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Basic Set Theory
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Autor\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\D}{\mathscr{D}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}} \newcommand{\Fun}{\operatorname{Fun}} \newcommand{\sSet}{\mathbf{sSet}} \newcommand{\conv}{\mathrm{conv}} \newcommand{\Ext}{\operatorname{Ext}} \newcommand{\PSh}{\mathbf{PSh}} \newcommand{\op}{\mathrm{op}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\KO}{\operatorname{KO}} \newcommand{\BO}{\operatorname{BO}} \newcommand{\Ho}{\operatorname{Ho}} \newcommand{\Kan}{\mathbf{Kan}}\) Shen Alexander, Vereshchagin Nikolai Konstantinovich
Beschreibung\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\D}{\mathscr{D}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}} \newcommand{\Fun}{\operatorname{Fun}} \newcommand{\sSet}{\mathbf{sSet}} \newcommand{\conv}{\mathrm{conv}} \newcommand{\Ext}{\operatorname{Ext}} \newcommand{\PSh}{\mathbf{PSh}} \newcommand{\op}{\mathrm{op}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\KO}{\operatorname{KO}} \newcommand{\BO}{\operatorname{BO}} \newcommand{\Ho}{\operatorname{Ho}} \newcommand{\Kan}{\mathbf{Kan}}\) Seit Cantor wissen wir, dass hinter der Mengenlehre viel ernsthafte Mathematik steckt. Im 116-seitigen Buch "Basic Set Theory" von den Autoren A. Shen und N. K. Vereshchagin der Lomonossow-Universität Moskau wird ein erster Blick auf mengentheoretische Objekte geworfen. Der Titel des Buches ist zwar relativ einfallslos gewählt, trifft es aber ziemlich genau: Es geht wirklich nur um leichte Mengenlehre und nicht mehr. Das Buch lässt sich nach dem ersten Semester lesen und zeigt ein bisschen mehr als das, was man üblicherweise im Grundstudium (ohne einen Kurs in Mengenlehre) lernt. So behandelt dieses Buch Themen wie den Satz von Schröder-Bernstein, den Wohlordnungssatz, transfinite Induktion sowie Resultate über Kardinal- und Ordinalzahlen. Axiomatische Mengenlehre, etwa mit ZFC, wird allerdings vermieden. Da ich selbst einige dieser Begriffe nachholen wollte, habe ich dieses Buch gelesen. Chapter 1. Sets and Their Cardinalities §1. Sets §2. Cardinality §3. Equal cardinalities §4. Countable sets §5. Cantor-Bernstein Theorem §6. Cantor's Theorem §7. Functions §8. Operations on cardinals Chapter 2. Ordered Sets §1. Equivalence relations and orderings §2. Isomorphisms §3. Well-founded operations §4. Well-ordered sets §5. Transfinite induction §6. Zermelo's Theorem §7. Transfinite induction and Hamel basis §8. Zorn's Lemma and its application §9. Operations on cardinals revisited §10. Ordinals §11. Ordinal arithmetic §12. Recursive definitions and exponentiation §13. Application of ordinals Das erste Kapitel handelt um die üblichen Begriffe, die man vielleicht aus dem ersten Semester des Mathematikstudiums kennt. Es werden Techniken zur Abzählbarkeit und Überabzählbarkeit behandelt, einige mengentheoretische Konstruktionen besprochen, und ein nettes Argument zum Satz von Schröder-Bernstein gezeigt. Zuletzt gibt es noch einen Teil zu Kardinalzahlen, was wahrscheinlich schon nicht mehr aus den ersten Semestern bekannt ist. Im zweiten Kapitel werden zunächst geordnete Mengen studiert, um diese danach für wohlfundierte und wohlgeordnete Mengen verwenden zu können. Beispielsweise werden auch partielle Ordnungen auf Produktmengen und disjunkte Mengen definiert. Hier bin ich mir nicht sicher, ob es typisch für Mengentheoretiker ist, allerdings gefallen mir die Definitionen aus kategorientheoretischer Sicht nicht. Die im Buch definierte Ordnung auf der disjunkten Vereinigung $A + B$ von $A,B$ konstruiert den Join $A \star B$ von $A$ und $B$ statt das Koprodukt $A \amalg B$ von $A$ und $B$. Auch das Produkt $A \times B$ ist nicht das kategorientheoretische Produkt in $\mathbf{Poset}$. Der Vorteil dieser Notation ist, dass sie nachher mit der Terminologie der Ordinalarithmetik übereinstimmt. Mit diesen Begriffen kommen wir zur transfiniten Induktion/Rekursion, dem Wohlordnungssatz von Zermelo und Zorns Lemma. Es ist ein wenig merkwürdig, dass nie explizit die typische Formulierung der transfiniten Induktion (z.B. wie auf Wikipedia) gegeben wurde und eigentlich fast nur auf transfinite Rekursion eingegangen wurde. Nette Anwendungen mit Hamel Basen und der Cauchy Funktionalgleichungen werden hierzu gezeigt. Schließlich gibt es mehr zur Kardinalzahl- und Ordinalzahlarithmetik. Es wird ein intuitiver aber nicht ganz formaler Zugang zu Ordinalzahlen gewählt. So werden sie als Ordnungsklassen wohlgeordneter Mengen definiert und mengentheoretische Feinheiten ignoriert (sie werden aber angemerkt). Ich finde, dass das Buch nett geschrieben ist. Es sind viele Übungsaufgaben im Buch eingestreut und die Autoren schreiben viel über Intuition und Geschichte. Die Beweise sind leicht zu lesen und die gewählten Themen gefallen mir gut. Für meinen Zweck hat es gereicht: Ich wollte bloß einen Einblick bekommen, was es mit der transfiniten Induktion und Ordinalzahlen auf sich hat und nicht unbedingt hochtechnische Mengenlehre lesen. Für alle, die auch nur einen kurzen Blick in die Mengenlehre werfen wollen, kann ich das Büchlein empfehlen. Es eignet sich gut als Lektüre nach dem ersten Semester - beispielsweise für die Semesterferien.
Bewertung\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\D}{\mathscr{D}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}} \newcommand{\Fun}{\operatorname{Fun}} \newcommand{\sSet}{\mathbf{sSet}} \newcommand{\conv}{\mathrm{conv}} \newcommand{\Ext}{\operatorname{Ext}} \newcommand{\PSh}{\mathbf{PSh}} \newcommand{\op}{\mathrm{op}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\KO}{\operatorname{KO}} \newcommand{\BO}{\operatorname{BO}} \newcommand{\Ho}{\operatorname{Ho}} \newcommand{\Kan}{\mathbf{Kan}}\) 7
Suchwörter
Mengenlehre, set theory, Mengentheorie,
 
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