Forum:  Mengentheoretische Topologie
Thema: Bilder offener Mengen
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matheg
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Dabei seit: 21.11.2005
Mitteilungen: 381
Aus: Kassel
Themenstart: 2006-05-12 20:47

Hallo!

Ich hätte mal eine Frage zum Thema Bilder stetiger Abbildugen.
Wir hatten in der Vorlesung einen Satz der beagte, dass Urbillder offener Mengen unter stetigen Abbildungen, wieder offen sind, und ich würde gerne wissen ob auch die Umkherung gilt: sind Bilder offener Mengen unter stetigen Abbildungen offen? und warum steht dazu nichts in Lehrbüchern, es steht nur der obengennante Satz.

Gruss

matheg
[ Nachricht wurde editiert von matheg am 12.05.2006 20:57:00 ]


micro
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Dabei seit: 08.12.2003
Mitteilungen: 602
Aus: Karlsruhe
Beitrag No.1, eingetragen 2006-05-12 20:50

Hey matheg.

  Nein, das stimmt auch nicht. Abbildungen, für die das gilt, nennt man offen (resp. abgeschlossen).

  Betrachte z.B den Sinus, der ist wohl wunderbar stetig auf (-10,10), aber das Bild ist [-1,1], also keineswegs offen.

  µ

[ Nachricht wurde editiert von micro am 12.05.2006 20:51:37 ]


matheg
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Dabei seit: 21.11.2005
Mitteilungen: 381
Aus: Kassel
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2006-05-12 20:55

Hi! Ok ich sehe es. Danke!

Gruss

matheg


Phoensie
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Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 246
Aus: Muri AG, Schweiz
Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-20 00:14
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Kann man zusätzliche Voraussetzungen an eine stetige Abbildung \(f\) stellen, damit Bilder offener Mengen unter \(f\) offen sind? Wenn ja, welche?
\(\endgroup\)

sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 207
Aus:
Beitrag No.4, eingetragen 2020-09-20 01:29

Hallo Phoensie,

es gibt eine Reihe von zusätzlichen Voraussetzungen unter denen eine stetige Funktion auch offen ist.

Schau doch einfach mal bei Wikipedia: de.wikipedia.org/wiki/Offene_Abbildung

Hinreichende Bedingungen sind z.B. die Injektivität, die Holomorphie oder die Linearität+Surjektivität (je nachdem zwischen welchen topologischen Räumen die Abbildung definiert ist).

Dies besagen die folgenden bekannten nichttrivialen Sätze:

de.wikipedia.org/wiki/Jordan-Brouwer-Zerlegungssatz#Satz_von_der_Invarianz_offener_Mengen

de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_der_offenen_Abbildung_(Funktionentheorie)

de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_der_offenen_Abbildung_(Funktionalanalysis)





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Druckdatum: 2020-11-25 14:42