Antworte auf:  Bilder offener Mengen von matheg
Forum:  Mengentheoretische Topologie, moderiert von: Gockel Dune

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sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 283
 Beitrag No.4, eingetragen 2020-09-20 01:29    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Phoensie,

es gibt eine Reihe von zusätzlichen Voraussetzungen unter denen eine stetige Funktion auch offen ist.

Schau doch einfach mal bei Wikipedia: de.wikipedia.org/wiki/Offene_Abbildung

Hinreichende Bedingungen sind z.B. die Injektivität, die Holomorphie oder die Linearität+Surjektivität (je nachdem zwischen welchen topologischen Räumen die Abbildung definiert ist).

Dies besagen die folgenden bekannten nichttrivialen Sätze:

de.wikipedia.org/wiki/Jordan-Brouwer-Zerlegungssatz#Satz_von_der_Invarianz_offener_Mengen

de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_der_offenen_Abbildung_(Funktionentheorie)

de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_der_offenen_Abbildung_(Funktionalanalysis)



Phoensie
Aktiv
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 273
Herkunft: Muri AG, Schweiz

 Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-20 00:14    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Kann man zusätzliche Voraussetzungen an eine stetige Abbildung \(f\) stellen, damit Bilder offener Mengen unter \(f\) offen sind? Wenn ja, welche?
\(\endgroup\)

matheg
Aktiv
Dabei seit: 21.11.2005
Mitteilungen: 381
Herkunft: Kassel

 Beitrag No.2, eingetragen 2006-05-12 20:55    [Diesen Beitrag zitieren]

Hi! Ok ich sehe es. Danke!

Gruss

matheg


micro
Aktiv
Dabei seit: 08.12.2003
Mitteilungen: 602
Herkunft: Karlsruhe

 Beitrag No.1, eingetragen 2006-05-12 20:50    [Diesen Beitrag zitieren]

Hey matheg.

  Nein, das stimmt auch nicht. Abbildungen, für die das gilt, nennt man offen (resp. abgeschlossen).

  Betrachte z.B den Sinus, der ist wohl wunderbar stetig auf (-10,10), aber das Bild ist [-1,1], also keineswegs offen.

  µ

-----------------

[ Nachricht wurde editiert von micro am 12.05.2006 20:51:37 ]


matheg
Aktiv
Dabei seit: 21.11.2005
Mitteilungen: 381
Herkunft: Kassel

 Themenstart: 2006-05-12 20:47    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo!

Ich hätte mal eine Frage zum Thema Bilder stetiger Abbildugen.
Wir hatten in der Vorlesung einen Satz der beagte, dass Urbillder offener Mengen unter stetigen Abbildungen, wieder offen sind, und ich würde gerne wissen ob auch die Umkherung gilt: sind Bilder offener Mengen unter stetigen Abbildungen offen? und warum steht dazu nichts in Lehrbüchern, es steht nur der obengennante Satz.

Gruss

matheg
[ Nachricht wurde editiert von matheg am 12.05.2006 20:57:00 ]


 
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