Bearbeiten von: Abschnitt [Änderungshistorie]
  Zeilenumbrüche automatisch mache ich selbst mit HTML    

Ich möchte eine Mail an , nachdem mein Vorschlag bearbeitet ist.
  Nachricht zur Änderung:

Input assistance tools (JavaScript): [Link extern intern] [MathML?] [$$?]
[fed-area] [LaTeX-inline] [LaTeX-display] [Tikz] [hide-area][show-area] [Source code [num.]][?]
[Link zurück zum Artikelabschnitt]

Vorschau:
Gültigkeitsgrenzen und ein (scheinbares) Paradoxon

6. Gültigkeitsgrenzen und ein (scheinbares) Paradoxon

Ich hatte im Kapitel 1 schon Einschränkungen bezüglich der Minimal- und Maximalwerte des Abstands $a$ angekündigt. Das möchte ich nachfolgend konkret berechnen. Wikipedia verrät uns, dass bei den von dem Fernsehsender RTL produzierten und übertragenen Domino-Day-Events Steine mit dem Maßen 48mm x 24mm x 7mm verwendet wurden. Die nachfolgenden Diagramme beruhen auf diesen Maßen, die Steine wurden als Vollquader mit homogener Masseverteilung angenommen.

Mindestabstand

Als Kriterium des Mindestabstands hatte ich angegeben, dass ein Stein mindestens so weit kippen sollte, dass sein Schwerpunkt noch vor dem Aufschlag auf den nächsten Stein eine tiefere Lage eingenommen hat als im senkrechten Stand, weil er ja sonst (augenscheinlich) keinen Energiebeitrag leistet. Siehe folgende Skizze:
Sei $\alpha$ der Winkel von der Kippkante zum Schwerpunkt gegen die Senkrechte, dann gilt: $$\alpha=\arctan\frac bh$$Wenn der Schwerpunkt nach dem Kippen wieder gleich hoch liegen soll, muss der Stein um den Winkel $\varphi=2\alpha$ kippen. Daraus folgt: $$\arcsin\frac{a-b}h=2\arctan\frac bh$$$$\frac{a-b}h=2\sin\left(\arctan\frac bh\right)\cos\left(\arctan\frac bh\right)$$$$a=b\left(1+\frac2{1+\frac{b^2}{h^2}}\right)$$Man erkennt schon an der Skizze und auch an der Formel, wenn man $b$ klein werden lässt im Verhältnis zu $h$, dass $$a\approx 3b$$ gilt. Der genau Wert bei obigem Zahlenbeispiel ist $a=20\mathord,708\text{mm}$. Das ist ganz schön weit entfernt und entspricht auch nicht der praktischen Erfahrung, dass man Steine sehr viel enger stellen kann und der Domino-Effekt trotzdem funktioniert. Die Animation zu Beginn des Artikels beruht auf einem Wert von $a=20\text{mm}$. Das erscheint auf den ersten Blick paradox. Tatsächlich muss man die gesamte potentielle Energie der gekippten Steine betrachten, und nicht die des einzelnen Steins. Wir haben oben die Gleichung für $\omega_{0n}$ hergeleitet. Dort ist ja die Summe der potentiellen Energie eingeflossen, und offensichtlich muss der Radikand größer oder gleich null sein, um eine reelle Winkelgeschwindigkeit zu erhalten. Das bedeutet, dass eigentliche Kriterium für den Mindestabstand lautet: $$h(a-b)-b\sqrt{a^2-b^2}\geq0$$$$h\sqrt{a-b}-b\sqrt{a+b}\geq0$$$$h^2(a-b)\geq b^2(a+b)$$$$a\geq b\frac{1+\frac{b^2}{h^2}}{1-\frac{b^2}{h^2}}$$Das ist wiederum ein recht überraschendes Ergebnis, denn dieser Wert liegt für kleine Verhältnisse von $b$ zu $h$ nur sehr knapp über $b$, hier konkret bei $a=7\mathord,304\text{mm}$, was daher nur einen lichten Abstand von knapp über 0,3mm bedeutet. Das ist so dicht, dass es ohne technische Hilfsmittel für menschliche Finger unmöglich sein dürfte, die Dominosteine dementsprechend aufzustellen. Bei einem noch geringeren Abstand würde jeder noch so schwungvolle Anstoß der Dominokette zum Stillstand kommen, weil die anfängliche kinetische Energie nach und nach aufgebraucht wird.

Höchstabstand

Bei der Berechnung des höchstmöglichen Abstandes muss man unterscheiden zwischen der realen Physik und der Mathematik. Mathematisch kann die Kette an Dominosteinen auch dann noch funktionieren, wenn der anstoßende Stein den Nachfolger nur am Fuß kratzt, wie es oben schon einmal ausgedrückt habe, weil in obigen Berechnungen einfach davon ausgegangen wird, dass der Stein nur um die vorgegebene Kante kippen kann. In der Realität steht der Stein nur lose auf dem Untergrund und ließe sich relativ leicht verschieben, oder er würde sogar rückwärts umkippen. Beide Grenzen möchte ich nachfolgend berechnen. Zunächst zur "mathematischen" Obergrenze. Der Winkel $\varphi_1$, unter dem ein Stein auf den noch stehenden Nachfolger trifft, kann, wenn $a=h+b$ ist, maximal 90° betragen. Gleichzeitig gilt in diesem Fall aber auch für den maximalen Kippwinkel $\varphi_{\max}=\arccos\frac b{h+b}<\varphi_1$. Dann würden sich die hergeleiteten Formeln widersprechen. Tatsächlich muss $\varphi_1\leq \varphi_{\max}$ gelten. Berechnen wir das entsprechende $a_{\max}$ durch Gleichsetzung: $$\arcsin\frac{a-b}h=\arccos\frac ba$$$$\frac{a-b}h=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$$$$\frac{(a-b)^2}{h^2}=\frac{a^2-b^2}{a^2}=\frac{(a-b)(a+b)}{a^2}$$Die triviale Lösung $a=b$ interessiert uns hier nicht, so dass wir durch $(a-b)$ teilen: $$\frac{a-b}{h^2}=\frac{a+b}{a^2}$$$$a^3-ba^2-h^2a-h^2b=0$$Die kubische Gleichung hat im vorliegenden Beispiel drei reelle Lösungen, zwei negative und eine knapp unter $h+b$ bei $a=54\mathord,604\text{mm}$. Durch Anwendung der Newtonschen Formel erhält man beim Startwert $a=h+b$ die recht gute Näherung $$a_{\max}\approx h+b-\frac{hb^2}{2h^2+4hb+b^2}$$Tatsächlich knickt die numerische Berechnung an diesem Wert ein und spuckt für größere Werte von $a$ kein Ergebnis mehr aus. Für die "realistische" Obergrenze betrachten wir folgende Skizze:
Der kippende Stein trifft auf den Folgestein mindestens auf der Höhe des Schwerpunktes, wenn gilt: $$a-b=\frac{\sqrt3}2h$$so dass wir einschränken: $$a_{\max}=b+\frac{\sqrt3}2h$$was hier einem Wert von $48\mathord,569\text{mm}$ entspricht.
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]