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Re: Berechnung des Wertes einer modifizierten geometrischen Reihe
Eine ähnliche Formel (die natürlich das gleiche Ergebnis liefert, aber das ist auf den ersten Blick nicht zu erkennen) erhält man mit einer erzeugenden Funktion: \displaystyle \sum_{m=0}^\infty\left\{ \sum_{j=0}^\infty j^m\,q^j\right\}{\lambda^m\over m!}= \sum_{j=0}^\infty e^{\lambda j}\,q^j= \displaystyle = {1\over1-e^\lambda \,q}= \sum_{n=0}^\infty{q^n\over(1-q)^{n+1}} \left[e^\lambda-1\right]^n Einsetzen von \displaystyle \left[e^\lambda-1\right]^n = \sum_{m=n}^\infty\sum_{k=0}^n{n\choose k}\,(-1)^k\,(n-k)^m\,{\lambda^m\over m!} liefert dann (für m=0,1,2,\ldots) \displaystyle \sum_{j=0}^\infty j^m\,q^j = \sum_{n=0}^m{q^n\over(1-q)^{n+1}} \sum_{k=0}^n{n\choose k}\,(-1)^k\,(n-k)^m . Grüße, dromedar
 
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