Berechnung des Wertes einer modifizierten geometrischen Reihe
Von: trunx
Datum: Fr. 05. Februar 2016 19:00:20
Thema: Mathematik
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Berechnung des Wertes der Reihe \sum \limits_{j=0}^{\infty} j^m q^j

Immer wieder kommen hier auf dem MP Anfragen, wie man für gegebene m \in \mathds{N} und q \in \mathds{R} mit \abs{q}<1 den Wert der Reihe \sum \limits_{j=0}^{\infty} j^m q^j bestimmen kann. Für m=0 handelt es sich natürlich um die geometrische Reihe und es ist bekanntermaßen \sum \limits_{j=0}^{\infty} q^j = \frac{1}{1-q}. Wie man den Wert der Reihe berechnet für m\ge1, zeige ich im folgenden Artikel.

1. Ableitung

Die Grundidee zur Berechnung ist, dass man sich die Ableitung der geometrischen Reihe nach q anschaut. Es ist \frac{d}{dq}(\sum \limits_{j=0}^{\infty} q^j)=\sum \limits_{j=1}^{\infty} j q^{j-1}=\frac{1}{q}(\sum \limits_{j=0}^{\infty} j q^j). Nach Multiplikation mit q erhalten wir folglich für m=1
\sum \limits_{j=0}^{\infty} j q^j=q\frac{d}{dq}(\sum \limits_{j=0}^{\infty} q^j)=q\frac{d}{dq}(\frac{1}{1-q})=\frac{q}{(1-q)^2}.

Für m=2 berechnet man nun ganz analog die Ableitung \frac{d}{dq}(\sum \limits_{j=0}^{\infty} j q^j) und erhält
\frac{d}{dq}(\sum \limits_{j=0}^{\infty} j q^j)=\frac{1}{q}(\sum \limits_{j=0}^{\infty} j^2 q^j). Auch hier muss wieder mit q multipliziert werden, sd. man
\sum \limits_{j=0}^{\infty} j^2 q^j=q\frac{d}{dq}(\sum \limits_{j=0}^{\infty} j q^j)=q\frac{d}{dq}(\frac{q}{(1-q)^2})=\frac{q+q^2}{(1-q)^3} errechnet.

Es liegt also nahe, den Operator D_q=q\frac{d}{dq} als verallgemeinerte Ableitung einzuführen. Damit ist zunächst ganz formal für alle m>1
\sum \limits_{j=0}^{\infty} j^m q^j=D_q^m (\frac{1}{1-q}).
 

2. Auswertung der verallgemeinerten Ableitung

Unschwer ist zu erkennen, dass sich durch die (verallgemeinerte) Ableitung eine gebrochen-rationale Funktion in q ergibt (Zähler und Nenner sind je Polynome in q):
\sum \limits_{j=0}^{\infty} j^m q^j=D_q^m (\frac{1}{1-q})=\frac{Z_m}{N_m}. Genauer ist der Nenner N_m=(1-q)^{m+1}. Der Zähler sei zunächst nur mit Z_m bezeichnet, dieser soll nun ermittelt werden.

Dazu schauen wir uns die Quotientenregel an. Es soll ja sein
\frac{Z_{m+1}}{N_{m+1}}=D_q(\frac{Z_m}{N_m})=\frac{q(Z_m'*(1-q)+(m+1)*Z_m)}{(1-q)^{m+2}}, dh. es ist einfach
(1) Z_{m+1}=q(Z_m'*(1-q)+(m+1)*Z_m).

Um jetzt weiter zu kommen, wird Z_m als Polynom m-ten Grades in q angesetzt. Es fehlt das konstante Glied, da ja nach der normalen Ableitung nochmal ein q multipliziert wird. Wir setzen also
Z_m=a_1^{(m)}q+...+a_m^{(m)}q^m in Gleichung (1) ein.

Das ergibt für die Koeffizienten a_n^{(m)} folgende Rekursion:
(2) a_n^{(m+1)}=(m+2-n)a_{n-1}^{(m)}+na_n^{(m)}.

Um diese Rekursion auszuwerten, schauen wir uns einige Eigenschaften der a_n^{(m)} an. ZB. ist \sum \limits_{n=1}^m a_n^{(m)}=m!, wie man sich durch vollständige Induktion klar macht. Hier sei in Kürze nur der Induktionsschritt m \to m{+}1 gemacht, es ist unter Verwendung von (2):
\sum \limits_{n=1}^{m+1} a_n^{(m+1)} & =1*a_1^{(m)}+(m+1-1)a_1^{(m)}+2a_2^{(m)}+(m+1-2)a_2^{(m)}+... \\ & =(m+1)(a_1^{(m)}+a_2^{(m)}+...)=(m+1)!

Desweiteren sind die a_n^{(m)} symmetrisch, konkret ist a_n^{(m)}=a_{m+1-n}^{(m)}.

Zur Veranschaulichung kann man sich folgendes Koeffizienten-Dreieck anlegen:

\begin{array}{ccccccccc} m=1& & & & & 1 & & & \\ m=2& & & & 1 & & 1 & & \\ m=3& & & 1 & & 4 & & 1 & \\ m=4& & 1 & & 11& & 11& & 1 \\ ...& & & & &...& & & \\ \end{array}

Die Auswertung der Rekursionsgleichung (2) erfolgt mit Hilfe der Ideen, die ich hier beschrieben habe. Daher gebe ich jetzt nur das Ergebnis an:
a_n^{(m)}=\sum \limits_{k=0}^{n-1} (-1)^k \binom{m+1}{k} (n-k)^m.
Damit stellt sich der gesuchte Zähler dar als
Z_m=\sum \limits_{n=1}^m q^n \sum \limits_{k=0}^{n-1} (-1)^k \binom{m+1}{k} (n-k)^m
und alles zusammen

\boxed{\sum \limits_{j=0}^{\infty} j^m q^j=\frac{\sum \limits_{n=1}^m q^n \sum \limits_{k=0}^{n-1} (-1)^k \binom{m+1}{k} (n-k)^m}{(1-q)^{m+1}}}
 

3. Schluss

Wer nur eine Abschätzung braucht, kann die oben genannten Eigenschaften nutzen. Es ist für q>0
\sum \limits_{j=0}^{\infty} j^m q^j \le \frac{q*m!}{(1-q)^{m+1}}, wobei Gleichheit nur für m=1 gilt.

Ich hoffe, damit ist die Sache endlich geklärt :)

viel Freude trunx (Jens Koch)
 


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