The Art and Craft of Problem Solving

Zeitz, Paul

BuchcoverMathematik ist wirklich eine Kunst und nicht bloß stupides Rechnen, da hat der Autor allemal Recht. Paul Zeitz legt meisterhaft dar, wie man Mathematik eigentlich betreibt und gibt eine Einführung in das Problemlösen mit einem Fokus auf die Wettbewerbsmathematik. 1 - What This Book Is About and How to Read It 2 - Strategies for Investigating Problems 3 - Tactics for Solving Problems 4 - Three Important Crossover Tactics 5 - Algebra 6 - Combinatorics 7 - Number Theory 8 - Geometry for Americans 9 - Calculus Laut Paul Zeitz wurde das Buch von einem Problemlöse-Seminar an der USF sowie von Trainingsseminaren des amerikanischen IMO-Teams inspiriert. Entsprechend eignet sich das Buch für mathematikbegeisterte Schüler, aber auch für Studenten. Für mich ist es das beste allgemeine Buch in der Wettbewerbsmathematik. Wenn man wirklich alles in diesem Buch gut verstanden hat, dann sollte man es nicht weit vom deutschen IMO-Team haben. In Kapitel 1 erklärt Zeitz den Unterschied einer Übung und eines Problems (Exercise vs Problem in Englischen). Er nennt erste Beispiele, darunter Brain Teasers, und gibt einen klassischen Bergsteigervergleich - deshalb das Titelbild! In Kapitel 2 behandelt Zeitz erste Vorangehensweisen. Bereits die Unterkapiteln sind spannend benannt, so heißt z.B. Kapitel 2.1 "Psychological Strategies". Es geht unter anderem um, das Wünschen, den Blick auf das Große und Ganze zu haben, und "make it easier". In Kapitel 3 geht es um konkrete Strategien: Symmetrie, Extremalprinzip, Schubfachprinzip, Invarianten. Die vier klassischen unabdingbaren Techniken für die Wettbewerbsmathematik. Beispielsweise zeigt Zeitz, wie man zur Lösung des berühmten Problems von Erdős kommt: Jede $(n+1)$-elementige Teilmenge von $\{1,2,\dots,2n \}$ enthält zwei Zahlen, von denen eine die andere teilt. In Kapitel 4 werden kreative Anwendungen der Graphentheorie, komplexen Zahlen und erzeugenden Funktionen gezeigt. In Kapitel 5 geht es um klassische Probleme der Wettbewerbs-Algebra. Es werden also algebraische Manipulationen, Summen, Produkte, Polynome und Ungleichungen behandelt. In Kapitel 6 führt Zeitz die klassische Kombinatorik ein: Zählen, Partitionen, Bijektionen, Inklusion-Exklusion (PIE), Rekursionen. In Kapitel 7 spielen ganze Zahlen eine Rolle, denn es geht um Zahlentheorie: Primzahlen, Modulo-Rechnung, zahlentheoretische Funktionen wie $\varphi, \tau, \mu$, diophantische Gleichungen und Beispiele. In Kapitel 8 geht es schließlich um das letzte der vier großen Themen in der Wettbewerbsmathematik, die Geometrie. Er nennt es Geometrie für Amerikaner, weil Amerikaner laut Zeitz weniger Geometriekenntnisse haben als Osteuropäer und Asiaten. Offenbar kennt Zeitz aber mehr als genug und behandelt klassischen geometrische Objekte, Flächen, Kreise, Kollinearität, Konkurrenz, Phantompunkte sowie geometrische Transformationen. In Kapitel 9 beendet Zeitz das Werk mit einer Einführung in die Analysis: Fundamentalsatz der Differentialrechnung, Konvergenz und Stetigkeit, Differentiation und Integration, Potenzreihen. Viele der genannten Themen mögen auf dem ersten Blick relativ elementar klingen, doch das ist das Schöne an der Mathematik: Selbst leichte Prinzipien wie das Schubfachprinzip können enorme Folgen haben, wenn man sie nur kreativ einsetzt. Gerade davon profitiert schließlich auch die Wettbewerbsmathematik, wo die IMO anspruchsvolle Aufgaben produzieren, die von Schülern gelöst werden können, an denen aber auch professionelle Mathematiker sich die Zähne ausbeißen. Nicht anders ist es in diesem Buch. Die Beispiele sind oft von bekannten Wettbewerben wie die AIME, USAMO, IMO, Putnam, etc. Nicht jede Beispielaufgabe ist furchtbar schwierig, aber selbst banal klingende Kapiteln wie "algebraische Manipulation" umfassen Aufgaben aus der IMO und dem Studentenwettbewerb Putnam. Die meisten von uns können Terme faktorisieren, doch wie findet man die "richtige" Faktorisierung? Die Beispiele sind alle extrem geschickt ausgewählt. Zeitz zeigt mit jeder Aufgabe eine neue Technik und immer ist man erstaunt, was ein leichtes Werkzeug in den richtigen Händen bewirken kann - denn es sind immer Lösungen, von denen man zunächst denkt, dass man selbst nie darauf gekommen wäre. Doch auch dagegen wendet sich Zeitz, denn er erklärt den Weg zur Lösung: welche Routen man einschlagen könnte, welche zielführend erscheinen könnten und wieso. Bis man zum Gipfel des Berges gelangt. Das begeistert mich besonders an diesem Buch und ist wohl ein Teil, worauf ich besonderen Wert bei Büchern lege (wie ihr sicher mitbekommen habt, wenn ihr andere Buchreviews von mir gelesen habt). Mich interessiert nicht nur "was", sondern "wie" und Zeitz erklärt überragend wie man Mathematik betreibt. Als Schüler hatte ich immens von diesem Buch profitiert und konnte erstmal lernen, was es wirklich bedeutet, echte Mathematik zu betreiben. Insbesondere ist es so schön geschrieben, dass es tatsächlich ein Pageturner ist. So habe ich mich in der Schulzeit stets darauf gefreut, endlich weiterlesen zu können... und zugegebenermaßen meine Hausaufgaben vernachlässigt. Doch das war es definitiv wert, ich wäre ohne dieses Buch heute nicht der selbe Mathematiker!

Hinzugefügt am: 2021-11-12
Kritiker: Kezer
Bewertung

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