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Leibniz-Formel

4. Die Leibniz-Formel

Definition. Es sei X eine endliche Menge. Es sei \sigma : X \to X eine bijektive Abbildung, auch Permutation genannt. Es sei V=\bigoplus_{x \in X} \langle e_x \rangle ein \mathds{Q}-Vektorraum mit Basis \{e_x : x \in X\}. Dann induziert \sigma einen Endomorphismus \tilde{\sigma} : V \to V mit \tilde{\sigma}(e_x) := e_{\sigma(x)}. Wir definieren das Signum von \sigma durch \mathrm{sgn}(\sigma) := \det(\tilde{\sigma})\in \mathds{Q}. Wir werden gleich \mathrm{sgn}(\sigma) \in \mathds{Z} sehen. Bemerkung. Es gilt \mathrm{sgn}(\mathrm{id}_X)=1 und \mathrm{sgn}(\sigma \circ \tau)=\mathrm{sgn}(\sigma) \cdot \mathrm{sgn}(\tau); dies folgt aus \widetilde{\mathrm{id}_X} = \mathrm{id}_V und \widetilde{\sigma \circ \tau} = \tilde{\sigma} \circ \tilde{\tau} und den entsprechenden Aussagen für Determinanten. Die Permutationen X \to X bilden bez. der Komposition eine Gruppe \mathrm{Sym}(X), bekannt als symmetrische Gruppe auf X. Es ist bekannt, dass \mathrm{Sym}(X) von den Transpositionen erzeugt wird, die also zwei Elemente von X miteinander vertauschen und alle anderen Elemente festlassen. Nach Satz 5 und dem Beispiel aus Abschnitt 2 haben Transpositionen Signum -1. Wenn eine Permutation also ein Produkt aus r \in \mathds{N} Transpositionen ist, dann ist das Signum (-1)^r. Wir erkennen also, dass das Signum stets \pm 1 ist. Es handelt sich um einen Homomorphismus von Gruppen \mathrm{sgn}: \mathrm{Sym}(X) \to \{\pm 1\}. Satz 8 (Leibniz-Formel). Es sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum mit Basis \{e_x : x \in X\}. Es sei f : V \to V ein Endomorphismus. Schreibe \displaystyle f(e_x) = \sum_{y \in X} a_{y,x} \cdot e_y mit a_{y,x} \in K. Dann gilt die Leibniz-Formel: \displaystyle \det(f) = \sum_{\sigma \in \mathrm{Sym}(X)} \mathrm{sgn}(\sigma) \cdot \prod_{x \in X} a_{\sigma(x),x}. Beweis. Wir können X=\{1,\dotsc,n\} annehmen, wobei n=\dim(V). Es sei \omega \in \mathrm{A}_n(V). Dann gilt aufgrund der Multilinearität: \displaystyle\omega(f(e_1),\dotsc,f(e_n))=\sum_{i_1,\dotsc,i_n=1}^{n} a_{i_1,1} \dotsc a_{i_n,n} \cdot \omega(e_{i_1},\dotsc,e_{i_n}). Wir können hierbei annehmen, dass die i_1,\dotsc,i_n paarweise verschieden sind, weil ansonsten \omega(e_{i_1},\dotsc,e_{i_n})=0 gilt. Dann ist aber \sigma(j):=i_j eine Permutation von \{1,\dotsc,n\}. Es gilt dann weiter \omega(e_{\sigma(1)},\dotsc,e_{\sigma(n)}) = \omega(\tilde{\sigma}(e_1),\dotsc,\tilde{\sigma}(e_n))= \mathrm{sgn}(\sigma) \cdot \omega(e_1,\dotsc,e_n), sodass also \displaystyle\omega(f(e_1),\dotsc,f(e_n)) = \sum_{\sigma \in \mathrm{Sym}(X)} \mathrm{sgn}(\sigma) \cdot \prod_{i=1}^{n} a_{\sigma(i),i} \cdot \omega(e_1,\dotsc,e_n). \checkmark Spezialfall. Für n=2 ergibt sich aus der Leibniz-Formel die aus Abschnitt 2 bekannte Formel. Für n=3 ergibt sich aus der Leibniz-Formel die Regel von Sarrus: Es gilt (mit obigen Bezeichnungen) \det(f) = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{31} a_{12} a_{23} + a_{21} a_{32} a_{13} - a_{31} a_{22} a_{13} - a_{11} a_{32} a_{23}- a_{21} a_{12} a_{33} Bemerkung. Mit der Leibniz-Formel kann man theoretisch die Determinante eines beliebigen Endomorphismus, nachdem man ihn in einer Basis dargestellt hat, mehr oder weniger konkret ausrechnen. Aber für große n ist die Leibniz-Formel, abgesehen von theoretischen Überlegungen, nicht wirklich nützlich. Das liegt vor allem daran, dass es n! Permutationen einer n-elementigen Menge gibt und die Fakultät sehr stark mit n wächst. Praktischer ist Satz 4, für dessen Anwendung man lediglich einen unter dem Endomorphismus invarianten nichttrivialen echten Unterraum finden muss. Noch effizienter ist die sogenannte LR-Zerlegung.
 
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