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Antworte auf:  Kontraktion und Mittelwertsatz von HDMIii
Forum:  Differentialrechnung in IR, moderiert von: Curufin epsilonkugel

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Erledigt J


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Themenübersicht
HDMIii
Aktiv
Dabei seit: 21.03.2017
Mitteilungen: 143
Herkunft:
 Beitrag No.9, eingetragen 2019-05-15 15:06    [Diesen Beitrag zitieren]

Alles klar

Danke!!! :)


Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 631
Herkunft:
 Beitrag No.8, eingetragen 2019-05-15 14:53    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}\)
Richtig. Und $L<1$ gilt ja laut Voraussetzung.
\(\endgroup\)

HDMIii
Aktiv
Dabei seit: 21.03.2017
Mitteilungen: 143
Herkunft:
 Beitrag No.7, eingetragen 2019-05-15 14:52    [Diesen Beitrag zitieren]

Achso,
im Beweis habe ich gezeigt, dass

|p(x)-p(y)|<=L*|x-y| ist.

D.h. für alle L<1 muss |x-y| größer sein als |p(x)-p(y)| damit die bewiesene Gleichung erfüllt ist.
Das bedeutet nicht anderes, dass für L<1 p kontraktiv ist.

Richtig?


Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 631
Herkunft:
 Beitrag No.6, eingetragen 2019-05-15 14:18    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}\)
Hallo HDMIii,

das ist hier keine Folgerung, sondern eine Voraussetzung. Die Voraussetzung ist, dass der Betrag der Ableitung kleiner als 1 ist. Der größte Betrag wird dann $L$ benannt, und es wird bewiesen, dass $\Phi$ mit diesem $L$ den Bedingungen einer Kontraktion genügt.
\(\endgroup\)

HDMIii
Aktiv
Dabei seit: 21.03.2017
Mitteilungen: 143
Herkunft:
 Beitrag No.5, eingetragen 2019-05-15 13:36    [Diesen Beitrag zitieren]

Hi, ich habe die dazu passende Stelle im Skript gefunden.

Die ersten 3 Ausdrücke "...=...<=..." sind mir klar. Nur weiß ich nicht, warum das max(...)= L ist und warum daraus folgen soll, dass L<1



Kezer
Aktiv
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 385
Herkunft:
 Beitrag No.4, eingetragen 2019-05-10 10:48    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

die Idee ist eben, dass bei Kontraktionen (oder allgemein Lipschitz Stetigkeit) die Steigung nicht zu groß wird, d.h. Sekantensteigung wird nicht zu groß.
Doch Sekantensteigungen haben was mit Tangentensteigungen zu tun (das sind ja schließlich die lokalen Steigungen in jedem Punkt) und ein solcher Zusammenhang wird durch den Mittelwertsatz beschrieben.

(Vercassivelaunos formalisiert diese Intuition.)


HDMIii
Aktiv
Dabei seit: 21.03.2017
Mitteilungen: 143
Herkunft:
 Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-10 07:45    [Diesen Beitrag zitieren]

Hi, danke für die Antworten.

Ja, die Antwort von Verca geht glaube och in die richtige Richtung.
Ziel war es die Lipschitz-Konstanten zu bestimmen und diese scheint ja (wenn man die beiden Formeln miteinander vergleicht) etwas mit der Ableitung der Funktion zu tun zu haben.


Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 631
Herkunft:
 Beitrag No.2, eingetragen 2019-05-10 00:00    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align}#1\end{align}}\)
Hallo HDMIii,

die beiden haben insofern etwas miteinander zu tun, dass eine stetig differenzierbare Kontraktion $\varphi:(a,b)\to(a,b)$ dank des Mittelwertsatzes eine beschränkte Ableitung hat. Nämlich ist $\vert\varphi'(x)\vert\leq1$ für alle $x\in(a,b)$.
Wäre das nämlich nicht so, also gäbe es einen Punkt $\xi\in(a,b)$ mit $\vert\varphi'(\xi)\vert>1$, dann findet sich wegen der Stetigkeit von $\varphi'$ eine $\varepsilon$-Umgebung $(\xi-\varepsilon,\xi+\varepsilon)$ von $\xi$, in der $\vert\varphi'(x)\vert>1$. Dann müsste laut Mittelwertsatz $\frac{\vert \varphi(\xi+\varepsilon)-\varphi(\xi-\varepsilon)\vert}{\vert \xi+\varepsilon-(\xi-\varepsilon)\vert}>1$ sein. Dann wäre aber $\varphi$ keine Kontraktion.
\(\endgroup\)

Ex_Senior
 Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-09 23:08    [Diesen Beitrag zitieren]

Zunächst haben diese nichts miteinander zu tun. Habt ihr zufällig über das Newton-Verfahren gesprochen?


HDMIii
Aktiv
Dabei seit: 21.03.2017
Mitteilungen: 143
Herkunft:
 Themenstart: 2019-05-09 22:44    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

unser Prof ist heute bei dem Thema Kontraktion kurz auf den Mittelwertsatz eingegangen.

Leider habe ich den Zusammenhang nicht ganz verstanden.

Die Kontraktion sagt doch, dass der Abstand zweier Funktionswerte kleiner gleich dem Abstand der Bildwerte ist.

Der Mittelwertsatz gibt doch an, dass zwischen 2 Bildwerten mindestens eine Tangente existiert die die gleiche Steigung hat als die Sekante durch die 2 Funktionswerte an den Bildwerten.

Wie soll das nun zusammen hängen?.


 
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