The Rising Sea - Foundations of Algebraic Geometry

Vakil, Ravi

Hoffentlich wird dieses Buch allmählich das legendäre Buch von Hartshorne zur algebraischen Geometrie ablösen. Vakils Buch ist aus mehreren Gründen eines der besten Mathebücher, die ich bisher gelesen habe. Das Buch ist eine erste Einführung in die moderne algebraische Geometrie. Es beginnt mit zwei ausführlichen Kapiteln zur Kategorientheorie und Garbentheorie. Danach gibt er erste Eigenschaften von Schemata und bespricht u.a. die Dimensionstheorie (Kapitel 11) und Glattheit (Kapitel 12) relativ genau, ohne Kählerdifferentiale $\Omega_{X/Y}$ zu benutzen. Anschließend werden quasikohärente Garben eingeführt, sodass ein Fokus nun auf Geradenbündel und Divisoren gelegt wird. Garbenkohomologie $H^{\bullet}(X,\mathcal{F})$ wird in Kapitel 18 zunächst down-to-earth mit Čech Kohomologie erklärt bis er später in Kapitel 23 nochmal darauf mit derivierten Funktoren $L_i F, R^i F$ zurückkommt. Glattheit wird ebenso nochmal aufgegriffen (Kapitel 21, 25) und detaillierter beschrieben, zumal nun die quasikohärente Garbe der Kählerdifferentiale $\Omega_{X/Y}$ zur Verfügung steht. In den späten Kapiteln werden weitere essentielle Teile der algebraischen Geometrie erklärt, Beispiele sind Flachheit (Kapitel 24), Basiswechsel (Kapitel 28), Zariskis Hauptsatz (Kapitel 29), Serre Dualität (Kapitel 30). Erwähnenswert sind noch seine Kapitel zu assoziierten Punkten (Kapitel 5.5) sowie zum schema-theoretischen Bild und Abschluss (Kapitel 8.3), welche man in dieser Ausführung selten in der Literatur findet. Ein besonders Highlight sind die Teile zu Spektralsequenzen (Kapitel 1.7) und zu Kurven (Kapitel 19). Es gelingt ihm die Furcht von Spektralsequenzen zu nehmen und einfache Anwendungen auf Doppelkomplexen $E^{\bullet, \bullet}$ zu erklären. Damit beweist er Zusammenhänge aus der homologischen Algebra in Kapitel 23 und 30. Im Kapitel zu Kurven schafft er es große Teile der Theorie zu bündeln und zu veranschaulichen. Hier gibt er zahlreiche Beispiele (Genus 0, 1, 2, 3, 4, 5 Kurven) und schafft es erste Anwendungen von der Divisortheorie (Kapitel 14) und von Morphismen zu projektiven Räumen (Kapitel 16.4) zu geben. -------------------------------------------------------- Neben der Themenauswahl gefällt mir besonders Vakils Philosophie in dem Buch. Vakil erklärt, wieso die Definition ist und nicht was die Definition ist, d.h. er legt viel Wert darauf die Motivation einer Definition zu erläutern und zahlreiche Beispiele zu illustrieren. Vakil gibt die "richtigen" Definitionen. Andere Bücher geben oft Definitionen, mit denen man nur schwierig umgehen kann. Mit Vakils Definitionen kann man dahingegen meistens gut arbeiten. Beispielsweise wird eine abgeschlossene Einbettung/Immersion (Vakil erklärt auch, wieso "Immersion" nicht der "richtige" Name ist) oft ein topologische abgeschlossene Einbettung $f:X \to Y$ mit einem Epimorphismus $f^{\#} : \mathcal{O}_Y \to f_* \mathcal{O}_X$ auf Garben. Insbesondere für Anfänger ist es aber schwierig mit dieser Definition umzugehen. Vakil gibt die äquivalente Definition, dass $f$ affin-lokal zu surjektiven Morphismen auf Ringen korrespondiert, was meistens viel handlicher ist (Kapitel 8). Vakil gibt wirklich die "richtigen" Definitionen. Autoren wie Hartshorne geben Definitionen, die von Grothendiecks Auslegung in EGA abweichen, z.B. von quasi-endlichen oder projektiven Morphismen. Diese sind aber heuristisch falsch, so sind Hartshornes quasi-endliche Morphismen nicht stabil unter Basiswechsel. Vakil betont hingegen, dass vernünftige Morphismenklassen diese Eigenschaft erfüllen sollten (Kapitel 7). Vakil gibt sich Mühe genaue Voraussetzungen zu beschreiben. Oft sind in ersten Einführungen zur algebraischen Geometrie alle Schemata als lokal Noethersch vorausgesetzt, weil es eine schwache Einschränkung ist und man öfter diese technische Bedingung benötigt. Vakil ist expliziter und gibt an welche Endlichkeitsbedingung wann nötig ist. So unterscheidet er anfangs auch zwischen endlich erzeugten, endlich präsentierten und kohärenten Moduln, welche im Noetherschen Fall alle zusammenfallen (Kapitel 13.6). Er macht das, damit der Leser ein Gefühl bekommt, wann man eine Endlichkeitsbedingung benötigt und welchen Teil man genau benötigt. Vakil beweist kaum etwas selbst, sondern überlässt fast alle Aussagen als Übungsaufgabe. Das mag sich zuerst skandalös anhören, hilft aber dem Studierenden die Aussage wirklich zu verstehen bevor man fortfährt. Dabei sind die Aufgaben nicht willkürlich gestellt, sondern genau so, dass der Leser das Gefühl hat, die Aufgabe ohne einem allzu großen Aufwand lösen zu können. Oft werden lange Hinweise, die sich teilweise über 5 Zeilen erstrecken, gegeben. Letztendlich gibt er hier genau so viele Details wie andere Mathebücher (z.B. Hartshorne). Während also andere Autoren schreiben "aus x folgt y" schreibt Vakil "Hinweis: Nutze x, um zu sehen, dass y gilt.". Anstatt zu verzweifeln, dass man einen Beweis nicht nachvollziehen kann, ist man bei Vakil stolz darauf, eine weitere Aufgabe gelöst zu haben, und denkt aktiver mit. Dass Vakils Buch so durchdacht ist, verwundert nicht. Auf seinem Blog hatte er zu jedem Kapitel seine Gedanken geteilt und der Community nach ihrer Meinung gefragt. Geometer wie Brian Conrad, David Speyer, Charles Staats haben zur Diskussion beigetragen und viel Feedback gegeben. Noch heute (23.10.2021) editiert Vakil sein Buch und versucht es weiter zu verbessern. Wenn man anständig die Grothendieck'sche algebraische Geometrie lernen möchte, dann sollte man unbedingt zu Vakils Rising Sea greifen.

Hinzugefügt am: 2021-10-23
Kritiker: Kezer
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