Forum:  Konvergenz
Thema: Gleichmäßige Konvergenz in metrischen Räumen
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Gast123
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Themenstart: 2020-07-11 12:37

Hallo,

ich habe eine Frage zu gleichmäßiger Konvergenz in metrischen Räumen.
Die allgemeine Definition dazu lautet:

Seien X, Y metrische Räume $f_n, f: X \rightarrow Y$. Dann konvergiert $(f_n)$ gleichmäßig gegen f, wenn gilt:

$$\forall \varepsilon > 0 \exists n_0 \in \mathbb{N} \forall n\geq n_0 \forall x\in X: d_Y(f_n(x), f(x)) < \varepsilon$$
Nun gilt aber für den Vektorraum der beschränkten Funktionen $B([a,b], \mathbb{R})$ zusammen mit der Supremumsnorm, folgende Definition für gleichmäßige Konvergenz:

$$\forall \varepsilon > 0 \exists n_0 \in \mathbb{N} \forall n\geq n_0: ||f_n(x) - f(x))||_{\infty} < \varepsilon$$
Dabei gilt ja dass $||f_n(x) - f(x))||_{\infty} = \sup\{|f_n(x) - f(x))|: x\in X\}$

Im Falle, dass $X, Y = \mathbb{R}$ und die Metrik die normale Betragsfunktion ist, verstehe ich die Äquivalenz der beiden Definitionen. Denn dann gilt dass, $"\forall x \in X: |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon"$ äquivalent ist zu $" \sup|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon"$.

Im allgemeinen metrischen Fall und der von der Supremumsnorm induzierten Metrik gibt es für mich allerdings eine Ungereimtheit und zwar:

Die von der Supremumsnorm induzierte Metrik ist $d_Y(f_n, f)=||f_n-f||_{\infty} = \sup\{|f_n(x) - f(x)|\}$. Wenn ich das also in obige Definition für gleichmäßige Konvergenz einsetzte erhalte ich:
$$\forall \varepsilon > 0 \exists n_0 \in \mathbb{N} \forall n\geq n_0 \forall x\in X: d_Y(f_n(x), f(x))= ||f_n - f||_{\infty} < \varepsilon$$
Dann gibt es hier aber einmal den Quantor $"\forall x\in X"$ zu viel! Also sprich, bei der Definition mit der Supremumsnorm sollte dieser Quantor ja gerade nicht vorkommen.

Was ist hier falsch in meiner Denkweise?


zippy
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-11 12:58

2020-07-11 12:37 - Gast123 im Themenstart schreibt:
Was ist hier falsch in meiner Denkweise?

Du wirfst Elemente $\in Y$ und Funktionen $X\to Y$ durcheinander.

2020-07-11 12:37 - Gast123 im Themenstart schreibt:
Die von der Supremumsnorm induzierte Metrik ist $d_Y(f_n, f)=||f_n-f||_{\infty} = \sup\{|f_n(x) - f(x)|\}$.

Richtig ist:$$d_{\color{red}\infty}(f_n, f)=\|f_n-f\|_\infty = \sup\{\color{red}\|f_n(x) - f(x)\color{red}\|_{\color{red}Y}\}
$$Genau wie im Fall $Y=\mathbb R$ hast du also entweder die Supremumsnorm und kein $x$ oder die Norm auf $Y$ (im Falle von $Y=\mathbb R$ also den Betrag) und ein $x$.


PS  In $\TeX$ schreibt man eine Norm als "\|", nicht als "||".


Gast123
Aktiv
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-11 13:25

Hallo zippy,

danke für deine Antwort.
1.) Heisst das, dass die zwei möglichen äquivalenten Definitionen lauten:

$$\forall \varepsilon > 0 \exists n_0 \in \mathbb{N} \forall n\geq n_0 \forall x\in X: d_Y(f_n(x), f(x)) < \varepsilon$$
und

$$\forall \varepsilon > 0 \exists n_0 \in \mathbb{N} \forall n\geq n_0: d_{\infty}(f_n(x), f(x)) < \varepsilon$$
2.) Warum ist in diesem Fall denn $d_Y$ nicht die von der Supremumsnorm induzierte Metrik? Ich hätte gedacht, dass die Norm von $B([a,b], \mathbb{R})$ (also die Supremumsnorm) auch die Metriken auf X und Y induziert (d.h. hier X=[a,b], Y=$\mathbb{R})$

3.) Ist die Definition mit Hilfe der Supremumsnorm nur dann zur Definition der gleichmäßigen Konvergenz äquivalent, im Falle von (beschränkten) reellwertigen Funktionen, also Funktionen für die $X \subseteq \mathbb{R}$ und $Y \subseteq \mathbb{R}$? Oder gilt das auch für ganz allgemeine metrische Räume X, Y?


zippy
Senior
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-11 13:47

2020-07-11 13:25 - Gast123 in Beitrag No. 2 schreibt:
$$\forall \varepsilon > 0 \exists n_0 \in \mathbb{N} \forall n\geq n_0: d_{\infty}(f_n(x), f(x)) < \varepsilon$$

Die Supremumsnorm bezieht sich auf die Funktionen $f_n$ und $f$, nicht auf die Funktionswerte. Also:$$\forall \varepsilon > 0 \exists n_0 \in \mathbb{N} \forall n\geq n_0: d_{\infty}(f_n, f) < \varepsilon$$
2020-07-11 13:25 - Gast123 in Beitrag No. 2 schreibt:
2.) Warum ist in diesem Fall denn $d_Y$ nicht die von der Supremumsnorm induzierte Metrik?

$Y$ ist irgendein Raum mit irgendeiner Norm $\|\cdot\|_Y$. Diese Norm induziert dann die Supremumsnorm auf $B(X,Y)$, dem Raum der beschränkten Funktionen $X\to Y$:$$ \|f\|_\infty = \sup\bigl\{\|f(x)\|_Y:x\in X\bigr\}
$$
2020-07-11 13:25 - Gast123 in Beitrag No. 2 schreibt:
Ich hätte gedacht, dass die Norm von $B([a,b], \mathbb{R})$ (also die Supremumsnorm) auch die Metriken auf X und Y induziert (d.h. hier X=[a,b], Y=$\mathbb{R})$

Die Metrik auf $X$ spielt hier überhaupt keine Rolle (du wirst hier nirgendwo ein $\|\cdot\|_X$ finden), und die Norm auf $Y$ induziert die Supremumsnorm, nicht umgekehrt.

2020-07-11 13:25 - Gast123 in Beitrag No. 2 schreibt:
3.) Ist die Definition mit Hilfe der Supremumsnorm nur dann zur Definition der gleichmäßigen Konvergenz äquivalent, im Falle von (beschränkten) reellwertigen Funktionen, also Funktionen für die $X \subseteq \mathbb{R}$ und $Y \subseteq \mathbb{R}$? Oder gilt das auch für ganz allgemeine metrische Räume X, Y?

Das gilt allgemein, aber wenn du mit einer Supremumsnorm arbeiten willst, muss $Y$ auch ein normierter Raum sein, nicht nur ein metrischer Raum.

$X$ dagegen muss nicht mal ein metrischer Raum sein, sondern nur irgendeine Menge.


Gast123
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-11 16:27

Hallo zippy,

alles klar, danke für deine Antworten!




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Druckdatum: 2020-09-20 02:41