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| Re: Maxwell-Gleichungen herleiten aus Lorenz-Eichung (Rechenprobe) |
Wenn das etwas unübersichtlich erscheint, ich will das nochmal aus der Sicht einer möglichen Anwendung schildern. Ich schreibe eine immer richtige Gleichung hin, zum Beispiel \(u-v+w-u=(w-x)-(v-x)\). Bei irgendeiner Aufgabe lese ich auf der zugehörigen Web-Seite, dass ich dazu \(u-v+w-u=(w-z)\) plus Randbedingungen lösen muss. Aha, da muss ich in meiner Gleichung nur \(x\) in \(z\) umbenennen und dann \(v-z=0\) plus Randbedingungen lösen. Normalerweise wird man natürlich \(u-v+w-u=(w-z)\) gleich in \(v-z=0\) umformen. Bei den Maxwell-Gleichungen ist das aber nicht so offensichtlich (und auch nicht vollkommen äquivalent).
Beispielaufgabe: Löse die Maxwell-Gleichungen für das Vakuum.
Teillösung: Aus den Randbedingungen \(\rho=0, \vec{j}=0\) und den Definitionen von \(\rho, \vec{j}\) erhalte ich unter anderem die Lösungen \(\phi=0\) und \(A=A_0 e^{i(k x - \omega t)} \). Zu den Maxwell-Gleichungen im Vakuum weiß ich, dass die Lorenz-Eichung verwendbar ist. Also lege ich die Maxwell-Gleichungen zur Seite und löse statt dessen Lorenz-Eichung+Randbedingungen mit dem Ergebnis \(A_0\) orthogonal zu \(k\).
Verstehst du wie ich das meine? Bei dieser Aufgabe werden sonst immer die Maxwell-Gleichungen vereinfacht und dann getrennt gelöst. Letztendlich sind das alles gleiche und ähnliche Umformungen, nur die Herangehensweise ist anders. Überzeugender wäre schon eine etwas kompliziertere Aufgabe, auch für mich. Im Zusammenhang mit dieser Frage  Lage der Hauptebene/des Hauptschnitts in optisch uniaxialen Kristallen habe ich gelesen, dass \(\mu\) und \(\varepsilon\) auch Matrizen sein können. Das wäre vielleicht eine geeignete Aufgabe und rein interessehalber habe ich schon folgenden Lösungsweg versucht: \(c^2\) ist dann auch eine Matrix und Kehrwertbildung die inverse Matrix. In der Lorenz-Eichung \( \vec \nabla \cdot \vec A + \dfrac{1}{c^2} \dfrac {\partial {\phi}}{\partial t} = 0 \) kann man aber \(\phi\) nicht mit einer Matrix multiplizieren, deshalb forme ich sie um zu \( \vec \nabla \cdot c^2 \vec A + \dfrac {\partial {\phi}}{\partial t} = 0 \). Nach etlichen Versuchen konnte ich auch die Maxwell-Gleichungen so abändern, dass zusammen mit der geänderten Lorenz-Eichung wieder so eine immer richtige Gleichung herauskommt. Dann will ich aber nicht geänderte Maxwell-Gleichungen plus Randbedingungen zum Lösen nehmen, sondern geänderte Lorenz-Eichung plus Randbedingungen.
Diesen letzten Schritt habe ich noch nicht geschafft und weiß auch noch nicht, ob das geht. Dass ich das Vorhandene mal zusammengefasst und gerade jetzt den Artikel angefertigt habe, das sollte ein Dankeschön an matroid sein für die neue Schrift. Ich will jetzt auch richtig Latex lernen.
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