Hallo, ja, es sind leider noch nicht alle fertig. :) Wir werden uns aber bemühen in einem 2-Wochen-Takt immer einen Artikel online zu stellen. Können aber leider nichts versprechen, da das Sommersemester ja auch nächste Woche wieder los geht. 😄 Gruss Florian\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: FlorianM am: So. 29. Juni 2008 11:25:42
\(\begingroup\)Zur Information: Ab den Semesterferien (in ca. 3 Wochen) werden alle weiteren Artikel folgen. :) Gruss Florian\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: SamuelG am: So. 24. August 2008 14:55:29
\(\begingroup\)"Was mir komisch vorkam ist dass in den ersten Beweisen zu Kommutatitivität von Schnittmenge und Vereinigung und den Distributivgesetzen und Assoziativgesetzen einfach die jeweiligen Gesetze der Aussagenlogik vorrausgesetzt wurden. Für mich schien das so als hätte man die Mengen nur anders aufgeschrieben. Naja aber sonst super! Lieben Gruß" Ja, das stört mich auch. Der Beweis ist keiner, wenn nicht (A v B) v C <=> A v (B v C) vorrausgesetzt wird. Wenigstens erwähnen, sollte man diese Annahme! Gruß Samuel\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: Cyianor am: Di. 16. September 2008 13:26:02
\(\begingroup\)Hallo zusammen! Hab beim Durcharbeiten des Artikels einen Fehler bei 1.1.2, beim Beispiel für die Verneinung der Definition der Stetigkeit von f in a, gefunden. Und zwar wird hier einiges falsch bzw. sehr unzureichend erklärt. Im Forum wurde das ganze schon besprochen. Es sind nur vier Beiträge, ich hoffe, dass es ok ist, wenn ich das jetzt nicht nochmal extra zusammen fasse. Es wäre gut wenn diese Fehler behoben werden würden, weil sonst der Artikel für Leute die bisher nichts mit der Verneinung von Quantoren zu tun hatten nicht verständlich ist. (Zumindestens der Abschnitt über die Verneinung.) Liebe Grüße, Felix\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: FlorianM am: Di. 16. September 2008 17:50:35
\(\begingroup\)Hallo Felix, ich hatte die Diskussion auch gelesen. Wir werden mal versuchen, das etwas umzuschreiben. Ansonsten kannst du natürlich auch einen entsprechenden Änderungsantrag stellen, da du jetzt weißt, wie du es am besten verstehen würdest. :) Würden uns freuen. Viele Grüße Florian\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: Cyianor am: Di. 16. September 2008 19:34:48
\(\begingroup\)Hey Florian! Hab einen Änderungsantrag eingesendet bei dem ich den Fehler beseitigt habe und versucht hab die entsprechende Stelle verständlicher zu erklären =) Ich hoffe ich konnte behilflich sein! Liebe Grüße, Felix\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: Cyianor am: So. 21. September 2008 17:01:03
\(\begingroup\)Hallo zusammen! In der Lösung zur Aufgabe 9 taucht ja folgende mathematische Formel auf: N=union(\wp(I_n),n\el\ \IN,) Da es dazu im Artikel keine Erklärung gibt, hier meine Frage: Was bedeutet der Ausdruck und das große U? EDIT: Meine Vermutung ist, dass es sich um die Aussage N = \wp(I_1) \union\ \wp(I_2) \union\ \wp(I_3) \union\ ... \union \wp(I_n) handelt. Lieg ich da richtig? Liebe Grüße, Felix\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: FlorianM am: So. 21. September 2008 18:35:29
\(\begingroup\) Hi Felix, ja, da liegst du richtig. Nur würdest du in diesem Fall die Vereinigungen weiter laufen lassen, da n \el\ \IN. Sonst hast du das Prinzip aber verstanden. :) Analog gibt es das auch für den Durchschnitt: cut(A_i,i=1, n)=A_1 \cut\ A_2 \cut\ ... \cut\ A_n Gruss Florian \(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: Cyianor am: So. 21. September 2008 20:57:52
\(\begingroup\)Hey Florian! Was meinst du mit "weiterlaufen lassen"? Ich hab die Vereinigungen doch bis \wp(I_n) laufen lassen. Bei n is doch Schluss. Hast du ja beim Beispiel für den Durchschnitt gerade genauso gemacht. Oder hab ich was übersehen? Liebe Grüße, Felix\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: FlorianM am: So. 21. September 2008 21:02:44
\(\begingroup\) Hi, hier ist die Indexmenge die Menge der natürlichen Zahlen N=union(\wp(I_n),n\el\ \IN,). D.h. union(\wp(I_n),n\el\ \IN,)=\wp(I_1) \union\ \wp(I_2) \union\ ... Und union(\wp(I_n),n=1,n)=\wp(I_1) \union\ \wp(I_2) \union\ ... \union\ \wp(I_n). Einmal ist die Indexmenge endlich und einmal unendlich. :) Gruss Florian \(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: Cyianor am: So. 21. September 2008 23:58:23
\(\begingroup\)Oh, ok =) Jetzt versteh ich das =) Vielen Dank! Schöne Grüße, Felix\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: wasseralm am: Mi. 13. April 2011 19:33:27
\(\begingroup\)Hallo, ich bin gerade über den Artikel gestolpert. In 1.3.3 steht folgendes: Bedenke, dass eine Relation niemals gleichzeitig symmetrisch und antisymmetrisch [...] sein kann. Dies ist leider falsch. Die identische Relation I auf einer Menge A (also die Menge aller Paare (a,a)) ist sowohl symmetrisch als auch antisymmetrisch. Dasselbe gilt für jede Teilrelation von I, also z. B. auch für die leere Relation. In den folgenden Zeilen des Kapitels wird dann mehrmals so argumentiert: R symmetrisch => R nicht antisymmetrisch Diese Argumentationen wären dann natürlich auch zu korrigieren. Gruß von Helmut\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: mightym0e am: Mo. 05. März 2012 14:24:51
\(\begingroup\)Würde bei der Aufgabe 6 a) folgender Beweis ebenfalls gültig sein? a) Ist g o f injektiv, so ist f injektiv. g o f = g(f(x)). Da diese Funktion nach Definition injektiv ist, muss sie eine Inverse haben. g'(f(x)) = f(x) Die Inverse muss ebenfalls injektiv sein und somit auch f(x). \(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: Gockel am: Mo. 05. März 2012 15:57:48
\(\begingroup\)Hi migthym0e. Nein, das ist kein Beweis. Injektive Abbildungen haben i.A. kein Inverses. Eine Funktion ist genau dann invertierbar, wenn sie bijektiv ist. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §1 Einführung und Grundlagen
von: mightym0e am: Mo. 05. März 2012 22:01:38
\(\begingroup\)Ach stimmt, da habe ich bijektiv mit injektiv verwechselt... Die sitzen noch nicht so, die Begriffe, aber aller Anfang ist ja bekanntlich schwer. 😁 Vielen Dank für die Antwort, Gockel.\(\endgroup\)
 

 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]