Forum:  Algebraische Geometrie
Thema: Glattes Schema über regulärem Schema ist regulär
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Saki17
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Themenstart: 2020-03-27 19:03

Hallo,

es geht um folgendes (Standard-)Resultat: Sei $f: X\to S$ ein glatter Morphismus von Schemata. Ist $S$ ein reguläres Schema, dann ist $X$ auch regulär.

Das ist eine Übungsaufgabe von Boschs "Algebraic Geometry" in Kap.8.5, wo eine Reihe von Charakterisierungen glatter Morphismen zu finden ist. Leider kann ich sie nicht auf die akutuelle Aufgabe anwenden, vielleicht könnte mir jemand ein paar Hinweis geben?


Saki17
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Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-29 12:47

Hier ist ein Ansatz: Jeder glatte Morphismus $f: X\to S$ faktorisiert als $X\to \mathbb{A}^n_S\to S$, wo der erstere étale ist ($n$ ist die relative Dimension von $f$; Der zweitere ist der Strukturmorphismus, der automarisch glatt ist). Weil mit $R$ der Polynomring $R[t]$ regulär ist, können wir annehmen, dass $f: X\to \mathbb{A}^n_S$ étale und der $n$-affine Raum $\mathbb{A}^n_S$ regulär ist. Mit "étale=flach+unverzweigt" - nutze eine Dimensionsformel bei flachem Morphismus über Fasern sowie das Kriterium für unverzweigte Morphismen anhand maximalen Idealen - soll die Behauptung folgen.


Triceratops
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Beitrag No.2, eingetragen 2020-07-11 11:10

2020-03-27 19:03 - Saki17 im Themenstart schreibt:
Das ist eine Übungsaufgabe von Boschs "Algebraic Geometry" in Kap.8.5
 
Ich habe diese Aufgabe dort nicht gefunden. Ich bin sowohl den Text als auch den Abschnitt mit den Übungsaufgaben durchgegangen. Übersehe ich etwas?

Zu deinem Beweis: Am Anfang schreibst du, dass jeder glatte Morphismus als $X \to \mathbb{A}^n_S \to S$ faktorisiert - das ist aber nur lokal auf $X$ der Fall. Das reicht aber in der Situation aus.

Du schreibst, dass mit $R$ auch $ R[t]$ regulär ist. Hast du eine Referenz dafür? Daraus würde sich ja sofort ergeben, dass für jeden Körper $k$ der Polynomring $k[t_1,\dotsc,t_n]$ regulär ist, also Hilberts Syzygy Theorem. Ich würde in Frage stellen, dass das Resultat bei Bosch als bekannt vorausgesetzt wird. Andererseits sagt der Spezialfall $X = \mathbb{A}^1_S$ genau das aus. Im Abschnitt über reguläre Ringe im Buch von Bosch wird es nicht erwähnt.


Saki17
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-14 19:55

Es freut mich dass du dich wieder meldest.

2020-07-11 11:10 - Triceratops in Beitrag No. 2 schreibt:
2020-03-27 19:03 - Saki17 im Themenstart schreibt:
Das ist eine Übungsaufgabe von Boschs "Algebraic Geometry" in Kap.8.5
 
Ich habe diese Aufgabe dort nicht gefunden. Ich bin sowohl den Text als auch den Abschnitt mit den Übungsaufgaben durchgegangen. Übersehe ich etwas?
Vielleicht liegt es an der Übersetzung? Ich rede von Aufgabe 8 von Kap. 8.5.


Triceratops
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Beitrag No.4, eingetragen 2020-07-14 21:29

Ich habe die Aufgabe also übersehen, danke.

Was mir spontan nur einfällt, ist zu versuchen, den Beweis von 2.4/17 (also dass $K[X_1,\dotsc,X_n]$ regulär ist, wenn $K$ ein Körper ist) zu verallgemeinern. Man kann sich auf maximale Ideale beschränken. Ich habe es mir aber nicht genauer angesehen.


Saki17
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Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-14 22:35

Die Aussage "$R$ regulär $\Rightarrow$ $R[t]$ regulär" (für noetherschen Ring $R$) habe ich mal als Übungsaufgabe bearbeitet. Hier nenne ich (wie üblich) einen noetherschen Ring $R$ regulär, wenn die Lokalisierung $R_p$ ein regulärer lokaler Ring ist für alle $p\in Spec(R)$. Mit dieser Definition und der (nichttrivialen) Behauptung, dass Regularität stabil unter Lokalisierung nach Primidealen ist, kann man die obige Aussage zeigen.

Da man die Regularität von Ringen mit gewisser homologischer Invariante (globaler Dimension z.B.) charakterisieren kann, würde ich vermuten, dass es einen (eleganten) homologischen Beweis geben sollte.

 





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Druckdatum: 2020-09-19 04:57