A Course in Commutative Algebra

Kemper, Gregor

BuchcoverIm Rahmen der kommutativen Algebra Vorlesung an der TUM ist das Buch entstanden. Wer heute an der TUM die Vorlesung Algebra 2 besucht, wird vermutlich nach diesem Buch lernen: eine erste Einführung in die kommutative Algebra. Auch ich habe das Buch so kennengelernt. Part I: The Algebra-Geometry Lexicon 1 Hilbert's Nullstellensatz 2 Noetherian and Artinian Rings 3 The Zariski Topology 4 A Summary of the Lexicon Part II: Dimension 5 Krull Dimension and Transcendence Degree 6 Localization 7 The Principal Ideal Theorem 8 Integral Extensions Part III: Computational Methods 9 Gröbner Bases 10 Fibers and Images of Morphisms Revisited 11 Hilbert Series and Dimension Part IV: Local Rings 12 Dimension Theory 13 Regular Local Rings 14 Rings of Dimension One Es ist keine schlechte Einführung in die kommutative Algebra, allerdings gibt es meiner Meinung nach bessere Texte auf dem Markt. Im Gegensatz zu klassischen Texten wie Atiyah-Macdonald ist das Buch ein bisschen geometrischer, so beginnt es direkt mit Hilberts Nullstellensatz und affinen Varietäten. Das gehört zu den Stärken des Buches. In Teil I werden klassische Begriffe aus der elementaren algebraischen Geometrie behandelt. So lernt der Leser affine Varietäten sowie die $\operatorname{Spec}$ Konstruktion kennen. Ein zentrales Werkzeug ist der Korrespondenzsatz um Ideale von Quotientenringen zu verstehen. Prof. Kemper steigt direkt mit einem verhältnismäßig komplizierten Beweis über algebraische Integritätsbereiche ein, den man auch leichter und intuitiver führen könnte. Dann behandelt er gleich im ersten Kapitel Hilberts Nullstellensatz und führt hier auch ad hoc das Rabinowitsch Spektrum $\operatorname{Spec}_{\mathrm{rab}}$ ein, wie er es nennt. Entscheidend in Teil I ist aber auch die Einführung noetherscher und artinscher Ringe und Moduln. Ich finde es klasse, dass diese zentralen Begriffe so früh behandelt werden. In Teil II wird es abstrakter: es wird die Krulldimension eingeführt, Lokalisierungen behandelt, Nakayamas Lemma sowie der Hauptidealsatz bewiesen und schließlich ganze Ringerweiterungen inklusive Lying Over, Going Up und Noether Normalisierungen besprochen. Hier lernen wir den zweiten Korrespondenzsatz kennen, um Ideale in Lokalisierungen zu verstehen. Dieser Teil ist relativ klassisch, es ein nett, dass ab und zu geometrische Beispiele gegeben werden (z.B. bei der Noether Normalisierung), allerdings können einige Beweise vermutlich einfacher geführt werden. In Teil III behandelt Herr Kemper Methoden aus der Computeralgebra, in der Gröbner Basen eine große Rolle spielen, welche man im Rahmen der kommutativen Algebra lernen kann. Dieses Kapitel kann man jedoch im Großen und Ganzen überspringen, wenn man nicht an die computational Methoden interessiert ist und hauptsächlich reine kommutative Algebra lernen möchte. Doch Herr Kemper arbeitet in der Computeralgebra, also ist es wohl kein Wunder, ein solches Kapitel zu finden. In Teil IV geht es um speziellere Methoden. Zunächst behandelt Herr Kemper assoziiert graduierte Ringe, schließlich reguläre Ringe und dann noch Ringe von Krulldimension $1$. Der Aufbau assoziiert graduierter Ringe war ein wenig wirr, so hatte ich es zumindest vom damaligen Kurs in Erinnerung. Kein schlechtes Buch, allerdings bin ich kein Fan der Themenwahl. Moduln werden nur knapp in Kapitel 2 definiert ohne sie ausführlicher zu besprechen. Mir fehlen da viele Resultate aus der kommutative Algebra, wie beispielsweise freier Moduln oder das Verhalten von Mono- oder Epimorphismen freier Moduln. Auch exakte Sequenzen werden nur in einer Übungsaufgabe kurz eingeführt und kategorientheoretische Methoden finden leider keinen Fuß in diesem Buch. Insgesamt fehlen sogar universelle Eigenschaften komplett, davon ist im gesamten Buch nicht einmal die Rede. Das kann ich nicht nachvollziehen, schließlich sollte jeder Algebraiker mit universellen Eigenschaften umgehen, welche in der Algebra 1 aber noch nicht ausführlich behandelt werden bzw. schlecht verstanden werden. Algebra 2 scheint der richtige Zeitpunkt zu sein, diese Technik zu verstehen. Vor allem fehlt mir auch eine Behandlung des Tensorproduktes, welche in diesem Buch komplett ausgelassen wurde. Das ist sehr schade, denn ich konnte in meinem weiteren Studium durchaus merken, dass ich Lücken in diesen Bereichen hatte. Assoziiert graduierte Ringe finde ich dahingegen in dieser Ausführung in einem ersten Kurs zur kommutativen Algebra unpassend. Das ist etwas, das man ruhig in der Fachliteratur später durchlesen kann, wenn man es benötigt. Mein damaliger Übungsleiter meinte, dass er diese Konstruktion erst 3 mal angetroffen hat: Zum ersten mal, als er die Algebra 2 an der TU besucht hat und dann zwei mal, als er diese Veranstaltung tutoriert hat! Ganz extrem würde ich persönlich da nicht rangehen, doch in dieser Allgemeinheit habe ich die Theorie auch noch nicht benötigt. Ein weiteres Manko ist, dass im Text oft keine Absätze gelassen werden, sodass das Lesen öfter anstrengend als nötig war. Ich habe auch den Eindruck, dass einige Beweise leichter und vor allem intuitiver geführt werden konnten. Als ich nur das Buch gelesen habe, erschienen die Beweise relativ technisch und uninspirierend, während man bei anderen Werken die Motivation viel besser erkennen kann. Die Aufgabenauswahl am Ende jedes Kapitels ist gut: Die Anzahl ist passend und die Aufgaben oft interessant. Doch auch hier gibt es meiner Meinung nach bessere Möglichkeiten. Alles in allem würde man die kommutative Algebra mit diesem Buch schon ausreichend kennenlernen können. Wenn möglich, würde ich jedoch empfehlen ein anderes Werk zu suchen.

Hinzugefügt am: 2021-11-12
Kritiker: Kezer
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