Forum:  Matrizenrechnung
Thema: Matrix invertierbar - Intuition
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idontknowhow10
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Themenstart: 2019-05-26 23:51

Hallo,

die folgenden Aussagen ind ja äquivalent:

fed-Code einblenden

kann mir jemand vielleicht den Zusammenhang erklären wieso Zeilen und Spalten linear UNabhängig sein müssen? Vielleicht auch etwas intuitiver?

Oder folgt aus der Aussage, dass Zeilen linear unabhängig sind auch automatisch die Spalten linear unabhängig sind und andersrum?


Vercassivelaunos
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Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-27 01:47
\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}\)
Hallo idontknowhow10,

eine Matrix bildet die Basisvektoren auf ihre jeweiligen Spalten ab. Der erste Basisvektor wird auf die erste Spalte abgebildet, der zweite Basisvektor auf die zweite, und so weiter. Zum Beispiel bildet die Matrix

\[A=\matrix{1&2&3\\ 1&2&0\\1&0&0}\]
so ab:

\[A\cdot e_1=\vector{1\\1\\1},~~
A\cdot e_2=\vector{2\\2\\0},~~
A\cdot e_3=\vector{3\\0\\0}\]
Wenn jetzt die Spalten (ich nenne sie mal $v_1,v_2,v_3$) linear abhängig wären, dann könnte man sie linear zu 0 kombinieren: $av_1+bv_2+cv_3=0$. Das ist aber nichts anderes als $A(ae_1+be_2+ce_3)=0$ (wenn du das ausmultiplizierst, kommt die selbe Gleichung raus). Dann ist aber $ae_1+be_2+ce_3$ eine nichttriviale Lösung von $Ax=0$. Dann wäre aber $A$ nicht invertierbar, also dürfen die Spalten nicht linear abhängig sein.

Und zum Schluss hast du auch noch Recht damit, dass die Zeilen genau dann linear unabhängig sind, wenn es die Spalten auch sind.
\(\endgroup\)

idontknowhow10
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-27 18:26

Perfekt! Danke dir




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Druckdatum: 2019-10-22 06:45