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Alternierende Abbildungen

Inhalt

1. Alternierende Abbildungen 2. Definition der Determinante 3. Eigenschaften der Determinante 4. Die Leibniz-Formel 5. Beispiele

1. Alternierende Abbildungen

Definition. Es sei K ein fixierter Körper und V ein K-Vektorraum. Die unterliegende Menge bezeichnen wir mit |V|. Sei d \in \mathds{N}. Eine Abbildung \omega : |V|^d \to |K| heiße multilinear, wenn sie in jeder der d Variablen (mit festgehaltenen d-1 Variablen) linear ist. Eine solche multilineare Abbildung heiße alternierend, wenn für alle v \in |V|^d gilt: Gibt es Indizes i \neq j mit v_i=v_j, dann gilt \omega(v_1,\dotsc,v_n)=0. Diese Abbildungen bilden mit komponentenweisen Verknüpfungen einen K-Vektorraum \mathrm{A}_d(V), nämlich einen Unterraum aller Abbildungen |V|^d \to |K|. Die Elemente von \mathrm{A}_d(V) nennt man auch d-Formen auf V. Wir werden der üblichen Konvention folgen und v \in V anstelle von v \in |V| schreiben. Zur Anschauung. Man kann sich d-Formen auf V geometrisch so vorstellen: Je d Vektoren aus V wird eine Größe (genauer gesagt ein Element des Grundkörpers) zugeordnet, nämlich die Größe des von den Vektoren aufgespannten Parallelotops (für d=2 ist dies ein Parallelogramm; auf eine präzise Definition verzichten wir einstweilen). Die Definition einer d-Form lässt sich damit wiefolgt veranschaulichen: Die Rechenregel \omega(\dotsc,v,\dotsc,v,\dotsc)=0 bedeutet, dass das Volumen eines entarteten Parallelotops Null ist. Die Regel \omega(\dotsc,\lambda \cdot v,\dotsc)=\lambda \cdot \omega(\dotsc,v,\dotsc) bedeutet, dass sich das Volumen ver-\lambda-facht, wenn man einen der Seitenvektoren ver-\lambda-facht. Und die Regel \omega(\dotsc,v+v',\dotsc)=\omega(\dotsc,v,\dotsc)+\omega(\dotsc,v',\dotsc) bedeutet, dass sich das Volumen von zwei Parallelotopen addiert, wenn sie an einer Seite zusammenpassen und man sie zusammenlegt. Wir haben hier zwar nicht definiert, was ein Parallelotop und was das Volumen davon sein soll, aber man kann sich eben vorstellen, dass d-Formen auf einem Vektorraum diese Begriffe abstrahieren und genau das einfangen, was man von ihnen erwartet. Die folgenden Bilder veranschaulichen die Regeln für d=2. \begin{tikzpicture} \fill [black!20] (0,0) to (2,1) to (2.5,2.5) to (0.5,1.5) to (0,0); \draw [thick,->] (0,0) to (2,1); \draw [thick,->] (0,0) to (0.5,1.5); \draw [thick] (0.5,1.5) to (2.5,2.5); \draw [thick] (2,1) to (2.5,2.5); \draw node at (1,0.3) {$v$}; \draw node at (0.03,0.8) {$w$}; \draw node [rotate=26] at (1.2,1.2) {\scriptsize $\omega(v,w)$}; \end{tikzpicture} \begin{tikzpicture} \draw [thick,->] (0,0) to (2,1); \draw node at (1,0.3) {$v$}; \draw node at (1,0.7) {$v$}; \draw node at (2.2,0.5) {\scriptsize $\omega(v,v)=0$}; \end{tikzpicture} \begin{tikzpicture} \fill [black!20] (0,0) to (2,1) to (2.5,2.5) to (0.5,1.5) to (0,0); \draw [thick,->] (0,0) to (2,1); \draw [thick,->] (0,0) to (0.666,0.333); \draw [thick,->] (0,0) to (0.5,1.5); \draw [thick] (0.5,1.5) to (2.5,2.5); \draw [thick] (2,1) to (2.5,2.5); \draw [thick] (0.666,0.333) to (1.166,1.833); \draw node at (1,0.2) {$v$}; \draw node at (0.3,-0.2) {$\frac{1}{3} v$}; \draw node at (0.03,0.8) {$w$}; \draw node at (4,1.2) {\scriptsize $\omega(\frac{1}{3} v,w)=\frac{1}{3} \omega(v,w)$}; \end{tikzpicture} \begin{tikzpicture} \fill [black!20] (0,0) to (2,1) to (3.5,1) to (4,2.5) to (2.5,2.5) to (0.5,1.5) to (0,0); \draw [thick,->] (0,0) to (2,1); \draw [thick,->] (2,1) to (3.5,1); \draw [thick,->] (0,0) to (0.5,1.5); \draw [thick] (0.5,1.5) to (2.5,2.5); \draw [thick] (2,1) to (2.5,2.5); \draw [thick] (3.5,1) to (4,2.5); \draw [thick] (2.5,2.5) to (4,2.5); \draw [dashed] (0,0) to (3.5,1); \draw [dashed] (0.5,1.5) to (4,2.5); \draw node at (1,0.64) {\scriptsize $v$}; \draw node at (2.85,1.15) {\scriptsize $v'$}; \draw node at (1.8,0.3) {\scriptsize $v+v'$}; \draw node at (0.03,0.8) {\scriptsize $w$}; \draw node [rotate=26] at (1.2,1.2) {\scriptsize $\omega(v,w)$}; \draw node at (2.94,1.7) {\scriptsize $\omega(v',w)$}; \draw node at (6.2,1.2) {\scriptsize $\omega(v+v',w)=\omega(v,w) + \omega(v',w)$}; \end{tikzpicture} Bemerkung. Jede lineare Abbildung f : V \to W induziert eine lineare Abbildung f^* : \mathrm{A}_d(W) \to \mathrm{A}_d(V), nämlich \omega \mapsto \omega \circ f^d. Das heißt, es gilt f^*(\omega)(v_1,\dotsc,v_d) = \omega(f(v_1),\dotsc,f(v_d)). Es bestehen die Rechenregeln (\mathrm{id}_V)^* = \mathrm{id}_{\mathrm{A}_d(V)} und (g \circ f)^* = f^* \circ g^* für g : W \to U. Daraus folgt: Wenn V,W isomorph sind, dann sind auch \mathrm{A}_d(V),\mathrm{A}_d(W) isomorph. Spezialfälle. Es gilt \mathrm{A}_0(V) \cong K und \mathrm{A}_1(V) \cong V^*. Für V=0 und d>0 ist auch \mathrm{A}_d(V)=0. Wenn V=\langle v \rangle eindimensional ist, dann gilt \mathrm{A}_2(V)=0, denn für \omega \in \mathrm{A}_2(V) ist \omega(v,v)=0 und damit \omega(\lambda \cdot v,\mu \cdot v)=\lambda \cdot \mu \cdot \omega(v,v)=0 für \lambda,\mu \in K. Dasselbe Argument zeigt \mathrm{A}_d(V)=0 für d \geq 2. Betrachten wir nun den Fall, dass V=\langle v,w \rangle zweidimensional ist. Dann gilt \omega(v,w)=-\omega(w,v), denn 0=\omega(v+w,v+w)=\omega(v,v)+\omega(v,w)+\omega(w,v) +\omega(w,w) = \omega(v,w) + \omega(w,v). Diese Rechnung funktioniert sogar für beliebige multilineare alternierende Abbildungen und zeigt, dass eine Vertauschung von zwei Argumenten stets eine Änderung des Vorzeichens bewirkt. Das lässt sich auch so interpretieren, dass wir auch negative Volumina von Parallelotopen betrachten und dass das Vorzeichen von der Reihenfolge der Seitenvektoren abhängt. Es folgt für zwei beliebige Vektoren x=x_1 \cdot v + x_2 \cdot w und y=y_1 \cdot v + y_2 \cdot w von V: \omega(x,y) = x_1 y_2 \cdot \omega(v,w) + x_2 y_1 \cdot \omega(w,v) = (x_1 y_2 - x_2 y_1) \cdot \omega(v,w). Ist umgekehrt \lambda \in K beliebig, so gibt es ein \omega \in \mathrm{A}_2(V) mit \omega(v,w)=\lambda, nämlich \omega(x,y) := (x_1 y_2 - x_2 y_1) \cdot \lambda. Wir erkennen damit, dass \mathrm{A}_2(V) eindimensional ist. Der Erzeuger ist (x,y) \mapsto x_1 y_2 - x_2 y_1. Für d>2 ist einfach A_d(V)=0, denn beim Ausmultiplizieren von \omega(x_1,\dotsc,x_d) für x_1,\dotsc,x_d \in V kommt jeweils u oder v doppelt vor. Ein beliebiger Vektorraum ist eine direkte Summe von eindimensionalen Räumen. Schauen wir uns also an, was mit \mathrm{A}_d(V) passiert, wenn man zu V einen eindimensionalen Vektorraum addiert. Satz 1 (Zerlegung von Formen). Es sei V ein K-Vektorraum und \langle u \rangle ein eindimensionaler K-Vektorraum. Ferner sei d \geq 1. Dann gibt es einen Isomorphismus \mathrm{A}_d(V \oplus \langle u \rangle) \cong \mathrm{A}_d(V) \oplus \mathrm{A}_{d-1}(V). Beweis. Es sei \omega \in \mathrm{A}_d(V \oplus \langle u \rangle). Dann berechnen wir für v_i \in V und \lambda_i \in K unter Benutzung der Multilinearität und von \omega(\dotsc,u,\dotsc,u,\dotsc)=0: \displaystyle\omega(v_1 + \lambda_1 u,\dotsc,v_d + \lambda_d u) = \omega(v_1,\dotsc,v_d) + \sum_{i=1}^{d} \lambda_i \cdot \omega(v_1,\dotsc,v_{i-1},u,v_{i+1},\dotsc,v_d). Weil nun aber \omega alternierend ist, gilt \omega(v_1,\dotsc,v_{i-1},u,v_{i+1},\dotsc,v_d) = (-1)^{i-1} \omega(u,v_1,\dotsc,v_{i-1},v_{i+1},\dotsc,v_d). Denn hierbei müssen i-1 Vertauschungen durchgeführt werden. Daraus folgt nun: \displaystyle \omega(v_1 + \lambda_1 u,\dotsc,v_d + \lambda_d u) = \omega(v_1,\dotsc,v_d) + \sum_{i=1}^{d} (-1)^{i-1} \lambda_i \cdot \omega(u,v_1,\dotsc,v_{i-1},v_{i+1},\dotsc,v_d). Dies legt uns nun nahe, die Abbildung \theta : \mathrm{A}_d(V \oplus \langle u \rangle) \to \mathrm{A}_d(V) \oplus \mathrm{A}_{d-1}(V) zu definieren durch \theta(\omega)=(\omega_1,\omega_2), wobei \omega_1 die Einschränkung von \omega auf V ist, und \omega_2(v_2,\dotsc,v_d) := \omega(u,v_2,\dotsc,v_d). Beachte, dass tatsächlich \omega_1 \in \mathrm{A}_d(V) und \omega_2 \in \mathrm{A}_{d-1}(V) gilt. Ferner ist \theta linear. Wir wissen auch, wie wir unsere Umkehrabbildung \theta^{-1} definieren müssen: Wir setzen \theta^{-1}(\omega_1,\omega_2):=\omega, wobei \displaystyle \omega(v_1 + \lambda_1 u,\dotsc,v_d + \lambda_d u) := \omega_1(v_1,\dotsc,v_n) + \sum_{i=1}^{d} (-1)^{i-1} \lambda_i \cdot \omega_2(v_1,\dotsc,v_{i-1},v_{i+1},\dotsc,v_d). Man erkennt \omega \in \mathrm{A}_d(V \oplus \langle u \rangle). Wir haben uns oben \theta^{-1} \circ \theta = \mathrm{id} klargemacht, und \theta \circ \theta^{-1}=\mathrm{id} ist auch klar. \checkmark Satz 2 (Anzahl der Formen). Es sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und d \geq 0. Dann ist \mathrm{A}_d(V) ein K-Vektorraum der Dimension \binom{n}{d}. Hierbei ist \binom{n}{d} der Binomialkoeffizient "n über d", also die Anzahl der d-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge. Beweis. Wir benutzen Induktion nach n und nach d. Für n=0 oder d=0 kennen wir das Ergebnis bereits. Nun seien n,d \geq 1. Wähle irgendeinen Vektor 0 \neq u \in V und schreibe V=U \oplus \langle u \rangle mit \dim(U)=n-1. Dann folgt aus Satz 1 \mathrm{A}_d(V) \cong \mathrm{A}_d(U) \oplus \mathrm{A}_{d-1}(U). Nach Induktionsannahme ist daher \dim(\mathrm{A}_d(V))=\binom{n-1}{d} + \binom{n-1}{d-1} = \binom{n}{d}. \checkmark Wenn also zum Beispiel V ein 4-dimensionaler Vektorraum ist, dann sind die Dimensionen von \mathrm{A}_0(V),\dotsc,\mathrm{A}_4(V) gleich 1,4,6,4,1, und es gilt \mathrm{A}_d(V)=0 für d>4. Bemerkung. Für die Leser, die bereits mit äußeren Potenzen vertraut sind: Es gibt einen natürlichen Isomorphismus \mathrm{A}_d(V) \cong \Lambda^d(V)^*. Man kann entsprechend Determinanten auch mit äußeren Potenzen koordinatenfrei definieren. Unser Zugang ist etwas direkter.
 
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