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Mathematik: Galois-Verbindungen
Freigegeben von matroid am Do. 21. November 2019 22:39:52
Verfasst von Triceratops - (327 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)

Galois-Verbindungen

Ausgehend von einer einfachen Beobachtung zwischen der Bildmenge und der Urbildmenge gelangen wir zum Begriff einer Galois-Verbindung. Dieser wird in diesem Artikel untersucht. Wir beweisen einfache Eigenschaften von Galois-Verbindungen und geben ein paar einfache Anwendungen an. Insbesondere finden wir damit einen konzeptionellen Beweis für eine ganze Reihe von Charakterisierungen von injektiven bzw. surjektiven Abbildungen. Im letzten Abschnitt zeigen wir dann die Nützlichkeit von Galois-Korrespondenzen auf, wofür der Hauptsatz der Galoistheorie das prominenteste Beispiel ist. Abgesehen von den Beispielen sind für das Verständnis dieses Artikels lediglich Grundbegriffe der Mengenlehre und der Ordnungstheorie nötig.
\(\endgroup\)
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Mathematik: 4-reguläre planare Einheits-Dreieck-Graphen
Freigegeben von matroid am Mo. 18. November 2019 21:17:18
Verfasst von Slash - (213 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)

Wie man 4-reguläre planare Graphen nur aus kongruenten gleichseitigen Dreiecken konstruiert

Lassen sich kongruente gleichseitige Dreiecke in der Ebene ohne Überschneidungen derart aneinanderlegen, dass sich immer genau zwei Ecken berühren ohne dabei größere Dreiecke zu bilden? Und wenn ja, wie viele Dreiecke benötigt man mindestens dafür?

Eine Aufgabe, die mit entsprechendem Material, etwa kleine Dreiecke aus Pappe, sogar Kinder verstehen und angehen können, deren Lösung aber ganz schön raffiniert ist.
\(\endgroup\)
mehr... | 15022 Bytes mehr | 2 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


Offene Fragen: Urknall
Freigegeben von matroid am So. 10. November 2019 15:35:22
Verfasst von trunx - (310 x gelesen)
Physik  \(\begingroup\)\(\usepackage{setspace}\)

Der Urknall

Mythischer Anfang


Die Idee des Gewordenseins des Universums ist uralt, in praktisch allen Kulturen gibt es Mythen über einen Anfang der Welt. So beginnt zB. eine rituelle Formel im indogermanischen Schöpfungsmythos:

"Das erfuhr ich unter den Menschen als der Wunder größtes,
dass Erde nicht war, noch Himmel oben,
weder Baum noch Berg noch irgendwas.
Nicht schien die Sonne, nicht leuchtete der Mond,
nicht breitete sich aus das herrliche Meer.
(in der indischen Rigveda folgt:
Weder Sein war damals noch Nichtsein.)
Nichts war - nur geheimnisvoller, tiefer Abgrund."

Dieses Nichts, diese dunkle Leere war kein Vakuum, sondern ein fern jeder Vorstellung mit mächtigen magischen Kräften erfüllter Ort. In der Regel entstanden dort die ersten Riesen oder vorzeitlichen Giganten und die Götter und irgendwann kam es zum Kampf zwischen den beiden, den die Götter gewannen. Aus den Überresten der Giganten erschufen die Götter dann die Welt, so wie wir sie kennen (zB. besteht das Meer oft aus dem Blut eines Riesen) und später auch die Menschen. Die Griechen nannten dieses Nichts das Chaos, im Judentum ist es als Tohuwabohu bekannt.

In der Bibel (AT) beginnt die Sache einfacher: "Am Anfang schuf Gott Himmel und Erde." Gott ist also bereits da und woraus er Himmel und Erde machte, wird nicht erwähnt. Im NT dagegen heisst es "Im Anfang war das Wort." Dieses Wort kann man sich vielleicht besser als Gedanke oder Gedankenblitz denken, sd. der Anfang des Universums in einer besonderen Art Strahlung, dem primären Licht Gottes bestand. Das sekundäre Licht wurde später geschaffen.

Unter den christlichen Gnostikern gab es allerdings eine bezeichnende Idee, aus was Gott die Welt gemacht hat, nämlich aus dem gefallenen Erzengel Lucifer/Satan und seinen Heerscharen. In allem und jedem weltlichen Ding, einschliesslich der Menschen ist lediglich sekundäres Licht, doch durch gute Taten ist Erlösung möglich. Einzig Christus war und brachte das primäre Licht in die Welt.

Nun gut. Machen wir weiter mit Physik. \(\endgroup\)
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Mathematik: Ein paar Ideen zu einer Philosophie der Zeit
Freigegeben von matroid am Do. 31. Oktober 2019 21:08:51
Verfasst von trunx - (596 x gelesen)
Vermischtes  \(\begingroup\)\(\usepackage{setspace}\)

Ein paar Ideen zu einer Philosophie der Zeit



Aus verständlichen Gründen sind philosophische Themen auf dem MP nicht so gern gesehen. Anders als bei mathematischen bzw. physikalischen Aufgabenstellungen kommt man prinzipiell nicht zu einem klaren Ergebnis, sondern verbleibt stets im mitunter äußerst undurchdringlichen Dickicht der Meinungen.

Dennoch mache ich hier mal eine Ausnahme, schließlich bedarf jede Wissenschaft der Philosophie. Trotz ihres spekulativen Charakters liefert die Philosophie letztlich plausible Annahmen über unsere Welt, die wissenschaftliches Denken und Arbeiten erst ermöglichen.

Auch der vorliegende Text handelt von solchen plausiblen Annahmen, nämlich über die Zeit und was daraus folgt. \(\endgroup\)
mehr... | 30607 Bytes mehr | 4 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


Stern Mathematik: Das Gruppenaxiom
Freigegeben von matroid am Mo. 13. Februar 2006 16:34:20
Verfasst von SirJective - (4641 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)

Das Gruppenaxiom


"Das Gruppenaxiom"? Es gibt doch drei Gruppenaxiome!

Üblicherweise definiert man Gruppen in der Mathematik durch eine Verknüpfung zwischen den Elementen (eine "Multiplikation") und die Forderung, dass drei bestimmte Aussagen (die "Gruppenaxiome") gelten sollen. So wird es im Artikel Gruppenzwang getan, der eine Einführung in die Gruppentheorie gibt.

Da ist es doch einigermaßen überraschend, dass es auch mit weniger als drei Axiomen geht, wenn man nicht mit der Multiplikation, sondern mit der Division arbeitet.

fed-Code einblenden
\(\endgroup\)
mehr... | 21450 Bytes mehr | 15 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


Mathematik: Branch&Bound und Backtracking angewendet auf mehrere Probleme
Freigegeben von matroid am Mo. 09. September 2019 20:27:28
Verfasst von Delastelle - (352 x gelesen)
Informatik  \(\begingroup\)
Branch&Bound und Backtracking werden angewendet auf
1. Sudoku
2. Rundreiseproblem (TSP)
3. Jobschop-Scheduling
4. ein Problem des Euler-Wettbewerbs (crack-free walls)
5. zur Lösung von Labyrinthen
und
6. zur Lösung von Erfüllbarkeitsproblemen (SAT genauer 3SAT)

Fortran-Programme werden zur Lösung der Probleme verwendet.

\(\endgroup\)
mehr... | 10252 Bytes mehr | 1 Kommentar | Druckbare Version  | Mathematik


Mathematik: Die Koch-Schneeflocke
Freigegeben von matroid am Sa. 07. September 2019 20:09:14
Verfasst von Triceratops - (618 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)

Die Koch-Schneeflocke

In diesem kurzen Artikel werden die Flächeninhalte der Koch-Kurve und der Koch-Schneeflocke berechnet, ohne Grenzwerte oder unendliche Reihen zu benutzen.

\(\endgroup\)
mehr... | 5517 Bytes mehr | 10 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


Mathematik: Hauptsünden und Tugenden von Simplexlehrern
Freigegeben von matroid am Mo. 02. September 2019 20:49:09
Verfasst von Goswin - (376 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)
Gemeint ist, in kleinlich ernsthafter Genauigkeit: "Drei meiner Meinung nach schwerwiegende und fast überall beobachtete didaktische Fehlverhalten von Schullehrern der zwölften Klasse und darüber beim Unterrichten des Wahlfachs Lineare Optimierung". Der verkürzte Artikelname ist also ganz unmöglich, führt aber hoffentlich verzweifelte Fragesteller auf die richtige Spur. Ich beobachte zwar keine Schullehrer beim Unterricht, aber ich lese Schultexte und achte auf Schülerfragen in Matheforen. Ich möchte auch nicht andeuten, es insgesamt besser machen zu können; ich würde vermutlich anstelle dieser Fehler eine Unzahl anderer machen.

Lineare Optimierung befasst sich mit der Lösung von "linearen Ungleichungssystemen". Optimiert wird nur nebenbei (beziehungsweise danach). Ursprünglich hieß das Gebiet auch gar nicht so, sondern "Linear Programming", was zu deutsch etwa "Lineares Programmieren" oder "Lineare Planrechnung" bedeuten würde. Bis die übermächtigen informatischen Heerscharen bar jeder Rücksichtnahme ins Mathematikreich eingebrochen sind und den Ausdruck "programmieren" für sich beschlagnahmt haben.

Der Knappheit zuliebe setze ich hier die Kenntnis von Simplexverfahren für die Lineare Optimierung voraus; wer diese nicht kennt, dem empfehle ich den Wikipedia-Eintrag: Pivotverfahren, für welchen ich größtenteils selber verantwortlich bin. Ein paar nützliche Vorübungen zu diesem Thema werden im Schulprojekt Linearer Gleichungszauber erklärt. \(\endgroup\)
mehr... | 6668 Bytes mehr | 7 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


Mathematik: Muster im Alltag
Freigegeben von matroid am Do. 29. August 2019 08:06:43
Verfasst von trunx - (653 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)\(\usepackage{setspace}\)
Der Eine oder die Andere kennt möglicherweise den folgenden Gesprächsverlauf aus eigener Erfahrung.

A: Was machst du beruflich/ studierst du/ ist dein Hobby?
B: Mathematik
A: Rechnen ist nicht so meins.
B: Kann ich verstehen, aber Mathematik ist deutlich mehr als Rechnen.
A: Inwiefern?
B: Es geht hier eher um Mustererkennung.
A: Ok. Sag mal ein einfaches Beispiel.
B: Kein Problem.

Damit es wirklich kein Problem ist, das Gespräch fruchtbar weiter zu führen, seien hier im Artikel zwei versteckte Beispiele aus dem Alltag genannt, die diese besondere Art der Wahrnehmung illustrieren. \(\endgroup\)
mehr... | 6515 Bytes mehr | 5 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


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