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Neuer Abschnitt in Maxwell-Gleichungen herleiten aus Lore

Gegeben seien vier Funktionen \( u_1, u_2, u_3, u_4, \) jede abhängig von vier Veränderlichen \( x_1, x_2, x_3, x_4 \), und alle zweimal stetig differenzierbar. Die zweiten partiellen Ableitungen \( {\dfrac {\partial }{\partial x_k}}\left({\dfrac {\partial }{\partial x_j}}u_i(x_1,x_2,x_3,x_4)\right) \) schreibe ich kurz als \( u_{ijk} \). Der erste Index \( i \) bezeichnet die verwendete Funktion \( u_i \) und die weiteren \( j,k \) den Index, nach welcher Variablen \( x_j, x_k \) der Reihe nach abgeleitet wird. Satz von Schwarz angewendet für \( i,j,k \) von 1 bis 4 ergibt (einschließlich der trivialen Fälle \( j=k \)) insgesamt 40 Möglichkeiten \( u_{ijk} = u_{ikj} \), die ich in folgender Tabelle aufliste, als Puzzle-Baukasten sozusagen.

\( u_{111}=u_{111} \) \( u_\color{orange}{112}=u_\color{orange}{121} \) \( u_\color{orange}{113}=u_\color{orange}{131} \) \( u_\color{orange}{114}=u_\color{orange}{141} \) \( u_{122}=u_{122} \)
\( u_{211}=u_{211} \) \( u_\color{green}{212}=u_\color{green}{221} \) \( u_\color{green}{213}=u_\color{green}{231} \) \( u_\color{green}{214}=u_\color{green}{241} \) \( u_{222}=u_{222} \)
\( u_{311}=u_{311} \) \( u_\color{blue}{312}=u_\color{blue}{321} \) \( u_\color{blue}{313}=u_\color{blue}{331} \) \( u_\color{blue}{314}=u_\color{blue}{341} \) \( u_{322}=u_{322} \)
\( u_{411}=u_{411} \) \( u_\color{brown}{412}=u_\color{brown}{421} \) \( u_\color{brown}{413}=u_\color{brown}{431} \) \( u_\color{brown}{414}=u_\color{brown}{441} \) \( u_{422}=u_{422} \)
\( u_\color{orange}{123}=u_\color{orange}{132} \) \( u_\color{orange}{124}=u_\color{orange}{142} \) \( u_{133}=u_{133} \) \( u_\color{orange}{134}=u_\color{orange}{143} \) \( u_\color{orange}{144}=u_\color{orange}{144} \)
\( u_\color{green}{223}=u_\color{green}{232} \) \( u_\color{green}{224}=u_\color{green}{242} \) \( u_{233}=u_{233} \) \( u_\color{green}{234}=u_\color{green}{243} \) \( u_\color{green}{244}=u_\color{green}{244} \)
\( u_\color{blue}{323}=u_\color{blue}{332} \) \( u_\color{blue}{324}=u_\color{blue}{342} \) \( u_{333}=u_{333} \) \( u_\color{blue}{334}=u_\color{blue}{343} \) \( u_\color{blue}{344}=u_\color{blue}{344} \)
\( u_\color{brown}{423}=u_\color{brown}{432} \) \( u_\color{brown}{424}=u_\color{brown}{442} \) \( u_{433}=u_{433} \) \( u_\color{brown}{434}=u_\color{brown}{443} \) \( u_\color{brown}{444}=u_\color{brown}{444} \)
 
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