Forum:  Zahlentheorie
Thema: Anzahl der Lücken in treppenförmigem Zahlenschema
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Wario
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Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 308
Themenstart: 2020-09-17 14:24

Ich habe ein treppenförmiges Schema der Zahlen 0,1,...
Im Beispiel 0,1,...,27:
| 0 | (1) | (2) | (3) | (4) | (5) | (6) |
| 1 |  2  | (1) | (2) | (3) | (4) | (5) |
| 3 |  4  |  5  | (1) | (2) | (3) | (4) |
| 6 |  7  |  8  |  9  | (1) | (2) | (3) |
| 10| 11  | 12  | 13  | 14  | (1) | (2) |
| 15| 16  | 17  | 18  | 19  | 20  | (1) |
| 21| 22  | 23  | 24  | 25  | 26  |  27 |

Wie kann ich von der Endzahl (im Beispiel 27) ausgehend auf die Anzahl der Lücken schließen, die ich je Zeile brauche, so dass das gezeigte Quadrat entsteht?
Also:
6 in 1. Zeile.
5 in 2. Zeile.
...

sofern 27 die Endzahl ist!

Ist wahrscheinlich nicht so schwer, aber ich komme nicht drauf.
Die noch besetzten Zeilen-Endzahlen (0,2,5,9,...) gehorchen der Folge n·(n+3)/2.



tactac
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Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 1952
Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-17 14:56
\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Wichtig ist ja nur, von 27 nach 6 zu kommen, von 20 nach 5, von 35 nach 7 etc.

Das geht mit $k \mapsto \min \{n \mid n(n+3)/2 \geq k\}$.
Da für natürliche $n$, $n(n+3)/2$ monoton wächst, kann man die Funktion auch schnell per Bisektion auswerten. Ansonsten ist es eben irgendein Ausdruck mit $\sqrt ?$ und ggf. Rundungen.  

Z.B. $n = \sqrt{2k+2{,}25}-1{,}5$ o.ä.
\(\endgroup\)

sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 282
Beitrag No.2, eingetragen 2020-09-17 15:00

Hallo Wario,

ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich Deine Frage richtig verstanden habe, aber eigentlich hast Du sie ja fast schon beantwortet.

Gegeben sei die Endzahl \(k\in\mathbb{N}_0\). Dann suchst Du das eindeutige (sofern es existiert) \(n\in\mathbb{N}_0\) mit \(k=\frac{n(n+3)}{2}\). Das Quadrat hat dann \(n+1\) Zeilen bzw. Spalten.

In der \(j\)-ten Zeile (\(j\in\{1,\ldots,n+1\}\)) gibt es dann \(n+1-j\) Lücken.

Im Beispiel ist \(k=27\) und \(n=6\).

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


haegar90
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Dabei seit: 18.03.2019
Mitteilungen: 547
Herkunft: Gog
Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-17 18:55

Sh. dazu auch hier


Wario
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Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 308
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-19 22:20

2020-09-17 14:24 - Wario im Themenstart schreibt:
| 0 | (1) | (2) | (3) | (4) | (5) | (6) |
| 1 |  2  | (1) | (2) | (3) | (4) | (5) |
| 3 |  4  |  5  | (1) | (2) | (3) | (4) |
| 6 |  7  |  8  |  9  | (1) | (2) | (3) |
| 10| 11  | 12  | 13  | 14  | (1) | (2) |
| 15| 16  | 17  | 18  | 19  | 20  | (1) |
| 21| 22  | 23  | 24  | 25  | 26  |  27 |


Das funktioniert an sich so:

Die Anzahl der treppenbildenden Elemente gehorcht der Folge
$1, 3, 6, 10, 15, 21, 28,\dots = \frac{n(n+1)}{2}$.

Ist $N= \frac{n(n+1)}{2}$ diese Anzahl, so hat das quadratische Gesamtschema einschließlich Lücken $n=\frac{\sqrt{8N+1}-1}{2}$ Zeilen bzw. Spalten, als positive Lösung der quadratischen Gleichung.

Also haben die Zeilen, beginnend mit der 1. Zeile, die mit $1,2,3,\dots,n$ Elementen befüllt sind,  der Reihe nach
$n-1, n-2,\dots, n-n$
Lücken.




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Druckdatum: 2021-01-26 21:51