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Berechnung der Kippwinkel und Kippgeschwindigkeit innerhalb der Kette

2. Berechnung der Kippwinkel und Kippgeschwindigkeit innerhalb der Kette

Die Breite der Dominosteine quer zur Fallrichtung spielt für die Überlegungen keine Rolle. Von der Seite betrachtet habe der Stein die Höhe $h$ und die Dicke $b$. (Der Buchstabe $d$ für Dicke erscheint vielleicht passender, aber wenn man mit Differentialgleichungen hantiert, ist der Buchstabe $d$ als Variablenname häufig irreführend und nicht gut geeignet.) Ein Dominostein habe die Masse $m$ und bezüglich seiner Kippkante das Trägheitsmoment $J$. Das Trägheitsmoment eines Quaders mit homogener Masseverteilung bezüglich einer Kippkante ist $J=\tfrac13m(h^2+b^2)$, aber das bietet leider keinerlei Vereinfachung in den folgenden Berechnungen. Es würde uns außerdem unnötig einschränken, denn beim Domino-Day zum Beispiel hatten die Steine keine homogene Massenverteilung im Quader, weil der Quader kein solcher war, sondern äußerliche Aushöhlungen aufwies. Die Steine stehen im Abstand $a$ zueinander. Damit ist nicht das lichte Maß zwischen den Steinen gemeint, sondern der Abstand von Kippkante zu Kippkante. Wir betrachten zwei Steine $k$ und $k+1$ in nachfolgender Skizze:
Die Strecke $BD$ habe die Länge $a$. Im Dreieck $ABC$ gilt wegen des Sinussatzes: $$\frac{\sin(\varphi_{k+1}-\varphi_k)}{a-\frac b{\cos\varphi_k}}=\frac{\sin(\frac\pi2+\varphi_k)}h=\frac{\cos\varphi_k}h$$$$\sin(\varphi_{k+1}-\varphi_k)=\frac{\cos\varphi_k}h\left(a-\frac b{\cos\varphi_k}\right)=\frac{a\cos\varphi_k-b}h$$$$\varphi_{k+1}=\varphi_k+\arcsin\frac{a\cos\varphi_k-b}h$$Der Neigungswinkel eines weit zurückliegenden Steins lässt sich also nur rekursiv berechnen. Es ist $$\lim_{k \rightarrow \infty}\varphi_k=\varphi_{\max}=\arccos\frac ba$$Wenn die Reihe nun in der Fallbewegung ist, dann bewegen sich alle schon gefallenen Steine abwärts - wenn auch um so langsamer, je weiter weg der betrachtete Stein vom aktuellen Geschehen ist. Die Winkelgeschwindigkeit $\omega_k=\frac{\mathrm d\varphi_k}{\mathrm dt}$ ist dann: $$\omega_{k+1}=\omega_k+\omega_k\frac{-a\sin\varphi_k}{h\sqrt{1-\left(\frac{a\cos\varphi_k-b}h\right)^2}}$$$$\omega_{k+1}=\omega_k\left(1-\frac{a\sin\varphi_k}{\sqrt{h^2-(a\cos\varphi_k-b)^2}}\right)$$Auch die Winkelgeschwindigkeit eines Steins lässt sich daher nur rekursiv berechnen. $\omega_k$ stellt eine Nullfolge dar, die für $k\rightarrow\infty$ annähernd zu einer geometrischen Folge wird. Das ist nützlich für die spätere numerische Berechnung. Für den Grenzwert des Faktors gilt: $$\lim_{k \rightarrow \infty}\left(1-\frac{a\sin\varphi_k}{\sqrt{h^2-(a\cos\varphi_k-b)^2}}\right)=1-\frac{\sqrt{a^2-b^2}}h$$Man kann nun in kompakter Schreibweise $\omega_k$ auf die Winkelgeschwindigkeit des nullten Steins $\omega_0$ zurückführen: $$\omega_k=\omega_0\prod_{i=0}^{k-1}\left(1-\frac{a\sin\varphi_i}{\sqrt{h^2-(a\cos\varphi_i-b)^2}}\right)$$
 
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