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Determinate

2. Definition der Determinante

Satz 3. Es sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und f : V \to V ein Endomorphismus. Dann gibt es genau ein Element \det(f) \in K derart, dass f^*(\omega)=\det(f) \cdot \omega für alle \omega \in \mathrm{A}_n(V) gilt. Beweis. Nach Satz 2 ist \mathrm{A}_n(V) eindimensional. Dann ist also f^* : \mathrm{A}_n(V) \to \mathrm{A}_n(V) ein Endomorphismus eines eindimensionalen Vektorraumes und somit gleich der Multiplikation mit einem eindeutigen Element aus K. \checkmark Definition. Das eindeutig bestimmte Element \det(f) \in K nennen wir die Determinante von f. Es ist dadurch bestimmt, dass für jedes \omega \in \mathrm{A}_n(V) und jedes Tupel v \in |V|^n die Gleichung \omega(f(v_1),\dotsc,f(v_n)) = \mathrm{det}(f) \cdot \omega(v_1,\dotsc,v_n) besteht. Man muss dies lediglich für eine Basis (v_1,\dotsc,v_n) von V testen. Zur Anschauung. Anschaulich gibt die Determinante von f an, womit das Volumen eines n-dimensionalen Parallelotops in V skaliert wird, wenn man darauf f anwendet. Kurzum ist die Determinante also ein Skalierungsmaß. \begin{tikzpicture} \fill [black!20] (0,0) to (2,1) to (2.5,2.5) to (0.5,1.5) to (0,0); \draw [thick,->] (0,0) to (2,1); \draw [thick,->] (0,0) to (0.5,1.5); \draw [thick] (0.5,1.5) to (2.5,2.5); \draw [thick] (2,1) to (2.5,2.5); \draw node at (1,0.3) {$v$}; \draw node at (0.03,0.8) {$w$}; \draw node at (1.2,1.2) {\scriptsize $\omega(v,w)$}; \draw (3,1.5) [->] to [out=20,in=160] (4.8,1.5); \draw node at (3.9,2) {$f$}; \fill [black!20] (6,0) to (8.5,0.2) to (8,2.2) to (5.5,2) to (6,0); \draw [thick,->] (6,0) to (8.5,0.2); \draw [thick,->] (6,0) to (5.5,2); \draw [thick] (5.5,2) to (8,2.2); \draw [thick] (8.5,0.2) to (8,2.2); \draw node at (7,1.1) {\scriptsize $\det(f) \cdot \omega(v,w)$}; \draw node at (7.3,-0.2) {$f(v)$}; \draw node at (5.3,1) {$f(w)$}; \end{tikzpicture} Was passiert, wenn man nicht nur Parallelotope, sondern im Falle von V=\mathds{R}^n auch andere messbare Teilmengen betrachtet, und f nicht notwendigerweise linear ist? Dann beantwortet der Transformationssatz aus der Analysis die Frage, womit das Volumen skaliert wird. Die dort auftretende Jakobideterminante ist im Rahmen der geometrischen Definition der Determinante nicht weiter verwunderlich. Spezialfälle. Wenn V=\langle v \rangle eindimensional ist, dann können wir f(v)=\lambda \cdot v schreiben und es gilt \lambda=\det(f). Nun sei V=\langle v,w \rangle zweidimensional und f : V \to V ein Endomorphismus. Wir können also f(v)=x_1 \cdot v + x_2\cdot w und f(w)=y_1 \cdot v + y_2 \cdot w schreiben. Für \omega \in \mathrm{A}_2(V) folgt \omega(f(v),f(w))=\omega(x_1 v + x_2 w, y_1 v + y_2 w)=(x_1 y_2 - x_2 y_1) \cdot \omega(v,w). Dies zeigt \det(f)=x_1 y_2 - x_2 y_1. Zum Beispiel ist die Determinante der Spiegelung v \mapsto w, w \mapsto v gleich -1.
 
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