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Vorschau:
Neuer Abschnitt in Nachtrag zum Pi-Tag: Die Ausdauer des
\(\newcommand{\ggT}{\mathbb{ggT}}\)

Was ist an seiner Genauigkeit so besonders?

Diese Frage will ich zu Beginn klären, damit seine Leistung eingeordnet werden kann. In 1. Näherung gilt: "Wurzelziehen halbiert die Anzahl an Ziffern" Wir haben es hier mit verschachtelten Wurzeln zu tun. Archimedes hatte 2 korrekte Nachkommastellen, insgesamt 3 Stellen (führende 3) Er musste dazu die Genauigkeit mit jeder Wurzel in 1. Näherung verdoppeln!

Setup und Erinnerungen

Ich werde im Laufe des Artikels davon ausgehen, dass Du mit der Methode von Archimedes vertraut bist. Auf Details werde ich nicht eingehen. Ferner gehe ich davon aus, dass Du die "Heron-Methode" für das Wurzelziehen kennst. Falls nicht, bitte mache Dich damit vertraut. Annahme: Wir werden exakt rechnen, sofern es um die vier Grundrechenarten (quadrieren zähle ich dazu) geht. Gerundet wird stets nur beim Wurzelziehen. Archimedes konnte mit Brüchen bis zu einem gewissen Grad förmlich jonglieren. Ich denke, unser Freund Archimedes hatte diesen Ansporn. Diese Annahme dürfte ihm gerecht werden. Wir nehmen auch an, dass unser Freund ein Tabellenbuch hatte mit Quadratwurzeln natürlicher Radikanden, die einige Näherungsbrüche mittels Heron-Verfahren beinhalten und eine Dezimaldarstellung. Unser Ziel Um ein Gefühl dafür zu bekommen, wie aufwendig Archimedes gerechnet hat, werden wir in wenigen Augenblicken blind ins kalte Wasser springen. Das soll ein erstes Gefühl vermitteln. Wir werden naiv beginnend beim 6-Eck die Eckenanzahl verdoppeln und schauen uns verschiedene Ansprüche der Genauigkeit an. Schließlich noch die Rekursionsgleichungen \(n\) = Eckenanzahl des Polygon Seitenlänge s des einbeschriebenes (2n)-gon: \(s_{2n} = \sqrt{2-\sqrt{4-s_n^2}}\) Seitenlänge t des umbeschriebenes (2n)-gon: \(t_{2n} = \frac{2s_{2n}}{\sqrt{4-s_{2n}^2}}\) Bemerkung: Falls Du Schüler bist und gerade mit Pi zu tun hast, ist es eine schöne Übungsaufgabe diese Rekursionsgleichungen herzuleiten. Da der Schritt vom 3-Eck zum 6-Eck noch exakt möglich ist und einfach zu bekommen ist, werden wir mit dem 6-Eck starten. Unsere Startwerte lauten also: \(s_6 = \frac{1}{2}\) \(t_6 = \frac{\sqrt{3}}{3}\) Wir gehen hier von einem Kreis mit Durchmesser \(d = 1\) aus. Damit ist \(u = d\pi = \pi\) und somit \(ns_{n} < \pi < nt_{n} \forall n \) Damit die Geschichte nicht zu lang wird konzentrieren wir uns lediglich auf die Berechnung des Umfangs für das einbeschriebene Polygon. (Wer Lust hat, kann den anderen Fall gerne eigenständig anfertigen. :) ) Und da ich auch gerne einen "erzieherischen" Auftrag erfüllen möchte, gibt es nun: Aufgabe 1: (Für Schüler) Zeige, dass für den Umfang \(u_k\) des einbeschriebenen (\(3 \cdot 2^k\))-gons folgende Rekursion gilt: \(u_{k} = 3 \cdot 2^{k-1} \sqrt{ 2 - 2\sqrt{1 - {(\frac{u_{k-1}}{3 \cdot 2^{k-1}})^2}}} \) \(u_1 = 3\) mit der wir im weiteren Verlauf arbeiten wollen. Wir müssen dazu nicht zwei Rekursionen simultan betrachten. Archimedes dürfte von der "Version" auch gewusst haben, um Rundungsfehler auf ein Minimum zu reduzieren.
 
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