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Berechnung von Drehimpuls, kinetischer und potentieller Energie

3. Berechnung von Drehimpuls, kinetischer und potentieller Energie

Da sich alle gefallenen Steine immer nur im Verbund bewegen, ist es notwendig, die Summen aller Drehimpulse, kinetischer und potentieller Energien zu betrachten, denn die Summe bestimmt aufgrund der gegenseitigen Abhängigkeit, wie schnell der "Stein null" fällt. Der Gesamtdrehimpuls aller Steine ist: $$L=J\sum_{k=0}^\infty\omega_k=J\omega_0\sum_{k=0}^\infty\left[\prod_{i=0}^{k-1}\left(1-\frac{a\sin\varphi_i}{\sqrt{h^2-(a\cos\varphi_i-b)^2}}\right)\right]$$Wir definieren als Abkürzung die Funktion $$\Sigma_1(\varphi_0)=\sum_{k=0}^\infty\left[\prod_{i=0}^{k-1}\left(1-\frac{a\sin\varphi_i}{\sqrt{h^2-(a\cos\varphi_i-b)^2}}\right)\right]$$so dass gilt: $$L(\varphi_0,\omega_0)=J\omega_0\Sigma_1(\varphi_0)$$Keine Panik, wir werden nicht all zu viel mit dieser Funktion zu tun haben, das überlassen wir dem Computer. Sinngemäß das Gleiche tun wir für die kinetische Energie: $$E_{\text{kin}}=\frac12J\sum_{k=0}^\infty\omega_k^2=\frac12J\omega_0^2\sum_{k=0}^\infty\left[\prod_{i=0}^{k-1}\left(1-\frac{a\sin\varphi_i}{\sqrt{h^2-(a\cos\varphi_i-b)^2}}\right)^2\right]$$Also fast das gleiche wie oben, nur mit quadrierten Faktoren und Winkelgeschwindigkeiten, und konsequenterweise definieren wir als Abkürzung $$\Sigma_2(\varphi_0)=\sum_{k=0}^\infty\left[\prod_{i=0}^{k-1}\left(1-\frac{a\sin\varphi_i}{\sqrt{h^2-(a\cos\varphi_i-b)^2}}\right)^2\right]$$so dass gilt: $$E_{\text{kin}}(\varphi_0,\omega_0)=\frac12J\omega_0^2\Sigma_2(\varphi_0)$$Last, but not least: die Summe der potentiellen Energie. Die Höhe des Schwerpunktes eines Dominosteins über der Ebene ist $\frac12h\cos\varphi_k+\frac12b\sin\varphi_k$. Für $k\rightarrow\infty$ geht diese Höhe allerdings nicht gegen null. Damit die Höhen eine Nullfolge bilden, was Voraussetzung ist, damit man die potentielle Energie der unendlich langen Kette berechnen kann, muss man die potentielle Energie auf den tiefsten zu erreichenden Punkt für den Schwerpunkt des Dominosteins beziehen. Das ist $$\frac12h\cos\varphi_{\max}+\frac12b\sin\varphi_{\max}$$so dass definiert wird: $$E_{\text{pot}}(\varphi_0)=\frac12mg\sum_{k=0}^\infty\left(h\cos\varphi_k-h\cos\varphi_{\max}+b\sin\varphi_k-b\sin\varphi_{\max}\right)$$
 
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