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Zwei Faktoren zur Galoisgruppe

Zwei Fakten zur Galoisgruppe

Die Galoisgruppe \(\mathrm{Gal}(L/K)\) einer endlichen Galoiserweiterung \(L/K\), d.h. einer normalen separablen Körpererweiterung, besteht aus den \(K\)-Isomorphismen \(L \to L\). Die Gruppenverknüpfung ist die Komposition von Abbildungen. Für die Berechnung von \(\mathrm{Gal}(L/K)\) ist es nützlich, sich erst einmal zwei Fakten klarzumachen: Erstens ist die Ordnung von \(\mathrm{Gal}(L/K)\) gleich dem Grad \([L:K]\) der Erweiterung. Das ist sogar eine der Charakterisierungen von Galoiserweiterungen. Den Beweis wiederholen wir nicht, zumal er sich aus den Überlegungen weiter unten ergibt. Zweitens ist jeder \(K\)-Homomorphismus \(L \to L\) bereits ein \(K\)-Isomorphismus. Für den Beweis sei allgemeiner \(L/K\) eine algebraische Erweiterung und \(\sigma : L \to L\) ein \(K\)-Homomorphismus. Für \(a \in L\) seien \(a=a_1,\dotsc,a_n\) die Nullstellen des Minimalpolynoms $f \in K[T]$ von \(a\) in \(L\). Dann schränkt sich \(\sigma\) zu einer Abbildung \(\sigma' : \{a_1,\dotsc,a_n\} \to \{a_1,\dotsc,a_n\},\) ein, denn aus $f(a_i)=0$ folgt $f(\sigma(a_i))=\sigma(f(a_i))=\sigma(0)=0$. Weil \(\sigma\) injektiv ist, trifft dies auch auf \(\sigma'\) zu, und wegen der Endlichkeit dieser Nullstellenmenge ist \(\sigma'\) dann sogar bijektiv. Es folgt, dass \(a\) im Bild von \(\sigma'\) und damit im Bild von \(\sigma\) liegt. Für die Berechnung von \(\mathrm{Gal}(L/K)\) ist der erste Fakt insofern nützlich, dass man bereits alle Elemente gefunden hat, wenn es \([L:K]\) verschiedene Elemente sind. Und der zweite Fakt ist insofern nützlich, dass wir uns ab sofort nicht mehr um die Surjektivität kümmern müssen. Es stellt sich außerdem die Frage, wie die \(K\)-Homomorphismen \(M \to L\) aussehen, wobei \(M,L\) zwei beliebige endliche Erweiterungen von \(K\) sind. Dieses Problem ist zwar zunächst allgemeiner, aber gerade durch die Allgemeinheit werden wir eine rekursive Lösung dafür angeben können.
 
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