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Schulmathematik » Terme und (Un-) Gleichungen » Formeln von Cardano
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Universität/Hochschule Formeln von Cardano
John-Doe
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  Themenstart: 2011-10-25

Liebe Community! Ich versuche mich gerade an der Lösungsformel von Cardano für Gleichungen dritten Grades. Der wikipedia-Artikel macht mir ein paar Schritte zu viel auf einmal. Kennt ihr ne Seite, wo die Lösungsformel etwas langsamer hergeleitet wird und eventuell auch Anhang von Beispielen durchgerechnet wird? lg Johnny


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Rebecca
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  Beitrag No.1, eingetragen 2011-10-25

Warum denn in die Ferne schweifen... Da gibt es einen Artikel auf dem Matheplaneten: article.php?sid=483 Gruß Rebecca [ Nachricht wurde editiert von Rebecca am 25.10.2011 23:49:26 ]


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Bozzo
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  Beitrag No.2, eingetragen 2011-10-26

Als erstes solltest du verstehen, wie man eine Gleichung der Form   x3 - 3p x - 2q = 0,  p ≠ 0 in x löst.  (Den Sonderfall p = 0, solltest du dir kurz selbst überlegen.) Die Vorfaktoren -3 vor p und -2 vor q habe ich dabei so gewählt, dass die Formeln die herauskommen einfacher werden.  Du kannst auch mit einer Gleichung der Form x3 + P x + Q = 0 starten, der Rechenweg ist derselbe.  Du wirst dann schon selbst sehen, warum ich an welcher Stelle welchen Vorfaktor eingebaut habe, um die Formeln zu vereinfachen. Nun zur Herleitung: Der erste "Trick" ist, x durch u+v zu ersetzen.  Wenn wir nur eine Unbekannte x haben, ist die Gleichung bestimmt (eine Gleichung, eine Unbekannte), d. h. es gibt nur höchstens die 3 Lösungen, die ein Polynom 3. Grades eben hat.  Wenn wir x durch die zwei Unbekannten u und v ersetzen, ist die Gleichung unterbestimmt (eine Gleichung, zwei Unbekannte).  D. h. dann gibt es für jede Wahl von z. B. v bis zu drei Lösungen in u.  Somit haben wir gewissermaßen einen "Wunsch" gewonnen (d. h. wir können eine zweite Gleichung vorgeben), den wir später investieren können (und sollten) um die Gleichung wieder bestimmt zu machen (zwei Gleichungen, zwei Unbekannte). Nach Einsetzen haben wir   (u+v)3 - 3p (u+v) - 2q = 0 Ausmultiplizieren des Kubus vorne mit dem Binomialtheorem gibt   u3 + 3 u2 v + 3 u v2 + v3 - 3p (u+v) - 2q = 0 Umsortieren und Ausfaktorisieren von 3 u v in den beiden mittleren Termen des Kubus gibt   u3 + v3 - 2q + 3 u v (u+v) - 3p (u+v) = 0 Ausfaktorisieren von 3(u+v) aus den letzen beiden Summanden führt schließlich auf   u3 + v3 - 2q + 3 (u+v) (uv-p) = 0 Nun ist es Zeit den einen Wunsch, den wir uns vorhin erkauft haben einzulösen.  Wir wünschen uns, dass uv = p sein soll.  Das ist unsere zweite Gleichung, und mit der Erreichen wir, dass in der Gleichung oben, der letzte Summand auf der linken Seite verschwindet.  Wir haben also nun die beiden Gleichungen   u3 + v3 = 2q   uv = p Bis hier hin steckt die ganze "Magie" der Formel von Cardano drin.  Die schwer lösbare Gleichung von oben wurde in zwei Gleichungen umgewandelt, die einfach zu lösen sind.  Du kannst nun z. B. einfach die 2. Gleichung nach v auflösen und in die erste Gleichung einsetzen, dann bekommst du darin eine quadratische Gleichung in u3 die du wie gewohnt lösen kannst. Ich möchte aber stattdessen mit einer schöneren Herleitung weiter machen(*).  Dazu rechnen wir die zweite Gleichung hoch 3 und setzen anschließend U = u3 und V = v3.  Es ergeben sich die beiden Gleichungen   U + V = 2q   UV = p3 Nach dem Satz von Vieta sind nun U und V die beiden Lösungen y1,2 von   y2 - 2q y + p3 = 0  ⇔  (y-q)2 = q2-p3 Nimmt man also eine der beiden Lösungen y1 der quadratischen Gleichung, bekommt man eine kubische Gleichung dazu in u, nämlich   u3 = U = y1 Diese besitzt drei verschiedene Lösungen u1,2,3.  Mittels v = p/u (Gleichung uv=p von oben) bekommt man dazu drei jeweils korrespondierende v1,2,3.  Das wären gerade eine der Lösungen gewesen, die man aus der Gleichung   v3 = V = y2 bekommen hätte, wie du selbst leicht einsehen solltest. Die drei Lösungen für deine Ausgangsgleichung sind nun   xi = ui + vi = ui + p/ui,  i = 1, 2, 3 Zusammenfassend kann man nun also (mit z = u) das folgende Kochrezept angeben: Zu x3 - 3 p x - 2 q = 0, p ≠ 0 gehört die quadratische Gleichung (y-q)2 = q2-p3.  Ist y eine (beliebige) Lösung davon, betrachte die drei Lösungen von z3 = y.  Für jede dieser Lösungen z bekommt man eine Lösung der kubischen Ausgangsgleichung via x = z + p/z.   (1) Gegeben: x3 - 3 p x - 2 q = 0,  p ≠ 0   (2) Löse: (y-q)2 = q2 - p3   (3) Zu einem y aus (2) löse: z3 = y   (4) Zu allen z aus (3) berechne: x = z + p/z Oft wird (1) auch in der Form x3 + p x + q = 0, p ≠ 0 angegeben.  Dann verunstaltet sich das Kochrezept zu   (1') Gegeben: x3 + p x + q = 0,  p ≠ 0   (2') Löse: y2 + q y - (p/3)3 = 0   (3') Zu einem y aus (2') löse: z3 = y   (4') Zu allen z aus (3') berechne: x = z - p/(3z) Übungen (a) x3 - 3 x + 2 = 0 (b) x3 - 12 x - 16 = 0 (c) x3 - 9 x + 28 = 0 (d) x3 + 9 x + 26 = 0 (e) x3 + 6 x - 4 = 0 (f)  x3 - 4 x + 3 = 0 Zuletzt zeig ich dir nun noch, wie man eine beliebige kubische Gleichung in Normalform bringt.  Wir fangen mit einer Gleichung der Form   X3 - 3a X2 + 6b X - 2c = 0,  a ≠ 0 an, und substituieren darin X = x + a.  Die Gleichung wird zu   (x3+3x2a+3xa2+a3) - 3a (x2+2xa+a2) + 6b (x+a) - 2c = 0 Sortieren nach Potenzen von x liefert schließlich   x3 - 3 (a2-2b) x - 2 (a3-3ab+c) = 0 wobei der Koeffizent von x2 verschwunden ist.  Im Prinzip wurde hier einfach der "Trick" von oben angewendet.  Das x = u + v von oben entspricht hier quasi einem X = x + y.  Nach dem Sortieren nach x wird als "Wunsch" eingebracht, dass der Koeffizient von x2 verschwinden soll.  Daraus folgt dann sofort die Gleichung y = a, was direkt der Substitution von oben entspricht. Wir haben nun die kubische Gleichung   X3 - 3a X2 + 6b X - 2c = 0 mittels der Verschiebung X = x + a auf die Form   x3 - 3p x - 2q = 0 gebracht, wobei   p = a2 - 2 b  und   q = a3 - 3 a b + c sind. Jede Nullstelle x0 dieser Gleichung liefert eine Nullstelle X0 = x0 + a der Ausgangsgleichung.  Ist dir das klar? Als Kochrezept bedeutet das nun (mit x = X)   (1) Gegeben: x3 - 3a x2 + 6b x - 2c = 0   (2) Setze: p = a2-2b, q = a3-3ab+c   (3) Löse: (y-q)2 = q2-p3   (4) Für ein y aus (3) löse: z3 = y   (5) Für alle z aus (4) berechne: x = a + z + p/z Man könnte das Kochrezept nun auch für Gleichungen der Form   A X3 + B X2 + C X + D = 0 formulieren, entweder mit A = 1, oder allgemeiner mit A ≠ 0, aber da treten so hässliche Brüche darin auf, das ich das hier zumindest nicht machen möchte.  Du kannst dir entweder selbst überlegen, wie das geht, oder irgendwo nachschlagen, wenn du meinst, du würdest das brauchen. *) Danke Rebecca.  Der von dir verlinkte Artikel hat mich auf die Idee gebracht. [Edit: Fehler korrigiert.  Danke cis. [ Nachricht wurde editiert von Bozzo am 21.05.2012 08:23:17 ]


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John-Doe
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2011-10-27

Danke für den Link. Martin hats wieder mal wunderbar erklärt. Auch Danke für deine Bemühungen Bozzo. lg Johnny


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Ex_Senior
  Beitrag No.4, eingetragen 2012-05-18

\quoteon(2011-10-26 02:41 - Bozzo in Beitrag No. 2) .... Sortieren nach Potenzen von x liefert schließlich   x3 - 3 (a2-2b) x - 2 (a3-3b+c) = 0 ...... \quoteoff Hier ist ein Fehler drin, es muß "...  - 2(a³ - 3 ab + c) ... " heißen - der Fehler taucht auch weiter unten noch zweimal auf. Zudem muß es beim späteren  (3)   "... q2-p3 ..." heißen. Ansonsten nette Anleitung.... M f G C ****************** [ Nachricht wurde editiert von cis am 18.05.2012 08:13:08 ]


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Ex_Senior
  Beitrag No.5, eingetragen 2012-05-19

@ALL: Also die -gemäß #4- korrigierte Anleitung lautet nun \quoteon   (1) Gegeben: x3 - 3a x2 + 6 b x - 2c = 0   (2) Setze: p = a2-2b, q = a3-3ab+c   (3) Löse: (y-q)2 = q2-p3   (4) Für ein y aus (3) löse: z3 = y   (5) Für alle z aus (4) berechne: x = a + z + p/z \quoteoff Ich habe damit mal das Beispiel x³ + 3x² - 6x -1 = 0 aus article.php?sid=483 versucht zu rechnen, Lösungen sollten sein: $ x_1 = 1,48705, ~~ x_2 = -0,15524, ~~ x_3 = -4,33181. $ Streng nach o.g. Anleitung habe ich also (1) $x^3 + 3x^2 - 6x -1 = 0 = x^3 - 3a x^2 + 6bx - 2c $ $  -3a = 3 \Rightarrow a = -1 \\ 6b = -6 \Rightarrow b = -1 \\ -2c = -1 \Rightarrow c = \frac{1}{2} $ (2)$ p = a^2 - 2b = (-1)^2 - 2(-1) = ~ \underline{3 = p} $ $ q = a^3 - 3ab + c = (-1)^3 - 3(-1)(-1) + \frac{1}{2} =   ~ \underline{-\frac{7}{2}  = q} $ (3) $ (y - q)^2 = q^2 - p^3 $ $ (y + \frac{7}{2})^2 = (-\frac{7}{2})^2 - 3^3  = - \frac{59}{4}$  $ \Rightarrow y_{I/II} = -\frac{7}{2} \pm i \frac{\sqrt{59}}{2} $  $ \text{Wahl:} ~ y = \dfrac{-7 + i \sqrt{59}}{2} $ $|y| = \frac{\sqrt{108}}{2} = 3\sqrt{3}$ $\arg(y) = \pi - \arctan(\frac{\sqrt{59}}{7}) := \alpha$ $\Rightarrow y = 3\sqrt{3} ~e^{i \alpha}$ (4) $ z^3 = y $ $\blacklozenge ~~ z_1 = \sqrt[3]{y}  = \sqrt[3]{3\sqrt{3}} ~ e^{i \frac{\alpha}{3}}  = \sqrt{3} ~ e^{i \varphi}$ mit $\varphi = \frac{\alpha}{3} = 44,11454°$ $\Rightarrow x_1  = a + z_1  + \dfrac{p}{z_1} = -1 + \sqrt{3} ~ e^{i \varphi} + \dfrac{3}{\sqrt{3}} e^{-i \varphi}  $ $  = -1  + 2\sqrt{3} ~ \cos(\varphi) = \underline{1,48705 = x_1}  $ $\blacklozenge ~~ z_2 = e^{\frac{2}{3}\pi i}~\sqrt[3]{y}  = \sqrt{3}~e^{i (\varphi + \frac{2}{3}\pi)}$ $\Rightarrow x_2  = a + z_2  + \dfrac{p}{z_2} = -1 + \sqrt{3} ~ e^{i (\varphi + \frac{2}{3}\pi)} + \dfrac{3}{\sqrt{3}} e^{-i (\varphi + \frac{2}{3}\pi)}  $ $ = -1  + 2\sqrt{3} ~ \cos(\varphi + \frac{2}{3}\pi) = \underline{-4,33181 = x_2}  $ $\blacklozenge ~~ z_3 = e^{\frac{4}{3}\pi i}~\sqrt[3]{y}  = -e^{\frac{\pi}{3} i}~ \sqrt{3} ~e^{i \varphi}  = - \sqrt{3}~e^{i (\varphi + \frac{\pi}{3})}$ $\Rightarrow x_3  = a + z_3  + \dfrac{p}{z_3} = -1 - \sqrt{3} ~e^{i (\varphi + \frac{\pi}{3})} - \dfrac{3}{\sqrt{3}} ~e^{-i (\varphi + \frac{\pi}{3})}  $ $ = -1  - 2\sqrt{3} ~ \cos(\varphi + \frac{\pi}{3}) = \underline{-0,15524 = x_3}  $ Meine Frage:   Hat sich erledigt - sollte jetzt alles passen (sogar auf knapp eine Seite). Praktikables Verfahren aus #2 [ Nachricht wurde editiert von cis am 20.05.2012 23:33:22 ] [ Nachricht wurde editiert von cis am 22.05.2012 14:50:30 ]


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Ex_Senior
  Beitrag No.6, eingetragen 2012-05-22

Ich hätte dennoch eine Anschlußfrage. Es tritt hier auf $\cos(\varphi) =  \cos(\frac{\alpha}{3}) = \cos(\frac{\pi - \arctan(\frac{\sqrt{59}}{7})}{3})$ Frage: Gibt es eine Möglichkeit $ \cos(\frac{\arctan(\frac{\sqrt{59}}{7})}{3})$ analytisch zu schreiben, also in Form von ineinadergeschachtelten Wurzeln? M.W. sind ja die Lösungen der kubischen Gleichung algebraisch... Oder führt das zum Problem der Winkeldreiteilung und geht nicht?


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Buri
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  Beitrag No.7, eingetragen 2012-05-22

\quoteon(2012-05-22 08:03 - cis in Beitrag No. 6) Oder führt das zum Problem der Winkeldreiteilung und geht nicht? \quoteoff Hi cis, ja, die Lösung solcher Gleichungen ist äquivalent zur Winkeldreiteilung. Dass die Winkeldreiteilung "nicht geht", bedeutet nur die Unlösbarkeit durch eine geometrische Konstruktion mit Zirkel und Lineal, das heißt die Darstellbarkeit nur mit Quadratwurzeln. Hier sind aber auch dritte Wurzeln zugelassen. Wenn die Lösungen einer kubischen Gleichung alle reell sind, dann spricht man vom "Casus irreducibilis" (= nicht zurückführbarer Fall). Er heißt deswegen so, weil es nicht möglich ist, die Lösung mit Hilfe von reellen Wurzeln auszudrücken. Es geht nur - mit Hilfe von dritten Wurzeln und Quadratwurzeln im Komplexen, oder - mit Winkelfunktionen. Beides ist im Wesentlichen äquivalent, denn für die Berechnung von Wurzeln aus komplexen Zahlen benutzt man die Polardarstellung und rechnet somit mit Winkeln. Gruß Buri


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Ex_Senior
  Beitrag No.8, eingetragen 2012-05-22

Aja, das dachte ich mir schon. Sehr aufschlußreich - danke!


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Ex_Senior
  Beitrag No.9, eingetragen 2018-02-21

\quoteon(2011-10-26 02:41 - Bozzo in Beitrag No. 2) (1) Gegeben: x3 - 3a x2 + 6b x - 2c = 0 (2) Setze: p = a2-2b, q = a3-3ab+c (3) Löse: (y-q)2 = q2-p3 (4) Für ein y aus (3) löse: z3 = y (5) Für alle z aus (4) berechne: x = a + z + p/z \quoteoff Anwendungsbeispiel: $x^3 - x^2 - x - 1 = 0$
  1. Gegeben: x3 - 3a x2 + 6b x - 2c = 0 \ x^3 - x^2 - x - 1 = 0 = x^3 -3a x^2 + 6b x - 2c -3a = -1 => a = 1/3 6b = -1 => b = -1/6 -2c = -1 => c = 1/2
  2. Setze: p = a2-2b, q = a3-3ab+c \ p = a^2-2b = (1/3)^2 -2(-1/6) = 1/9+1/3 = (4/9 = p)__ q = a^3 - 3ab + c = (1/3)^3 - 3(1/3)(-1/6) + 1/2 = (19/27 = q)__
  3. Löse: (y-q)2 = q2-p3 \ (y - 19/27)^2 = (19/27)^2 - (4/9)^3 = 11/27 => y_(1\/2) = 19/27 +- \root(11/27) = (19 +- 3 \root(33))/27
  4. Für ein y aus (3) löse: z3 = y ("Einheitswurzelproblem") \ y_1 = z^3 = (19 + 3 \root(33))/27 => z = root(3, 19 + 3 \root(33))/3 * exp((2\pi k)/3 i) |(k = 0,1,2) => z_1 = root(3, 19 + 3 \root(33))/3 z_2 = root(3, 19 + 3 \root(33))/3 * exp((2\pi)/3 i) z_3 = root(3, 19 + 3 \root(33))/3 * exp((4\pi)/3 i) z_(2\/3) = root(3, 19 + 3 \root(33))/3 * (-1/2 +- i root(3)/2)
  5. Für alle z aus (4) berechne: x = a + z + p/z \ Mit (root(3, 19 + 3 \root(33))/3 =: \alpha)__ | (\approx 1.1030) ( x_1 )____ = a + z_1 + p/z_1 = (1/3 + \alpha + 4/(9 \alpha) \approx 1.83)____ ( x_(2\/3) )____ = a + z_(2\/3) + p/z_(2\/3) = 1/3 + \alpha * (-1/2 +- i root(3)/2) + 4/(9 \alpha * (-1/2 +- i root(3)/2) = ((1/3 - 1/3 \alpha - 2/(9 \alpha)) +- i root(3)/2 (\alpha - 4/(9 \alpha)) \approx -0.42 +- 0.61 i)____ Bzw. ausgeschrieben: x_1= 1/3 + root(3, 19 + 3 \root(33))/3 + 4/(9 root(3, 19 + 3 \root(33))/3) x_(2\/3) = (1/3 - 1/3 root(3, 19 + 3 \root(33))/3 - 2/(9 root(3, 19 + 3 \root(33))/3)) |+- i root(3)/2 ( root(3, 19 + 3 \root(33))/3 - 4/(9 root(3, 19 + 3 \root(33))/3))
PS: Ein ähnlich schrittiges Verfahren gibt es für die Quartische Gleichung 4. Ordnung.



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hyperG
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  Beitrag No.10, eingetragen 2018-02-21

\quoteon(2012-05-22 08:03 - cis in Beitrag No. 6) Ich hätte dennoch eine Anschlußfrage. Frage: Gibt es eine Möglichkeit $ \cos(\frac{\arctan(\frac{\sqrt{59}}{7})}{3})$ analytisch zu schreiben, also in Form von ineinadergeschachtelten Wurzeln?... \quoteoff Ja, das hatten wir bereits alles schon unter dem Beitrag : cos(atan(sqrt(59)/7)/3) = 1/2 sqrt(1/6 (12 + 18/(1/2 (-5 + 7 i sqrt(59)))^(1/3) + 2^(2/3) (-5 + 7 i sqrt(59))^(1/3))) =1/2 sqrt(2 + 3/(1/2 (-5 + 7 i sqrt(59)))^(1/3) + 1/3 (1/2 (-5 + 7 i sqrt(59)))^(1/3)) ABER nein, es wird immer wieder zur 200 Jahre alten Formel gesprungen, zig Seiten vollgeschrieben -> die Leute abgeschreckt... Wo es doch bereits die fertige - Fallunterscheidungsfreie - PQRST-Formel (Nachfolger ) gibt. etwa 5 Werte ausrechnen und fertig sind die 3 Lösungen. @John-Doe: Unter Nullstellenrechner kannst Du Dir Cardanische & PQRST-Formel vorrechnen lassen.


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Ex_Senior
  Beitrag No.11, eingetragen 2018-02-21

\quoteon(2018-02-21 22:44 - hyperG in Beitrag No. 10) a. cos(atan(sqrt(59)/7)/3) =... b. Wo es doch bereits die fertige - Fallunterscheidungsfreie - PQRST-Formel (Nachfolger) gibt. \quoteoff a. Kannst Du bitte, der besseren Lesbarkeit willens, einen fed-Rahmen editieren? \ cos(atan(sqrt(59)/7)/3) = ... b. Dann gehe ich davon aus, dass das Deine Seite ist und Du Dein Kind im Arme schmiegen möchtest. Ich sage einmal so: Vom theoretischen Standpunkt her sehr gut. Wenn ich beispielsweise etwas programmieren wollte, was mir die Lösungen der kubischen Gleichung ausgibt, würde ich natürlich die PQRST-Formel bevorzugen. Geht es mir, im Unterschied dazu, um ein Verfahren, was ich auch mit Block und Bleistift ausführen kann, finde ich das Verfahren von Bozzo übersichtlicher und auch merkbarer.


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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.12, eingetragen 2019-04-14

\quoteon(2011-10-26 02:41 - Bozzo in Beitrag No. 2) (1) Gegeben: x3 - 3a x2 + 6b x - 2c = 0 (2) Setze: p = a2-2b, q = a3-3ab+c (3) Löse: (y-q)2 = q2-p3 (4) Für ein y aus (3) löse: z3 = y (5) Für alle z aus (4) berechne: x = a + z + p/z \quoteoff Was ist eigentlich, wenn p und q beide gleich 0 sind? \ Beispiel: (x-1)^3 = x^3-3x^2+3x-1 = 0 = x^3-3ax^2+6bx-2c (1) -3a = -3 => a= 1 6b = 3 => b = 1/2 -2c = -1 => c = 1/2 (2) p=a^2-2b = 1^2-2 * 1/2 = 0 q = a^3-3ab+c = 1^3 -3*1*1/2 +1/2 = 0 (3) (y-q) = q^2-p^3 <=> (y-0) = 0^2-0^3 = 0 <=> y=0 (4) z^3 = 0 => z_(1\/2\/3)=0 (5) x = a + z + p/z -> \red error €dit: Ach so, dann muss man wohl sagen p/z = 0. Mmmh, müsste man als Fallunterscheidung in das Verfahren aufnehmen.


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