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Ein komplizierteres Beispiel

Ein komplizierteres Beispiel

Wir bestimmen die Galoisgruppe des Zerfällungskörpers des Polynoms $T^5-4 \in \mathbb{Q}[T].$ Die komplexen Nullstellen lauten $\zeta_5^i \sqrt[5]{4}$ mit $0 \leq i < 5.$ Der Zerfällungskörper ist daher $L=\mathbb{Q}(\sqrt[5]{4},\zeta_5).$ Das Minimalpolynom von $\sqrt[5]{4}$ über $\mathbb{Q}$ ist $T^5-4$ – zum Beweis der Irreduzibilität substituiere man $T-1$ und benutze das Eisenstein-Kriterium. Die Nullstellen sind wie gesagt $\zeta_5^i \sqrt[5]{4}$ mit $0 \leq i < 5$. Das Minimalpolynom von $\zeta_5$ über $\mathbb{Q}(\sqrt[5]{4})$ ist das fünfte Kreisteilungspolynom $f=T^4+T^3+T^2+T+1$ mit den Nullstellen $\zeta_5^j$ für $0 < j < 5$. Zum Nachweis der Irreduzibilität von $f$ über $\mathbb{Q}(\sqrt[5]{4})$ kann man sich etwa klarmachen, dass die Nullstellen nicht in $\mathbb{Q}(\sqrt[5]{4})$ enthalten sind, was aus Gradgründen klar ist, und dass die in $\mathbb{R}[T]$ gebildeten quadratischen Faktoren $T^2 + \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} T + 1$ nicht in $\mathbb{Q}(\sqrt[5]{4})[T]$ liegen. Die $\mathbb{Q}$-Homomorphismen $L \to L$, insgesamt $20$ Stück, sind demnach gegeben durch $\zeta_5 \mapsto \zeta_5^j,~\sqrt[5]{4} \mapsto \zeta_5^i \sqrt[5]{4}$ mit $0 \leq i < 5,~0 < j < 5.$ Es ist ratsam, diesen Homomorphismus $\sigma_{a,b}$ zu schreiben als $\zeta_5 \mapsto \zeta_5^a$ mit $a \in \mathbb{F}_5^{\times}$ und $\sqrt[5]{4} \mapsto \zeta_5^b \sqrt[5]{4}$ mit $b \in \mathbb{F}_5$, wobei $\mathbb{F}_5=\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ der Körper mit fünf Elementen ist. Der Ausdruck $\zeta_5^b$ ist hierbei wegen $\zeta_5^5=1$ für $b \in \mathbb{F}_5$ wohldefiniert. Zur Gruppenstruktur: Es ist $\sigma_{1,0}=1$ die Identität. Man rechnet nun die Relation $\sigma_{a,b} \circ \sigma_{c,d} = \sigma_{ac,ad+b}$ nach. Damit ist die Galoisgruppe bestimmt. Wir können sie noch etwas anders ausdrücken, nämlich als die Gruppe $\mathrm{Aff}(\mathbb{F}_5)$ der affin-linearen Isomorphismen $\mathbb{F}_5 \to \mathbb{F}_5$, also der Abbildungen der Form $x \mapsto ax + b$ mit $a \in \mathbb{F}_5^{\times}$ und $b \in \mathbb{F}_5$. Wegen $a(cx + d) + b = (ac)x + (ad + b)$ erkennen wir genau die Verknüpfung in der Galoisgruppe wieder. Das heißt, es gibt einen Isomorphismus $\mathrm{Aff}(\mathbb{F}_5) \to \mathrm{Gal}(T^5-4),~(x \mapsto ax + b) \mapsto \sigma_{a,b}.$ Es lässt sich $\mathrm{Aff}(\mathbb{F}_5)$ auch als das semidirekte Produkt $\mathbb{F}_5 \rtimes \mathbb{F}_5^{\times}$ interpretieren.
 
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