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buhs Montagsreport: ENER*: So wird es.
Freigegeben von matroid am Mo. 20. Januar 2020 19:56:11
Verfasst von buh - (104 x gelesen)
Bildung  \(\begingroup\)
Urlogo für buhs Montagsreport
ENER*: So wird es.

Wird es so?


Zinbiel: Erwartungsvoll stehen die Witten, Chatten und Solingen, sogar einige der ausgestorbenen Skripten vor dem buhrakel und harren der Worte, die der weise Le in den Bergen gesucht hat. Hat er sie auch gefunden?
Im Halbdunkel der herangleitenden Nacht zieht ein gelbrotes Glühen über den Horizont, und WORT 4.01 erscheint: clusterfrei, ohne Schlieren und Ladebalken und gestochen scharf.
So kann buhs Montagsreport alles verlustfrei wiedergeben. \(\endgroup\)
mehr... | 5488 Bytes mehr | 1 Kommentar | Druckbare Version  | buhs Montagsreport


Matheplanet-Award: MP-Awards für 2019
Freigegeben von matroid am Sa. 28. Dezember 2019 00:00:53
Verfasst von matroid - (273 x gelesen)
Matheplanet-Award  \(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}} \newcommand{\IW}{\mathbb{W}} \)
Abstimmung zum Matheplanet-Award für 2019




Award-Gala Sonntag 15h!


 
  Matheplanet-Mitglieder-Award
für 2019


Awards werden in 11 Kategorien vergeben. Für die Awards sollen Mitglieder nominiert werden, die im Jahr 2019 in der jeweiligen Kategorie positiv hervorgetreten sind.

Grundsätzlich kann jedes Mitglied jedes Mitglied nominieren und wählen.

Bitte gib Deine Stimme ab, denn damit drückst Du Deine Zufriedenheit und Anerkennung aus. Wähle in jeder Kategorie Deinen Favoriten unter den Nominierten, oder trage Deine Nominierung ein.

Jedes Mitglied kann in jeder Kategorie beliebig viele Stimmen abgeben, solange die Stimmen verschiedenen Kandidaten gegeben werden. Um weitere Stimmen abzugeben, rufe das Wahlformular bitte mehrfach auf.

Du kannst abstimmen ab dem 1.1.2020 und bis zum 24.1.2020. Die feierliche Verleihung der Matheplanet-Awards findet am 26.1.2020 hier auf dem Matheplaneten statt.


 
\(\endgroup\)
mehr... | 10719 Bytes mehr | 2 Kommentare | Druckbare Version  | Matheplanet-Award


Mathematik: Ramsey-Zahlen
Freigegeben von matroid am Mo. 23. Dezember 2019 20:06:37
Verfasst von Triceratops - (251 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)

Ramsey-Zahlen

Silvester steht vor der Tür. Auf so einer Silvesterparty sehen sich manche Gäste zum ersten mal und kannten sich vorher nur über Ecken. Es gibt also unterschiedlich große Gruppen von einander Bekannten und Gruppen von einander Fremden. Wie groß können diese Gruppen sein? Oder genauer gesagt, wie groß muss die Anzahl der Gäste überhaupt sein, damit es auf jeden Fall eine Gruppe von $n$ Bekannten oder eine Gruppe von $m$ Fremden gibt? (Beides gleichzeitig können wir natürlich nicht erwarten.) Oder gibt es überhaupt so eine Anzahl? Das Theorem von Ramsey sagt, dass es tatsächlich eine solche Anzahl gibt. Die Mindestanzahl von benötigten Gästen wird als Ramsey-Zahl $R(n,m)$ definiert. Bis heute sind nur relativ wenige konkrete Werte von $R(n,m)$ bekannt. Es gilt zum Beispiel $R(4,4)=18$, was bedeutet, dass es auf einer Party mit $18$ Gästen (aber nicht unbedingt auf einer Party mit $17$ Gästen) auf jeden Fall $4$ Bekannte oder $4$ Fremde gibt. Dieser Artikel gibt eine kurze Einführung in Ramsey-Zahlen.

\(\endgroup\)
mehr... | 18138 Bytes mehr | Kommentare? | Druckbare Version  | Mathematik


Stern Mathematik: Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat
Freigegeben von matroid am Sa. 06. März 2010 00:35:51
Verfasst von Florian - (17369 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)


Welche natürlichen Zahlen lassen sich als Summe zweier Quadrate ganzer Zahlen schreiben?


Mit dieser Fragestellung beschäftigt sich der vorliegende Artikel. Manche Zahlen wie zum Beispiel 13=2²+3² lassen sich als Summe von zwei Quadraten schreiben, während die Zahl 7 keine solche Darstellung besitzt. Wir werden uns Schritt für Schritt an eine Antwort heranarbeiten und diese beweisen. Das Schwierigste dabei ist es, zu zeigen, dass eine Primzahl der Form 4k+1 eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten besitzt.

Für diesen schwierigen Teil werden wir drei Beweise kennenlernen. Den ersten veröffentlichten Beweis von Euler, den kürzesten Beweis von Zagier und den meiner Meinung nach einfachsten Beweis von Thue. Thues Beweis ist auch recht kurz, verwendet aber im Gegensatz zu Zagiers Beweis noch einen Hilfssatz. Wir werden weiters auch einen kurzen Blick auf die Geschichte dieses Satzes und seiner Beweisideen werfen.

Der Artikel ist für interessierte Schüler und Studienanfänger gedacht. Wir benutzen nur elementare Mathematik der ersten beiden Semester. Unser Hauptaugenmerk liegt darauf, wie ein und dasselbe Resultat mit unterschiedlichsten Methoden bewiesen werden kann. Dazu haben wir uns den Beweis des oben genannten Satzes ausgesucht, welchen Hardy als "eines der schönsten Resultate der Zahlentheorie" bezeichnet hat.

Viel Vergnügen.
\(\endgroup\)
mehr... | 27763 Bytes mehr | 7 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


buhs Montagsreport: DALLER*: Was war wahr?
Freigegeben von matroid am Mo. 16. Dezember 2019 00:00:26
Verfasst von buh - (186 x gelesen)
Matroids Matheplanet  \(\begingroup\)
DLR-Logo für buhs Montagsreport

DALLER*: Was war wahr?

Retrospektiv: Soo war es. Oder anders.

Zinbiel: Le Sen hat im Hornung in der Zeitschleife das Wort4.0 gefunden, das uns die Zukunft verhieß.
Nun, am Ende des Beobachtungszeitraumes, das uns inzwischen auf InstatwittfaceTV die Rückschauen inflationiert, am Ende des Jahres, wenn Panflöten in der ShoppingMall nach Spenden flöten und sich die Tränendrüse voller Mitgefühl selbst kasteit, wenn auf dem Weihnachtsmarkt die Inder-Bowle vor sich hinköchelt, ist selbst der abgebrühteste Wuttbipoit von buhs Montagsreport nicht mehr Herr seiner Sinne und beginnt zu resümieren; und auch ohne den Eingang der gern gesehenen Spenden** ist es nun Zeit für den Blick zurück:
\(\endgroup\)
mehr... | 7901 Bytes mehr | 2 Kommentare | Druckbare Version  | buhs Montagsreport


Mathematik: Anzahl der Abbildungen $f$ mit $f^p = f^q$
Freigegeben von matroid am Fr. 13. Dezember 2019 21:45:02
Verfasst von Triceratops - (303 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)

Anzahl der Abbildungen $f$ mit $f^p=f^q$

Für feste natürliche Zahlen $n,p,q$ bestimmen wir die Anzahl der Abbildungen $f : \{1,\dotsc,n\} \to \{1,\dotsc,n\}$ mit $f^p = f^q$, wobei $f^p$ die $p$-fache Verkettung von $f$ sei. Wir leiten insbesondere für festes $p \geq 2$ und $q=1$ die erzeugende Funktion $\exp(\sum_{d ~\mid~ p-1} \frac{1}{d} (z \cdot \exp(z))^d)$ für die Anzahlen her. Am Ende zeigen wir eine alternative Herleitung auf, die mit kombinatorischen Spezies arbeitet. Das folgende Bild zeigt zum Beispiel eine Abbildung $f$ mit $f^6=f^2$.

<math>
\newcommand{\rdot}{\textcolor{red}{$\bullet$}}
\newcommand{\bdot}{\textcolor{blue}{$\bullet$}}
\begin{tikzpicture}[inner sep=0pt,>=latex]
\node (W1) at (0,1) {\bdot};
\node (W2) at (1,1.8) {\bdot};
\node (W3) at (2,1) {\bdot};
\node (W4) at (1,0.2) {\bdot};
\node (A1) at (-1.1,1) {\rdot};
\node (A2) at (-2,2) {\rdot};
\node (A3) at (-2,0) {\rdot};
\node (B1) at (3.2,2) {\rdot};
\node (B2) at (3.2,0) {\rdot};
\draw [blue,->] (W1) to (W2);
\draw [blue,->] (W2) to (W3);
\draw [blue,->] (W3) to (W4);
\draw [blue,->] (W4) to (W1);
\draw [red,->] (A1) to (W1);
\draw [red,->,bend right=10] (A2) to (A1);
\draw [red,->,bend left=10] (A3) to (A1);
\draw [red,->,bend left=10] (B1) to (W3);
\draw [red,->,bend right=10] (B2) to (W3);
\end{tikzpicture}</math>
\(\endgroup\)
mehr... | 37131 Bytes mehr | 1 Kommentar | Druckbare Version  | Mathematik


Mathematik: Ein schwieriges Problem auf der IMO
Freigegeben von matroid am So. 08. Dezember 2019 08:36:17
Verfasst von trunx - (1527 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)\(\usepackage{setspace}\)
Auf der Wikipediaseite "Internationale Mathematik-Olympiade" werden die zwei schwersten Probleme genannt, die je auf einer IMO gestellt worden sind. Beide Aufgaben konnten nur von 11 Schülern gelöst werden, einmal (1986) bei insgesamt 210, das zweite Mal (1988) bei insgesamt 268 Teilnehmern.

Während für die erste dieser Aufgaben auch eine Lösung verlinkt wurde, habe ich für die zweite Aufgabe keine Lösung im Internet gefunden (aber auch nicht wirklich intensiv danach gesucht). Da es zudem hieß, dass weder die Mitglieder des Aufgabenausschusses noch von ihnen beauftragte Mathematiker des entsprechenden Fachgebietes (Zahlentheorie) die Aufgabe in 6h lösen konnten, war bei mir das Interesse geweckt.

Die Aufgabe lautete (siehe hier):

Let \(a\) and \(b\) positive integers such that \(ab+1\) divides \(a^2 +b^2\). Show that
\[\frac{a^2 +b^2}{ab+1}\] is the square of an integer.

(dt. lt. wikipedia: Sind \(a\) und \(b\) natürliche Zahlen, sodass \[c=\frac{a^2 +b^2}{ab+1}\] ebenfalls eine natürliche Zahl ist, ist c sogar eine Quadratzahl.)

Ich habe deutlich mehr als 6h für die Lösung gebraucht, aber es hat Spass gemacht. Daher, wer es selbst probieren will, macht jetzt besser den PC aus und rechnet!

Nachtrag: Die nachgelieferte Zuendeführung des angekündigten Beweises findet sich im nächsten Abschnitt in blauer Schrift. \(\endgroup\)
mehr... | 9236 Bytes mehr | 42 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


Mathematik: Galois-Verbindungen
Freigegeben von matroid am Do. 21. November 2019 22:39:52
Verfasst von Triceratops - (421 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)

Galois-Verbindungen

Ausgehend von einer einfachen Beobachtung zwischen der Bildmenge und der Urbildmenge gelangen wir zum Begriff einer Galois-Verbindung. Dieser wird in diesem Artikel untersucht. Wir beweisen einfache Eigenschaften von Galois-Verbindungen und geben ein paar einfache Anwendungen an. Insbesondere finden wir damit einen konzeptionellen Beweis für eine ganze Reihe von Charakterisierungen von injektiven bzw. surjektiven Abbildungen. Im letzten Abschnitt zeigen wir dann die Nützlichkeit von Galois-Korrespondenzen auf, wofür der Hauptsatz der Galoistheorie das prominenteste Beispiel ist. Abgesehen von den Beispielen sind für das Verständnis dieses Artikels lediglich Grundbegriffe der Mengenlehre und der Ordnungstheorie nötig.
\(\endgroup\)
mehr... | 33610 Bytes mehr | 4 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


Mathematik: 4-reguläre planare Einheits-Dreieck-Graphen
Freigegeben von matroid am Mo. 18. November 2019 21:17:18
Verfasst von Slash - (270 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)

Wie man 4-reguläre planare Graphen nur aus kongruenten gleichseitigen Dreiecken konstruiert

Lassen sich kongruente gleichseitige Dreiecke in der Ebene ohne Überschneidungen derart aneinanderlegen, dass sich immer genau zwei Ecken berühren ohne dabei größere Dreiecke zu bilden? Und wenn ja, wie viele Dreiecke benötigt man mindestens dafür?

Eine Aufgabe, die mit entsprechendem Material, etwa kleine Dreiecke aus Pappe, sogar Kinder verstehen und angehen können, deren Lösung aber ganz schön raffiniert ist.
\(\endgroup\)
mehr... | 15022 Bytes mehr | 2 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


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