Forum:  Holomorphie
Thema: Ein Problem der komplexen Differenzierbarkeit
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sulky
Aktiv
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1501
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Themenstart: 2020-09-20 18:38

Hallo Zusammen,¨

Sei $\Omega \in \mathbb{C}$ zusammenhängend und nicht leer.

1. Sei $\lambda \in \mathbb{C}$\ $\Omega $ Angenommen es existiert $k\in H(\Omega)$ sodass $k(z)^2=\frac{1}{\lambda-z}$ für alle $z\in \Omega$
Zeige dass $k'=\frac{2}{2(\lambda-z)}$


Hier verhält sich die Ableitung im komplexen anders als gewohnt.
Leider weiss ich nicht wie und wäre froh um einen Tipp


ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2980
Aus: der Nähe von Schwerin
Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-20 18:47

Hallo,

du kannst ganz normal ableiten:
\[
\frac{d}{dz}(k(z)^2)=2k(z)k'(z)=\frac{d}{dz}\big((\lambda-z)^{-1}\big)
\]
Hast du dich vertippt?


sulky
Aktiv
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1501
Aus:
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-20 19:29

Hallo Ochen,


Schon möglich, dass mir jetzt der Kopf ein wenig raucht.

Ausgehend von $k^2=\frac{1}{\lambda-z}$

folgt durch ableiten:

$2k\cdot k'=\frac{-1}{(\lambda-z)^2}$ und

$k'=\frac{-1}{2k(\lambda-z)^2}$

Und was mache ich nun mit $k$? Wenn ich $k=\frac{1}{\sqrt{\lambda-z}}$
setze, dann erhalte ich nicht das gesuchte Resultat.

Dasselbe passiert wenn ich sogleich sage:
$k=\frac{1}{\sqrt{\lambda-z}}$.
Nach z ableiten ergibt:

$k'=\frac{\frac{1}{2\sqrt{\lambda-z}}}{\lambda-z}$


Irgendetwas habe ich falsch verstanden. Auch ist mir unklar ob man von $k^2=\frac{1}{\lambda-z}$ einfach auf $k=\frac{1}{\sqrt{\lambda-z}}$ schliessen kann.
Es ist mir bekannt dass man bei den Wurzeln von komplexen Zahlen einiges beachten muss. Ich bin damit nicht so vertraut.
Aber es verbirgt sich ja was dahinter dass der Aufgabensteller $k^2$ anstatt $k$ angibt




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Druckdatum: 2020-11-25 14:40