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Mathematik » Didaktik der Mathematik » Additionstheoreme (für Sinus/Kosinus) - Herleitung
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Kein bestimmter Bereich Additionstheoreme (für Sinus/Kosinus) - Herleitung
Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2010-03-28


Hallo!

Aus der Schule kenne ich die Herleitung der Additionstheoreme an folgender Figur, die üblw. direkt am Einheitskreis gezeichnet wird:
Bild
--->  Habt ihr das wohlmöglich auch daran oder ähnlich hergeleitet?

Diese Figur hat natürlich den Vorteil einer rein geometrischen Konstruierung, an der man alles direkt ablesen kann.

Eine sehr viel einfachere Herleitung hab ich hier  gefunden.
Sie bietet sich evtl. eher an für nicht Nicht-LK Schüler oder auch Realschüler.

An einem beliebigen Dreieck unterteilt man einen Winkel wie i.f. Figur:
Bild
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--->  Oder wie leitet ihr das her?

[ Nachricht wurde editiert von cis am 28.03.2010 15:30:35 ]



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owk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2010-03-28


Hallo. Eine Variante davon ist: c = a cos β + b cos α, und mit dem Sinussatz darf man a,b,c durch sin α, sin β, sin γ = sin(α + β) ersetzen. owk



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2010-03-28


2010-03-28 16:12 - owk in Beitrag No. 1 schreibt:
sin γ = sin(α + β) ersetzen. owk

Hier brauchst Du aber  zusätzlich zum Sinussatz fairerweise noch die Eigenschaft der sin-Fkt.
sin(γ) = sin[180° - (α + β)] = sin(α + β)
Oder?

Danke für die Variante!





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owk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2010-03-28


Ja, aber ergibt sich das nicht automatisch, wenn man den Sinus über den Bereich (0°,90°) hinaus ausdehnt (z.B. am Einheitskreis)? owk



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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2010-03-28


Hallo
zur Didaktik:
Die Herleitung über die Fläche ist algebraisch, deshalb mit wenig geometrischer einsicht verbunden. man hat was richtiges ausgerechnet, der lehrer hatte dazu die richtige Idee, Schülerfrage? wie soll man j daruf kommen??
Erste Version, - kommt man auch nicht so leicht drauf, aber wenn man schon hie und da "Zerlegungsbeweise hatte und einfach nur alle Grössen einträgt gibts wenigstens für einige ne chance das zu "sehen"
Was wichtig ist, man sieht direkt, dass niemals sina+sinb=sin(a+b)sein kann! Wie sieht man das bei dir?
bis dann lula




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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2010-03-28


2010-03-28 17:04 - lula in Beitrag No. 4 schreibt:

zur Didaktik:
....Schülerfrage? wie soll man j daruf kommen??

Erste Version,....gibts wenigstens für einige ne chance das zu "sehen"

So kenn ich das auch, daß so ca 1-3 Leute Version 1 sofort einsehen, 5-8 nochmal bei der Nachbereitung, der Rest muß mit dem Ergebnis auskommen....
---> Daher mach ichs an der Herleitung aus, die lediglich bekannte Formeln zur Dreiecksfläche vorraussetzt.
Für das 'von selber draufkommen' bietet m.E. keine der Versionen 1,2 oder 3 an....


2010-03-28 17:04 - lula in Beitrag No. 4 schreibt:
Was wichtig ist, man sieht direkt, dass niemals sina+sinb=sin(a+b)sein kann!

-------> Da wär ich jetzt gar nicht drauf gekommen, das gehört wohl zum Standardfehler a la (A+B)² = A² + B²
Sehen tut mans bei Version 2 entweder erst am Ergebnis oder bereits an der Dreiecksskizze, wenn man sich mal sin(x), sin(y), cos(x), cos(y) alle aufschreibt, was oben mal eingesparrt habe, was man aber für Schüler sicher machen würde....




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Dr_Sonnhard_Graubner
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2010-03-28


Hallo, es gibt noch andere Möglichkeiten diese Sätze herzuleiten.
Viele Grüße,Sonnhard.



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goeba
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2010-03-28


Hallo,

ich kann leider keine praktischen Erfahrungen beisteuern, denn hier in Niedersachsen werden die Additionstheoreme standardmäßig nicht mehr behandelt.

Ist das bei Euch anders?

Nicht, dass ich auch mal was behandeln würde, was nicht Standard ist, aber in diesem Fall scheint es mir nicht unbedingt exemplarisch zu sein.

LG

Andreas



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Dr_Sonnhard_Graubner
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2010-03-28


Hallo, manchmal frage ich mich wirklich, wer diese Pläne in die Welt gesetzt hat.
Viele Grüße,Sonnhard.



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2010-03-28


2010-03-28 21:26 - goeba in Beitrag No. 7 schreibt:
... hier in Niedersachsen werden die Additionstheoreme standardmäßig nicht mehr behandelt.

----> Sehr bedauerlich.

2010-03-28 21:26 - goeba in Beitrag No. 7 schreibt:
....
Nicht, dass ich auch mal was behandeln würde, was nicht Standard ist, aber in diesem Fall scheint es mir nicht unbedingt exemplarisch zu sein.

---> Sobald Du die Ableitung von Sinus/Kosinus  herleiten willst, brauchst Du die Addth! Und Ableitung solcher Funktionen steht doch sicher auf dem Lehrplan....
Ich schätze mal, sowas läuft heute über GTR/CAS....



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goeba
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2010-03-28


Ich mache die Ableitungen trigonometrischer Funktionen grafisch. Es gibt da auch einen schönen "Trick" am Einheitskreis, müsste ich mal aufmalen.

Klar wäre es natürlich wünschenswert, die Additionstheoreme gebührend zu behandeln, und als Schüler habe ich sie natürlich auch kennen gelernt. Nur würde ich selbst auch sagen: Bei den wenigen Mathestunden (hier sind es je nach Schuljahr abwechselnd 3 oder 4 pro Woche) und Abi nach 12 Jahren sind die Additionstheoreme tatsächlich etwas, das auch ich eher weglassen würde.



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2010-03-28


Hehe, ich geh jede Wette ein, in Bayern stehen die Addth noch auf dem Plan.... da soll mal einer fragen, wieso Bavarie bei Pisa Führungspositionen einnimmt....



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goeba
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2010-03-28


Da muss ich Dich enttäuschen:


"Im Gegensatz zu bisher ist auch die Behandlung von senkrechter Projektion, Steigung einer Geraden, Polarkoordinaten und Additionstheoremen vom Lehrplan nicht verpflichtend vorgesehen."

Aus:

www.isb-gym8-lehrplan.de/contentserv/3.1.neu/g8.de/index.php?StoryID=26931

Natürlich kann man es in einer guten Klasse ja trotzdem machen. Dennoch fordert die Verkürzung der Schulzeit auch in Bayern ihren Tribut.



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2010-03-28


Oha...
Meine Güte, wenn man das mal liest: "Der Tangens ist optional" genauso die "Steigung einer Geraden".... Bei letzterem versteh ich hoffentlich etwas falsch... Wie soll das laufen? Wir zeichnen nen paar Geraden hin, sowas wie ne Steigung dabei - drauf gepfiffen....
Naja, is mir lang klar, wohin das führen soll...



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Ueli
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2010-03-28


An dieser Stelle möchte ich auf das legendäre Buch: "Mathematisch für Anfänger" hinweisen. Darin ist auch dieser Artikel
hier enthalten.

Gruss Ueli


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.12 begonnen.]



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2010-03-29


2010-03-28 22:37 - Ueli in Beitrag No. 14 schreibt:
An dieser Stelle möchte ich auf das legendäre Buch: "Mathematisch für Anfänger" hinweisen. Darin ist auch dieser Artikel
hier enthalten.
Gruss Ueli

----> Danke für den Link! Echt schön, mal alles im Überblick stets mit Beweis!



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Dr_Sonnhard_Graubner
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2010-03-29


Hallo, alles schön und gut was hier geschrieben wurde. Ich war mit Schülern aus Sachsen im Landesseminar für Mathematik, die wurden von uns auf die Bundesolympiade in Göttingen vorbereitet, die können natürlich die Additionstheoreme.Die Nichtkenntnis derer würde ja den Zugang zu manchem geometrischen Problem versperren.
Viele Grüße,Sonnhard.



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2010-03-29


Ja, ich mein auch: die Addth. sind der Schlüssel zu praktisch allem, was man mit den trig. Funktionen so macht...
Ein Lehrer sollte sie m.E., wenn er sie schon nicht durchnehmen will, wenigstens als Kopie mit Herleitung wie in #1 oder #0 austeilen.....


______________
2010-03-28 22:28 - goeba in Beitrag No. 12 schreibt:
Natürlich kann man es in einer guten Klasse ja trotzdem machen. Dennoch fordert die Verkürzung der Schulzeit auch in Bayern ihren Tribut.

-------> Mal am Rande:
Also die Aufregung versteh ich grad nicht ganz... Zufällig kenne ich Schüler der Klassen 8, 10, 12... Und da heißt es immer, durch diese Verkürzung hätten sie jetzt 3-4mal  die Woche Mittagsschule.

Also:
5 Werktage, 39 Schulwochen pro Jahr

·1.Modell: 9 Jahre Gym., 6Std./Tag (angenommen)
=> 9 · 39 · 5 · 6 = 10530 Schulstunden

·2. Modell: 8 Jahre Gym., 6Std./Tag + 3mal 2Std. Mittagsschule pro Woche.
=> 8 · 39 · (5·6 + 3·2) = 11232 Schulstunden
-----------> Also 702 Schulstunden mehr als bei Modell 1  confused


[ Nachricht wurde editiert von cis am 29.03.2010 17:08:20 ]



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owk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2010-03-29


2010-03-28 22:14 - goeba in Beitrag No. 10 schreibt:
Ich mache die Ableitungen trigonometrischer Funktionen grafisch. Es gibt da auch einen schönen "Trick" am Einheitskreis, müsste ich mal aufmalen.

Sobald man mit Vektoren rechnen kann, ist folgendes Argument denkbar: Durchläuft man den Einheitskreis mit Geschwindigkeit 1, so ist der Geschwindigkeitsvektor der um 90° gedrehte Ortsvektor. owk



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goeba
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2010-03-29


2010-03-29 20:45 - owk in Beitrag No. 18 schreibt:
2010-03-28 22:14 - goeba in Beitrag No. 10 schreibt:
Ich mache die Ableitungen trigonometrischer Funktionen grafisch. Es gibt da auch einen schönen "Trick" am Einheitskreis, müsste ich mal aufmalen.

Sobald man mit Vektoren rechnen kann, ist folgendes Argument denkbar: Durchläuft man den Einheitskreis mit Geschwindigkeit 1, so ist der Geschwindigkeitsvektor der um 90° gedrehte Ortsvektor. owk
Genau das meinte ich. Mir gelang es nur nicht, das ohne Zeichnung auszudrücken, danke.



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2010-03-30


2010-03-29 21:56 - goeba in Beitrag No. 19 schreibt:
2010-03-29 20:45 - owk in Beitrag No. 18 schreibt:
2010-03-28 22:14 - goeba in Beitrag No. 10 schreibt:
Ich mache die Ableitungen trigonometrischer Funktionen grafisch. Es gibt da auch einen schönen "Trick" am Einheitskreis, müsste ich mal aufmalen.

Sobald man mit Vektoren rechnen kann, ist folgendes Argument denkbar: Durchläuft man den Einheitskreis mit Geschwindigkeit 1, so ist der Geschwindigkeitsvektor der um 90° gedrehte Ortsvektor. owk
Genau das meinte ich. Mir gelang es nur nicht, das ohne Zeichnung auszudrücken, danke.


----> Das ist aber 'für die Schule' auch viel Holz...
Dazu gehört doch der 'Satz, daß betragskonstante Vektoren senkrecht auf ihrer Abl. stehen'; etwa
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Hät ich jez in der Schule noch nicht gewußt...

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[ Nachricht wurde editiert von cis am 30.03.2010 07:57:27 ]



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owk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2010-03-30


'Die Tangente steht senkrecht auf dem Radius'? owk



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goeba
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2010-03-30


Ich habe mal einen neuen Faden für die Ableitungen der trig. Funktionen eröffnet. Auch die Diskussion, ob man die Additionstheoreme überhaupt braucht, gehört streng genommen nicht hierher, auch dafür ein neuer Faden.



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, eingetragen 2010-03-30


Ein Kollege von mir hat dieses schöne Bild verwendet:

Bild

Wally
[ Nachricht wurde editiert von Wally am 30.03.2010 14:06:34 ]



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2010-03-30


2010-03-30 11:30 - Wally in Beitrag No. 23 schreibt:
Ein Kollege von mir hat dieses schöne Bild verwendet:

Danke für diese nette Variante.



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chryso
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, eingetragen 2010-04-01


Hallo Peter!

Eine sehr schöne Methode zum Beweis von sin(x+y) und cos(x+y)!
Sie hat mir so gefallen, dass ich mir gleich eine neue, schöne färbige Zeichnung erstellte. wink

LG chryso

EDIT:
Ich stelle nun doch die von Wally kopierte Zeichnung online, vor allem da man hier besser sieht, dass die beiden oberen Dreiecke nicht gleichschenkelig sind.

Bild

[ Nachricht wurde editiert von chryso am 01.04.2010 19:13:42 ]



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DULL
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, eingetragen 2010-04-12


Ich gebe zu, dass der folgende Weg zu den Additionstheorem ein wenig "von hinten durch die Brust ins Auge" ist, aber vielleicht ist er ja doch nützlich, wenn man am Ende einer Analysiseinheit noch Zeit hat. Er setzt allerdings die Ableitungen von Sinus und Cosinus voraus, die man ja häufig mittels Additionstheorem herleitet. Trotzdem:

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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.27, eingetragen 2010-04-12


Hallo, DULL,

das ist ja nicht gerade Schulmathematik, aber wenn man Sinus und Cosinus durch Reihen definiert, spart man sich so die unübersichtlichen Cauchyprodukte.

Wally
[ Nachricht wurde editiert von Wally am 12.04.2010 22:56:01 ]



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.28, vom Themenstarter, eingetragen 2010-04-14


Hier mal eine Herleitung, die auf dem Kosinussatz aufbaut:

Bild

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[ Nachricht wurde editiert von cis am 14.04.2010 20:31:50 ]



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ZetaX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.29, eingetragen 2010-04-14


2010-04-12 22:55 - Wally in Beitrag No. 27 schreibt:
Hallo, DULL,

das ist ja nicht gerade Schulmathematik, aber wenn man Sinus und Cosinus durch Reihen definiert, spart man sich so die unübersichtlichen Cauchyprodukte.

Wally
[ Nachricht wurde editiert von Wally am 12.04.2010 22:56:01 ]

Was daran ist denn keine Schulmathematik¿



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chryso
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.30, eingetragen 2010-04-14


2010-04-14 21:23 - ZetaX in Beitrag No. 29 schreibt:
2010-04-12 22:55 - Wally in Beitrag No. 27 schreibt:
das ist ja nicht gerade Schulmathematik, aber wenn man Sinus und Cosinus durch Reihen definiert, spart man sich so die unübersichtlichen Cauchyprodukte.

Wally

Was daran ist denn keine Schulmathematik¿

Die Definition der Winkelfunktionen über Reihen ist keine Schulmathematik.  Die Winkelfunktionen werden in der Schule lange vor den Reihen gemacht.

LG c.



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ZetaX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.31, eingetragen 2010-04-14


Und wo hatte DULL denn Reihen benutzt¿
[ Nachricht wurde editiert von ZetaX am 14.04.2010 23:32:40 ]



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chryso
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.32, eingetragen 2010-04-15


2010-04-14 23:32 - ZetaX in Beitrag No. 31 schreibt:
Und wo hatte DULL denn Reihen benutzt¿

Ich glaube, du hast Wally falsch verstanden, er meinte nicht, dass DULL Reihen verwendet hat, sondern ER hat einen Vorschlag mit Reihen.

Dulls Vorschlag ist schön und durchaus mit der Schule vereinbar, allerdings kommen Ableitungen zu einer Zeit, wo das Kapitel Winkelfunktionenn schon abgeschlossen ist.

chryso



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goeba
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.33, eingetragen 2010-04-15


Ich hatte es so verstanden: WEnn ich die trigonometrischen Funktionen über Reihen definiere, dann bekomme ich die Ableitungen ohne Additionstheoreme, und dann kann ich diesen "Trick" auch bedenkenlos verwenden, um die Additionstheoreme herzuleiten. Wenn nicht, dann ist es ein Ringschluss.



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.34, eingetragen 2010-04-15


Hallo, alle,

um das mal klarzustellen:

in vielen Analysis-Vorlesungen bemüht man sich, nach der anschaulichen Definition des Winkelfunktionen eine "streng mathematische" (=unanschauliche  biggrin  biggrin ) zu geben, z.B. über Potenzreihen. Das hat den Vorteil, dass man die Ableitungen ganz ohne geometrische Anschauung und auf einen Schlag für alle reellen (und sogar komplexen) Zahlen bekommt.

Wenn man allerdings die Additionstheoreme nachrechnen will, hat man mit Cauchyprodukten zu kämpfen, die für viele Erstsemester noch relativ kompliziert sind. Hier kann man zumindest den reellen Fall mit DULLs Methode elegant lösen.

Wally



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owk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.35, eingetragen 2010-04-15


Sobald komplexe Differentialrechnung zur Verfügung steht, kann man auch einfacher mit der Exponentialfunktion argumentieren: exe−x ist mit dem Ableitungsargument konstant 1, also hat die Exponentialfunktion keine Nullstellen, und dasselbe Argument mit ex+y/ex zeigt die Funktionalgleichung, aus der unmittelbar die Additionstheoreme von Sinus und Kosinus folgen. owk



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.36, vom Themenstarter, eingetragen 2010-04-15


Was noch gar nicht genannt wurde:

Besonders einfach ist natürlich auch die Herleitung über die Eulersche Identität:

ei(x+y) = eix · eiy 
cos(x + y)+isin(x + y) = [cos(x)+isin(x)] · [cos(y)+isin(y)]


Ausmultiplizieren und Vgl. von Real- und Imaginärteil, liefert die Addth für sin und cos.
Da aber (zumindest in Dtl.) keine komplexe Algebra auf dem Programm steht, ist die Sache schulisch vermutlich ungeeignet.
Falls doch, ist das ggf. eine gute Ergänzung....





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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.37, vom Themenstarter, eingetragen 2010-05-07


Also ich setz  mal den OK-Haken...
Falls jmd. weitere Herleitungen kennt, würde ich mich freuen...



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Wario
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.38, eingetragen 2020-12-03



<math>
\def\anno{0} % 1  "yes",  0  "no"

\ifnum\anno=0
\tikzset{  every label/.style={text=black!1}   }  \fi


\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
%nodes={align=left, inner sep=1pt},
Anno/.style={align=left, inner sep=2pt, midway,},
Fill1/.style={fill=magenta!33},
Fill2/.style={fill=blue!22},
declare function={
Sin(\x)=sin(\x);
},
]
% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\u}{5.6} %  unit length
\pgfmathsetmacro{\u}{7.6} %  unit length
\pgfmathsetmacro{\v}{0.666} %  unit length
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{33} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{39} %

\pgfmathsetmacro{\SinA}{\u*sin(\Alpha)}
\pgfmathsetmacro{\SinB}{\u*sin(\Beta)}
\pgfmathsetmacro{\SinAB}{\u*sin(\Alpha+\Beta)}
\pgfmathsetmacro{\CosA}{\u*cos(\Alpha)}
\pgfmathsetmacro{\CosB}{\u*cos(\Beta)}
\pgfmathsetmacro{\CosAB}{\u*cos(\Alpha+\Beta)}

\pgfmathsetmacro{\CosACosB}{\u*cos(\Alpha)*cos(\Beta)}
\pgfmathsetmacro{\CosASinB}{\u*cos(\Alpha)*sin(\Beta)}
\pgfmathsetmacro{\SinACosB}{\u*sin(\Alpha)*cos(\Beta)}
\pgfmathsetmacro{\SinASinB}{\u*sin(\Alpha)*sin(\Beta)}


% Dreieckskonstruktion
\coordinate[label=below:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=$B$] (B) at (\Alpha+\Beta:\u);
\coordinate[label=$C$] (C) at (0,\SinAB);

% Triangles
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle;%

\ifnum\anno=1  \draw[densely dashed] (A) -- +(\Alpha:\CosB+\v); \fi
\draw[Fill1] (A) -- +(\Alpha:\CosB) coordinate[label=right:$L_1$] (L1) node[Anno, sloped, above]{
\ifnum\anno=1 $y_2=$  \fi
$\cos(\beta)$}
-- (B) node[Anno, sloped, below]{
\ifnum\anno=1 $x_2=$  \fi
$\sin(\beta)$}    -- cycle;

\ifnum\anno=1  \draw[densely dashed] (A) -- (\CosACosB+\v,0); \fi
\draw[Fill2] (A) -- (\CosACosB,0) coordinate[label=below:$L_2$](L2) node[Anno, below]{
$\cos(\alpha)\cos(\beta)$
\ifnum\anno=1 \\ $=x_3$  \fi}
-- (L1) --cycle;
\path[] (L1) -- (L2) node[Anno, sloped, above]{
\ifnum\anno=1 $y_3=$ \\  \fi
$\sin(\alpha)\cos(\beta)$};

\ifnum\anno=1
\draw[densely dashed] (L2) -- +(0,\SinACosB+\CosASinB+\v);
\draw[densely dashed] (C) -- +(\CosAB+\SinASinB+\v,0);
\fi
\draw[] (L1) -- +(0,\CosASinB) coordinate[label=45:$S$](S)
-- (B) node[Anno, above]{
\ifnum\anno=1 $x_4=$ \\  \fi
$\sin(\alpha)\sin(\beta)$} --cycle;
\path[] (S) -- (L1)  node[Anno, sloped, above]{
\ifnum\anno=1 $y_4=$ \\  \fi
$\cos(\alpha)\sin(\beta)$};

% Annotations
\path[] ($(A)!0.5!(B)$) -- (C) node[midway]{
\ifnum\anno=1 $\Delta_1$ \fi};
\draw[thick] (A) -- (B) node[midway, sloped, above, font=\bfseries]{1};
\path[] (B) -- (C) node[Anno, above]{
\ifnum\anno=1 $x_1=$\\ \fi
$\cos(\alpha+\beta)$};
\path[] (A) -- (C) node[Anno, sloped, above]{
\ifnum\anno=1 $y_1=$ \fi
$\sin(\alpha+\beta)$};

\path[] ($(A)!0.5!(B)$) -- (L1) node[near start]{
\ifnum\anno=1 $\Delta_2$ \fi};

\path[] ($(A)!0.5!(L1)$) -- (L2) node[near start]{
\ifnum\anno=1 $\Delta_3$ \fi};

\path[] ($(B)!0.5!(L1)$) -- (S) node[near start]{
\ifnum\anno=1 $\Delta_4$ \fi};


% Angles
\draw pic [draw, angle radius=2.5mm, %angle eccentricity=1.3,
] {right angle=B--C--A};
\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=2.1,
"$\alpha+\beta$",
] {angle =C--B--A};

\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=2.1,
"$\beta$",
] {angle =L1--A--B};
\draw pic [draw, angle radius=2.5mm, %angle eccentricity=1.3,
] {right angle=B--L1--A};

\draw pic [draw, angle radius=6mm, %angle eccentricity=2.1,
"$\alpha$",
] {angle =L2--A--L1};
\draw pic [draw, angle radius=2.5mm, %angle eccentricity=1.3,
] {right angle=L1--L2--A};

\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.9,
"$90^\circ$-$\alpha$\;",
] {angle =A--L1--L2};
\draw pic [draw, angle radius=6mm, %angle eccentricity=2.1,
"$\alpha$",
] {angle =S--L1--B};
\draw pic [draw, angle radius=2.5mm, %angle eccentricity=1.3,
] {right angle=L1--S--B};

% Points
\ifnum\anno=1
\foreach \P in {A,B,C,L1,L2,S} \draw[fill=black] (\P) circle (1.5pt);  \fi

% AnnotationS -  Task
\ifnum\anno=1%%%%%%%%%%%%%
\begin{scope}[shift={($(C)+(-\u cm-7mm,-7mm)$)},
]
\draw[|-|]  (0,0) -- (\u,0) node[midway, above]{1};
\end{scope}

\begin{scope}[shift={($(C)+(-\u cm-7mm,-17mm)$)},
]
\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\Alpha}
\pgfmathsetmacro{\WinkelXShift}{\Winkel > 90 ? -cos(\Winkel) : 0} %
\draw[] (\Winkel:1)  coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
\draw pic [draw, angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\alpha$",
] {angle =R--Q--P};
\end{scope}

\begin{scope}[shift={($(C)+(-\u cm-7mm+15mm,-17mm)$)},
]
\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\Beta}
\pgfmathsetmacro{\WinkelXShift}{\Winkel > 90 ? -cos(\Winkel) : 0} %
\draw[] (\Winkel:1)  coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
\draw pic [draw, angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\beta$",
] {angle =R--Q--P};
\end{scope}
\fi%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{tikzpicture}</math>

Man entliest: $
\boxed{\sin(\alpha+\beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)}$
und

$
\cos(\alpha+\beta) +\sin(\alpha)\sin(\beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta)
~\Leftrightarrow~
\boxed{\cos(\alpha+\beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)}.$

Konstruktion.

<math>
\def\anno{1} % 1  "yes",  0  "no"

\ifnum\anno=0
\tikzset{  every label/.style={text=black!1}   }  \fi


\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
%nodes={align=left, inner sep=1pt},
Anno/.style={align=left, inner sep=2pt, midway,},
Fill1/.style={fill=magenta!33},
Fill2/.style={fill=blue!22},
declare function={
Sin(\x)=sin(\x);
},
]
% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\u}{5.6} %  unit length
\pgfmathsetmacro{\u}{7.6} %  unit length
\pgfmathsetmacro{\v}{0.666} %
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{33} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{39} %

\pgfmathsetmacro{\SinA}{\u*sin(\Alpha)}
\pgfmathsetmacro{\SinB}{\u*sin(\Beta)}
\pgfmathsetmacro{\SinAB}{\u*sin(\Alpha+\Beta)}
\pgfmathsetmacro{\CosA}{\u*cos(\Alpha)}
\pgfmathsetmacro{\CosB}{\u*cos(\Beta)}
\pgfmathsetmacro{\CosAB}{\u*cos(\Alpha+\Beta)}

\pgfmathsetmacro{\CosACosB}{\u*cos(\Alpha)*cos(\Beta)}
\pgfmathsetmacro{\CosASinB}{\u*cos(\Alpha)*sin(\Beta)}
\pgfmathsetmacro{\SinACosB}{\u*sin(\Alpha)*cos(\Beta)}
\pgfmathsetmacro{\SinASinB}{\u*sin(\Alpha)*sin(\Beta)}

% Dreieckskonstruktion
\coordinate[label=below:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=$B$] (B) at (\Alpha+\Beta:\u);
\coordinate[label=$C$] (C) at (0,\SinAB);

% Triangles
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle;%

\ifnum\anno=1  \draw[densely dashed] (A) -- +(\Alpha:\CosB+\v); \fi
\draw[Fill1] (A) -- +(\Alpha:\CosB) coordinate[label=right:$L_1$] (L1) node[Anno, sloped, above]{
\ifnum\anno=1 $y_2=$  \fi
$\cos(\beta)$}
-- (B) node[Anno, sloped, below]{
\ifnum\anno=1 $x_2=$  \fi
$\sin(\beta)$}    -- cycle;

\ifnum\anno=1  \draw[densely dashed] (A) -- (\CosACosB+\v,0); \fi
\draw[Fill2] (A) -- (\CosACosB,0) coordinate[label=below:$L_2$](L2) node[Anno, below]{
$\cos(\alpha)\cos(\beta)$
\ifnum\anno=1 \\ $=x_3$  \fi}
-- (L1) --cycle;
\path[] (L1) -- (L2) node[Anno, sloped, above]{
\ifnum\anno=1 $y_3=$ \\  \fi
$\sin(\alpha)\cos(\beta)$};

\ifnum\anno=1
\draw[densely dashed] (L2) -- +(0,\SinACosB+\CosASinB+\v);
\draw[densely dashed] (C) -- +(\CosAB+\SinASinB+\v,0);
\fi
\draw[] (L1) -- +(0,\CosASinB) coordinate[label=45:$S$](S)
-- (B) node[Anno, above]{
\ifnum\anno=1 $x_4=$ \\  \fi
$\sin(\alpha)\sin(\beta)$} --cycle;
\path[] (S) -- (L1)  node[Anno, sloped, above]{
\ifnum\anno=1 $y_4=$ \\  \fi
$\cos(\alpha)\sin(\beta)$};

% Annotations
\path[] ($(A)!0.5!(B)$) -- (C) node[midway]{
\ifnum\anno=1 $\Delta_1$ \fi};
\draw[thick] (A) -- (B) node[midway, sloped, above, font=\bfseries]{1};
\path[] (B) -- (C) node[Anno, above]{
\ifnum\anno=1 $x_1=$\\ \fi
$\cos(\alpha+\beta)$};
\path[] (A) -- (C) node[Anno, sloped, above]{
\ifnum\anno=1 $y_1=$ \fi
$\sin(\alpha+\beta)$};

\path[] ($(A)!0.5!(B)$) -- (L1) node[near start]{
\ifnum\anno=1 $\Delta_2$ \fi};

\path[] ($(A)!0.5!(L1)$) -- (L2) node[near start]{
\ifnum\anno=1 $\Delta_3$ \fi};

\path[] ($(B)!0.5!(L1)$) -- (S) node[near start]{
\ifnum\anno=1 $\Delta_4$ \fi};


% Angles
\draw pic [draw, angle radius=2.5mm, %angle eccentricity=1.3,
] {right angle=B--C--A};
\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=2.1,
"$\alpha+\beta$",
] {angle =C--B--A};

\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=2.1,
"$\beta$",
] {angle =L1--A--B};
\draw pic [draw, angle radius=2.5mm, %angle eccentricity=1.3,
] {right angle=B--L1--A};

\draw pic [draw, angle radius=6mm, %angle eccentricity=2.1,
"$\alpha$",
] {angle =L2--A--L1};
\draw pic [draw, angle radius=2.5mm, %angle eccentricity=1.3,
] {right angle=L1--L2--A};

\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.9,
"$90^\circ$-$\alpha$\;",
] {angle =A--L1--L2};
\draw pic [draw, angle radius=6mm, %angle eccentricity=2.1,
"$\alpha$",
] {angle =S--L1--B};
\draw pic [draw, angle radius=2.5mm, %angle eccentricity=1.3,
] {right angle=L1--S--B};

% Points
\ifnum\anno=1
\foreach \P in {A,B,C,L1,L2,S} \draw[fill=black] (\P) circle (1.5pt);  \fi

% AnnotationS -  Task
\ifnum\anno=1%%%%%%%%%%%%%
\begin{scope}[shift={($(C)+(-\u cm-7mm,-7mm)$)},
]
\draw[|-|]  (0,0) -- (\u,0) node[midway, above]{1};
\end{scope}

\begin{scope}[shift={($(C)+(-\u cm-7mm,-17mm)$)},
]
\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\Alpha}
\pgfmathsetmacro{\WinkelXShift}{\Winkel > 90 ? -cos(\Winkel) : 0} %
\draw[] (\Winkel:1)  coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
\draw pic [draw, angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\alpha$",
] {angle =R--Q--P};
\end{scope}

\begin{scope}[shift={($(C)+(-\u cm-7mm+15mm,-17mm)$)},
]
\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\Beta}
\pgfmathsetmacro{\WinkelXShift}{\Winkel > 90 ? -cos(\Winkel) : 0} %
\draw[] (\Winkel:1)  coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
\draw pic [draw, angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\beta$",
] {angle =R--Q--P};
\end{scope}
\fi%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{tikzpicture}</math>

(1) Konstruiere das rechtwinklige Dreieck $\Delta ABC = \Delta_1$ mit der Hypotenuse 1 und dem der Hypotenuse anliegenden Winkel $\alpha+\beta$ bei $B$. Dann ist $
\sin(\alpha+\beta) = \dfrac{y_1}{1}=y_1$  und $
\cos(\alpha+\beta) = \dfrac{x_1}{1}=x_1.$

(2) Trage an der Hypotenuse von $\Delta_1$ durch $A$ eine Gerade im Winkel $\beta$ an. Fälle von $B$ das Lot auf die Gerade, Lotfußpunkt sei $L_1$, um das rechtwinklige Dreieck $\Delta AL_1 B = \Delta_2$ zu erhalten. Dann ist $
\sin(\beta) = \dfrac{x_2}{1} =x_2$ und $
\cos(\beta) = \dfrac{y_2}{1} =y_2$.

(3) Lege durch $A$ eine Horizontale; diese schließt gemäß dem Wechsel- bzw. Z-Winkelsatz mit $|AL_1|$ den Winkel $\alpha$ ein. Fälle von $L_1$ das Lot auf die Horizontale, um das rechtwinklige Dreieck $\Delta AL_2 L_1 = \Delta_3$ zu erhalten. Dann ist  $
\sin(\alpha) = \dfrac{y_3}{\cos(\beta)}
~\Leftrightarrow~
y_3 = \sin(\alpha)\cos(\beta)$ und $
\cos(\alpha) = \dfrac{x_3}{\cos(\beta)}
~\Leftrightarrow~
x_3 = \cos(\alpha)\cos(\beta).$

(4) Errichte in $L_2$ eine Senkrechte und lege eine Horizontale durch $C$, Schnittpunkt beider Geraden sei $S$, um das  rechtwinklige Dreieck $\Delta B L_1 S = \Delta_4$ zu erhalten. Damit erhält man durch Ausnutzung supplementärer Winkel einen Winkel $\alpha$ bei $L_1$. Dann ist  $
\sin(\alpha) = \dfrac{x_4}{\sin(\beta)}
~\Leftrightarrow~
x_4 = \sin(\alpha)\sin(\beta)$ und $
\cos(\alpha) = \dfrac{y_4}{\sin(\beta)}
~\Leftrightarrow~
y_4 = \cos(\alpha)\sin(\beta).$



Nach der Abbildung gilt $
\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta) +\cos(\alpha)\sin(\beta)$ bzw. ${  
\cos(\alpha+\beta) = \cos(\alpha)\sin(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)
  }$ für Winkel $\alpha$,  $\beta$ und $\alpha+\beta$, die positiv und kleiner als $90^\circ$ sind.

Satz: Die Additionstheoreme $
\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta) +\cos(\alpha)\sin(\beta)
$ und  $
\cos(\alpha+\beta) = \cos(\alpha)\sin(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)
$  gelten für beliebige Winkel $
{  \alpha,~ \beta ~\in~ \mathbb{R}  }.$

Insbesondere ist $
\boxed{  \sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta) -\cos(\alpha)\sin(\beta)  }$

und $\boxed{  
\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta) +\sin(\alpha)\sin(\beta)  }.$


Beweis.
Hilfssätze:
$\def\N{{\begin{array}{| l  l |}
\hline
\text{(1a)} & \sin(-x) = -\sin(x) \\
\text{(1b)} & \cos(-x) = \cos(x) \\
\text{(2a)} & \sin(\pi-x) = \sin(x) \\
\text{(2b)} & \cos(\pi-x) = -\cos(x) \\
\text{(3a)} & \sin(x-\pi) = -\sin(x) \\
\text{(3b)} & \cos(x-\pi) =-\cos(x) \\
\text{(4a)} & \sin(2\pi-x) = -\sin(x) \\
\text{(4b)} & \cos(2\pi-x) = \cos(x) \\
\text{(5a)} & \sin(x\pm 2\pi k) = \sin(x), ~~~k\in\mathbb{Z}  \\
\text{(5b)} & \cos(x\pm 2\pi k) = \cos(x), ~~~k\in\mathbb{Z} \\ \hline
\end{array}}   }

\N$


Beweis für $\sin(\alpha+\beta)$:

1. Negatives Argument:

$\newcommand{\os}[1]{{ \overset{\text{(#1)}}{=}}  }
\newcommand{\oss}[1][2a]{{ \overset{\hphantom{(#1)}}{=}}  }

\begin{array}{l l l}
\sin(\alpha-\beta) &\os{5a} \sin(\alpha-\beta+2\pi k) = \sin\bigl(\alpha + (2\pi k-\beta)\bigr)
   & \textsf{[wobei $k$ so gewählt, dass $2\pi k-b>0$]}\\
&\oss \sin(\alpha)\cos(2\pi k-\beta) +\cos(a)\sin(2\pi k-\beta) & \\
&\oss \sin(\alpha)\cos(-\beta) +\cos(\alpha)\sin(-\beta) & \\
&\oss \sin(\alpha)\cos(\beta) -\cos(\alpha)\sin(\beta) &
\end{array}$

2. Dass die Formel auch für rechte bzw. stumpfe Winkel $[\frac\pi2, \pi[$   bzw. überstumpfe Winkel $[\pi,~ 2\pi[$ bzw. beliebig reelle Winkel gilt, zeigen folgende Rechnungen.

<math>
\def\Info{Seien o.B.d.A. $\alpha$ und $\beta$  in $\alpha+\beta$ so gewhlt bzw. substituiert,  dass $\beta$ hinreichend klein ist (zum Beispiel  $\beta \approx 0$), so dass $\alpha$ darber entscheidet, ob $\alpha+\beta$ rechter, stumpfer bzw. berstumpfer Winkel ist oder grer als $2\pi$ oder kleiner als $0$ ist. }


\newcommand{\os}[1]{{ \overset{\text{(#1)}}{=}}  }
\newcommand{\oss}[1][2a]{{ \overset{\hphantom{(#1)}}{=}}  }


\def\Ia{\centering\text{--}}
\def\I{{
\sin(a+\beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)
}}
%\I

\def\IIa{\textsf{%
ersetze ${\alpha+\beta}$ durch ${\pi-(\alpha+\beta)}$%
}}
\def\II{{\begin{array}{l  l}
\sin(\alpha+\beta) &\os{2a} \sin(\pi-(\alpha+\beta)) =  \sin(\pi-\alpha-\beta)  \\
&\oss \sin(\pi-\alpha)\cos(-\beta) +\cos(\pi-\alpha)\sin(-\beta) \\
&\oss \sin(\alpha)\cos(\beta) +(-\cos(\alpha))(-\sin(\beta)) \\
&\oss \sin(\alpha)\cos(\beta) +\cos(\alpha))\sin(-\beta) \\
\end{array}}   }
%\II


\def\IIIa{\textsf{%
ersetze ${\alpha+\beta}$ durch ${(\alpha+\beta)-\pi}$%
}}
\def\III{{\begin{array}{l  l}
\sin(\alpha+\beta) &\os{3a} -\sin(\alpha+\beta-\pi)
= -\sin((\alpha-\pi) +\beta) \\
&\oss -\bigl(  \sin(\alpha-\pi)\cos(\beta) +\cos(\alpha-\pi)\sin(\beta)  \bigr)\\
&\oss -\bigl(  -\sin(\alpha)\cos(\beta) +(-\cos(\alpha))\sin(\beta)  \bigr)\\
&\oss \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)
\end{array}}   }
%\II



\def\IVa{\textsf{%
ersetze ${\alpha+\beta}$ durch ${2\pi-(\alpha+\beta)}$%
}}
\def\IV{{\begin{array}{l  l}
\sin(\alpha+\beta) & \os{4a} -\sin(2\pi-(\alpha+\beta))
=-\sin((2\pi-\alpha) -\beta) \\
&\oss -\bigl( \sin(2\pi-\alpha)\cos(-\beta) +\cos(2\pi-\alpha)\sin(-\beta) \bigr)\\
&\oss -\bigl( -\sin(\alpha) \cos(\beta) +\cos(\alpha)(-\sin(\beta)) \bigr)\\
&\oss \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)
\end{array}}   }
%\IV


\def\Va{\textsf{%
subtrahiere von ${\alpha+\beta}$ so oft wie mglich $2\pi$, so dass  ${0<\alpha+\beta\leq 2\pi}$%
}}
\def\V{{\begin{array}{l  l}
\sin(\alpha+\beta) &\os{5a}  \sin(\alpha+\beta-2\pi k)   \\
\multicolumn{2}{l}{\textsf{[wobei $k\in\mathbb{Z}$ so gewhlt, dass $0\leq \alpha+\beta-2\pi k<2\pi$]}}
\end{array}}   }
%\V

\def\VIa{\textsf{%
addiere zu ${\alpha+\beta}$ so oft  $2\pi$, dass  ${0< \alpha+\beta\leq 2\pi}$%
}}
\def\VI{{\begin{array}{l  l}
\sin(\alpha+\beta) &\os{5a} \sin(\alpha+\beta+2\pi k)   \\
\multicolumn{2}{l}{\textsf{[wobei $k\in\mathbb{Z}$ so gewhlt, dass $0\leq \alpha+\beta+2\pi k<2\pi$]}}
\end{array}}   }
%\VI

\begin{array}{| l | l  | m{27mm}| l |}
\hline
%\multicolumn{4}{| l |}{\N} \\ \hline
\multicolumn{4}{| p{\linewidth} |}{\Info} \\ \hline
\textsf{Quadrant} & \textsf{Fall} & \textsf{In Worten}  &\textsf{Rechnung}  \\ \hline
\text{I} & 0\leq \alpha+\beta <\frac\pi2  & \Ia & \I\vphantom{\V} \\[0.75em] \hline
\text{II} & \frac\pi2\leq \alpha+\beta <\pi  & \IIa & \II \\ \hline
\text{III} & \pi\leq \alpha+\beta <\frac{3\pi}{2}  & \IIIa & \III \\ \hline
\text{IV} &\frac{3\pi}{2}\leq \alpha+\beta <2\pi  & \IVa & \IV \\ \hline
\text{--}  &\alpha+\beta > 2\pi  & \Va & \V \\ \hline
\text{--}  &\alpha+\beta < 0  & \VIa  & \VI \\  \hline
\end{array}</math>

Beweis für $\cos(\alpha+\beta)$: Die Rechnung verläuft weitgehend analog.


Verwendet man die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus und dividiert alle Größen im obigen Schaubild durch  $\cos(\alpha)\cos(\beta)$ erhält man
<math>
\def\anno{0} % 1  "yes",  0  "no"

\ifnum\anno=0
\tikzset{  every label/.style={text=black!1}   }  \fi

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
%nodes={align=left, inner sep=1pt},
Anno/.style={align=left, inner sep=2pt, midway,},
Fill1/.style={fill=magenta!33},
Fill2/.style={fill=blue!22},
]
% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\u}{7.6} %  unit length
\pgfmathsetmacro{\v}{0.666} %
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{33} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{39} %

\pgfmathsetmacro{\SinA}{\u*sin(\Alpha)}
\pgfmathsetmacro{\SinB}{\u*sin(\Beta)}
\pgfmathsetmacro{\SinAB}{\u*sin(\Alpha+\Beta)}
\pgfmathsetmacro{\CosA}{\u*cos(\Alpha)}
\pgfmathsetmacro{\CosB}{\u*cos(\Beta)}
\pgfmathsetmacro{\CosAB}{\u*cos(\Alpha+\Beta)}

\pgfmathsetmacro{\CosACosB}{\u*cos(\Alpha)*cos(\Beta)}
\pgfmathsetmacro{\CosASinB}{\u*cos(\Alpha)*sin(\Beta)}
\pgfmathsetmacro{\SinACosB}{\u*sin(\Alpha)*cos(\Beta)}
\pgfmathsetmacro{\SinASinB}{\u*sin(\Alpha)*sin(\Beta)}

% Dreieckskonstruktion
\coordinate[label=below:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=$B$] (B) at (\Alpha+\Beta:\u);
\coordinate[label=$C$] (C) at (0,\SinAB);

% Triangles
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle;%

\ifnum\anno=1  \draw[densely dashed] (A) -- +(\Alpha:\CosB+\v); \fi
\draw[Fill1] (A) -- +(\Alpha:\CosB) coordinate[label=right:$L_1$] (L1) node[Anno, sloped, above]{
\ifnum\anno=1 $y_2=$  \fi
$1/\cos(\alpha)$}
-- (B) node[Anno, sloped, below]{
\ifnum\anno=1 $x_2=$  \fi
$\tan(\beta)/\cos(\alpha)$}    -- cycle;

\ifnum\anno=1  \draw[densely dashed] (A) -- (\CosACosB+\v,0); \fi
\draw[Fill2] (A) -- (\CosACosB,0) coordinate[label=below:$L_2$](L2) node[Anno, below]{
%$\cos(\alpha)\cos(\beta)$
\ifnum\anno=1 \\ $=x_3$  \fi}
-- (L1) --cycle;
\path[] (L1) -- (L2) node[Anno, sloped, above]{
\ifnum\anno=1 $y_3=$ \\  \fi
$\tan(\alpha)$};

\ifnum\anno=1
\draw[densely dashed] (L2) -- +(0,\SinACosB+\CosASinB+\v);
\draw[densely dashed] (C) -- +(\CosAB+\SinASinB+\v,0);
\fi
\draw[] (L1) -- +(0,\CosASinB) coordinate[label=45:$S$](S)
-- (B) node[Anno, above]{
\ifnum\anno=1 $x_4=$ \\  \fi
$\tan(\alpha)\tan(\beta)$} --cycle;
\path[] (S) -- (L1)  node[Anno, sloped, above]{
\ifnum\anno=1 $y_4=$ \\  \fi
$\tan(\beta)$};

% Annotations
\path[] ($(A)!0.5!(B)$) -- (C) node[midway]{
\ifnum\anno=1 $\Delta_1$ \fi};
\draw[] (A) -- (B) node[midway, sloped, above]{
$1/\bigl(  \cos(\alpha)\cos(\beta) \bigr)$
};
\draw[thick] (A) -- (L2) node[midway, sloped, above, font=\bfseries]{1};
\path[] (B) -- (C) node[Anno, above]{
\ifnum\anno=1 $x_1=$\\ \fi
$1-\tan(\alpha)\tan(\beta)$};
\path[] (A) -- (C) node[Anno, sloped, above]{
\ifnum\anno=1 $y_1=$ \fi
$\tan(\alpha)+\tan(\beta)$};

\path[] ($(A)!0.5!(B)$) -- (L1) node[near start]{
\ifnum\anno=1 $\Delta_2$ \fi};

\path[] ($(A)!0.5!(L1)$) -- (L2) node[near start]{
\ifnum\anno=1 $\Delta_3$ \fi};

\path[] ($(B)!0.5!(L1)$) -- (S) node[near start]{
\ifnum\anno=1 $\Delta_4$ \fi};


% Angles
\draw pic [draw, angle radius=2.5mm, %angle eccentricity=1.3,
] {right angle=B--C--A};
\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=2.1,
"$\alpha+\beta$",
] {angle =C--B--A};

\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=2.1,
"$\beta$",
] {angle =L1--A--B};
\draw pic [draw, angle radius=2.5mm, %angle eccentricity=1.3,
] {right angle=B--L1--A};

\draw pic [draw, angle radius=6mm, %angle eccentricity=2.1,
"$\alpha$",
] {angle =L2--A--L1};
\draw pic [draw, angle radius=2.5mm, %angle eccentricity=1.3,
] {right angle=L1--L2--A};

\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.9,
"$90^\circ$-$\alpha$\;",
] {angle =A--L1--L2};
\draw pic [draw, angle radius=6mm, %angle eccentricity=2.1,
"$\alpha$",
] {angle =S--L1--B};
\draw pic [draw, angle radius=2.5mm, %angle eccentricity=1.3,
] {right angle=L1--S--B};

% Points
\ifnum\anno=1
\foreach \P in {A,B,C,L1,L2,S} \draw[fill=black] (\P) circle (1.5pt);  \fi

% AnnotationS -  Task
\ifnum\anno=1%%%%%%%%%%%%%
\begin{scope}[shift={($(C)+(-\u cm-7mm,-7mm)$)},
]
\draw[|-|]  (0,0) -- (\u,0) node[midway, above]{1};
\end{scope}

\begin{scope}[shift={($(C)+(-\u cm-7mm,-17mm)$)},
]
\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\Alpha}
\pgfmathsetmacro{\WinkelXShift}{\Winkel > 90 ? -cos(\Winkel) : 0} %
\draw[] (\Winkel:1)  coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
\draw pic [draw, angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\alpha$",
] {angle =R--Q--P};
\end{scope}

\begin{scope}[shift={($(C)+(-\u cm-7mm+15mm,-17mm)$)},
]
\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\Beta}
\pgfmathsetmacro{\WinkelXShift}{\Winkel > 90 ? -cos(\Winkel) : 0} %
\draw[] (\Winkel:1)  coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
\draw pic [draw, angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\beta$",
] {angle =R--Q--P};
\end{scope}
\fi%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{tikzpicture}</math>

Man entliest: $\boxed{
\tan(\alpha+\beta)
= \dfrac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\tan(\beta)}
}.$





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