Ausführliche und kommentierte Berechnung der Anzahl der Möglichkeiten und der Wahrscheinlichkeiten beim klassischen Poker "5 aus 52 Karten" ("Five Card Draw"); mit ergänzenden Schaubildern an passender Stelle. Hinweise: i) Klicke auf ▲ , um zur Übersicht zurückzukehren. ii) Betrachtet wird hier nur das klassische Pokerspiel "5 aus 52 Karten", ...

Aus Familienbesitz kenne ich eine mechanische Rechenmaschine vom Typ Triumphator CRN1. Gebaut wurde diese Rechenmaschine in der Zeit um 1960 in der DDR. Ich möchte kurz zeigen, wie man das Ergebnis einer einfachen Multiplikation und einer einfachen Division berechnen kann. > ...

In Algebra-Vorlesungen lernt man den Zerfällungskörper eines Polynoms über einem Körper kennen. Tatsächlich ist dieser Körper nicht eindeutig bestimmt, nur bis auf nicht-eindeutige Isomorphie, und besitzt keine konstruktive Konstruktion. Zerfällungsringe bzw. Zerfällungsalgebren beheben dieses Problem. Sie lassen sich sehr elegant über eine universelle Eigenschaft kennzeichnen, sind a ...

Injektive, surjektive und bijektive Abbildungen sind wichtige Klassen von Abbildungen. Sie werden in diesem Artikel mit der Lösbarkeit von Gleichungen einfach erklärt und mit Hilfe von Bild und Kern charakterisiert. Zum besseren Verständnis werden außerdem sehr viele Beispiele vorgestellt (30 Stück). Anschließend geben wir auch einige Charakterisierungen an, die mit Kürzungs- und Liftun ...

Jedem kommutativen Ring $R$ kann man einen lokalgeringten Raum $\mathrm{Spec}(R)$ zuordnen, das Spektrum von $R$. Die Punkte dieses Raumes sind die Primideale $\mathfrak{p} \subseteq R$, die Strukturgarbe erfüllt $ \mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(R),\mathfrak{p}} = R_{\mathfrak{p}}$. In diesem Artikel werden wir diese Konstruktion auf geringte Räume verallgemeinern. Es handelt sich um eine "topol ...

Das Mathe-Abi Jedes Jahr das Gleiche in vielerlei Hinsicht Vor einigen Wochen stand das Mathe-Abi vor der Tür. Für die Meisten eine reine Qual, vielleicht auch für Dich. Ich möchte dieses Thema auch auf dem Mathe-Planeten ansprechen. Um was geht es? Jedes Jahr ist auch in den Medien zu hören, dass Mathe-Abi sei dieses Jahr schwer gewesen. Dabei gibt es auch noch Abstufungen, die ...

Erst vor wenigen Tagen hat der Postillon über die bizarren Brauchtümer des "offenbar schwer gestörten Ehepaars" Sabrina und Dennis M. aus Kaiserslautern berichtet. Und jetzt sind die beiden Eifallspinsel schon wieder mit einem neuen Ritual aufgefallen: Sie suchen sich ein Hochhaus vor dem Dennis wartet, während Sabrina sich mit einem Korb voll Eier Zugang zum Balkon eines von ihr gew ...

Die Aussage, dass für eine Primzahl $p$ der Binomialkoeffizient $\binom pk$ für $1\leq k \leq p-1$ durch $p$ teilbar ist, ist für die meisten auf dem Matheplaneten wohl nicht neu. Weniger bekannt dürfte sein, wie man für einen beliebigen Binomialkoeffizienten $\binom nk$ effizient herausfinden kann, mit welchem Rest er durch $p$ teilbar ist, oder wie man die größte Potenz von $p$ findet, ...

In diesem kleinen, kurzen Artikel möchte ich eine besondere Form der Fibonacci-Zahlen vorstellen. \[ F_n = \frac{(-i)^{n+1} 2 \sqrt{5}}{5} \sin\bigl(in \ln(i \phi)\bigr), \] wobei \[ \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \] (goldener Schnitt), \[ i^2 = -1 \] (imaginäre Einheit). Voraussetzungen: – Grundkenntnisse Fibonacci-Zahlen (Binet's Form) – Komplexe Zahlen – Bez ...

Hamilton's Traum - dreidimensionale komplexe Zahlen Wir definieren "trikomplexe" Zahlen \(t\) der Form \(t = a + ib + jc\) mit reellen \(a,b,c\) und hyperkomplexen Einheiten \(i\) und \(j\) mit gewissen Eigenschaften. Wir diskutieren grundlegende Operationen (Addition/Subtraktion, Multiplikation/Division), Eigenschaften, etwa Kommutativität und Assoziativität. Ferner definieren wir exp( ...

In diesem Artikel werden aperiodische Kachelsätze aus je zwei Kacheln vorgestellt, die auf der bekannten Penrose-Rauten-Parkettierung basieren und bisher nicht veröffentlicht oder im Internet erwähnt wurden. Es wird auch eine Näherungslösung für eine sogenannte aperiodische Monokachel vorgestellt, deren Parkett fünf Arten von Lücken besitzt. Sätze von Protokacheln, welche d ...

In diesem Artikel möchte ich ein Verfahren vorstellen, welches mathematisch gesehen gewisse Ästhetik hat. Gegeben seien zwei Polynome \( a(x)=\sum \limits_{i=0}^{n} a_i x^i \) und \( b(x)=b_1 x + b_0\). Dann gibt es bekanntlich zwei eindeutige Polynome \( q(x)=\sum \limits_{i=0}^{n-1} q_i x^i \) und \(r(x) = r\), s. d. \[a(x) = q(x)b(x) + r(x)\] gilt. Die Koeffizienten \(q_i\) kö ...

Typische Beweismotive Dies ist die Fortsetzung des Artikels Wie man einfache Beweise ohne Mühe finden kann . Dort ging es um einfache Beweise, die sich schon alleine durch eine gute "Buchführung" der Definitionen, Voraussetzungen und Behauptungen hinschreiben lassen. In diesem Teil soll es nun um Beweise gehen, wo mehr Kreativität benötigt wird. Dazu stelle ich einige Beweismotive vor und ...

Matrizen lernt man in Vorlesungen zur linearen Algebra üblicherweise als "rechteckige Zahlenschemata" kennen. In diesem Artikel werden Matrizen hingegen ausgehend von der Bestimmung der linearen Abbildungen zwischen direkten Summen von Vektorräumen hergeleitet. Die Matrixmultiplikation entsteht in diesem Kontext aus der Komposition von linearen Abbildungen. Damit bekommt man ein gutes Vers ...

Mit Hüllenoperatoren lassen sich verschiedene Begriffe von Erzeugendensystemen (erzeugte Untergruppe, erzeugte $\sigma$-Algebra, konvexe Hülle, erzeugte Topologie, uvm.) und entsprechender abgeschlossener Mengen vereinheitlichen. Wir schauen uns auch die Rekursion an, welche die erzeugte Struktur schrittweise erzeugt. Bei Verknüpfungen unendlicher Stelligkeit wie zum Beispiel $\sigma$-Alg ...

Die nachfolgenden Ideen sind nicht gänzlich neu ich möchte sie aber einmal in einem Artikel zusammenfassen. Ich habe 3 Rot-Isola-Strategien jeweils 10000 mal gegen 3 Blau-Isola-Strategien spielen lassen. Ich sehe Fortschritte in den Strategien, bin aber vom Ziel: "Wer gewinnt Isola Rot oder Blau?" noch einiges entfernt.> ...

In diesem Artikel soll es - anlässlich des Pi-Tags - um einen historischen Meilenstein in der Mathemtatik gehen. Aber "Fehler" und "Archimedes" in einer Überschrift? Wenn jemand 250 v. C. nur mit Stift und Papier die ein oder andere Nachkommastelle von Pi berechnet, können wir dann von "Fehler" reden? Ja! Aber in einem anderen Sinne. Es soll darum gehen ein Gefühl dafür zu bekomme ...

Üblicherweise studiert man universelle Eigenschaften von Objekten innerhalb einer festen Kategorie. Weil aber unter geeigneten Größenannahmen auch Kategorien eine Kategorie bilden (genauer gesagt, eine $2$-Kategorie), kann man auch universelle Eigenschaften von Kategorien selbst untersuchen. Wir beschäftigen uns hier ausschließlich mit kovollständigen Kategorien. Konkret fragen wir uns a ...

Eine beliebte Aufgabe aus der Algebra ist es, den Grad und die Galoisgruppe von Erweiterungen der Form $\IQ(\sqrt{p},\sqrt{q},\dotsc)$ für konkrete Beispiele von Primzahlen $p,q,\dotsc$ zu bestimmen, zum Beispiel von $\IQ(\sqrt{2},\sqrt{3})$. Außerdem soll oftmals ein primitives Element und dessen Minimalpolynom gefunden werden. In diesem Artikel behandeln wir allgemeiner Erweiterungen der F ...

Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz Hallo, in diesem Artikel soll es um folgende Fragestellung(en) gehen. (1) Lässt sich der Sinussatz mit Hilfe des Kosinussatzes beweisen? (2) Lässt sich der Kosinussatz mit Hilfe des Sinussatzes beweisen? (3) Sind beide Sätze sogar äquivalent? Die Antwort: Beide Sätze sind äquivalent. Anmerkung: Wir reden ...