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Mechanik » Dynamik des starren Körpers » Dominosteine - Fallzeit
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Kein bestimmter Bereich J Dominosteine - Fallzeit
Phobos
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  Themenstart: 2004-03-03

Hallo! Ich habe eine nicht ganz einfache Frage, bisher konnte mir noch niemand helfen. Ich möchte für ein Schulprojekt (Thema Kettenreaktion) die Fallzeit von einer Reihe Dominosteinen berechnen. Kann mir jemand erklären, wie das geht? Also, welche Angaben man braucht usw. Es funktioniert aber auf jeden Fall irgendwie, denn ich habe im Internet einen Beitrag zum "Domino Day" gefunden und dort stand, dass Experten eine Fallzeit von 90 Minuten berechnet haben. Danke schon mal, Phobos.  :-)


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Eckard
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  Beitrag No.1, eingetragen 2004-03-03

Hi Phobos, alter Marsmond, sei willkommen auf dem Physikplaneten mit solchen Fragen! Das könnte ein langer thread werden. Weil das Problem zwar komplex, aber trotzdem elementar berechenbar ist, ist es schön. Wenn alle Steine die gleiche Breite haben, kann alles zweidimensional betrachtet werden. Wir brauchen zunächst einheitliche Bezeichnungen: Länge der Steine: l Höhe der Steine: h Masse der Steine: m lichte Weite zwischen den Steinen: a Ich mach mal 'nen Bild, bevor wir mit Trägheitsmomenten usw. anfangen. Ok? Gruß Eckard


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Phobos
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2004-03-03

Danke! Das ist ja schon mal ein Anfang! Falls es zu schwierig wird, das hier zu erläutern, reichen auch nur ein paar Angaben zur Berechnung. Den Rest darf mir dann mein Physiklehrer erklären. Aber ein bisschen was wüsste ich halt schon gerne vorher. :-D


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buh
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  Beitrag No.3, eingetragen 2004-03-03

So etwa? Bild Gruß von buh


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Eckard
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  Beitrag No.4, eingetragen 2004-03-03

S sei der Schwerpunkt des ersten Steins. Als erstes müssten wir klären, wie das Ganze losgehen soll. Soll sich S direkt über dem Kipppunkt befinden (labiles Gleichgewicht), so dass der erste Stein mit der Anfangsgeschwindigkeit 0 nach rechts kippt? Gruß Eckard


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Eckard
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  Beitrag No.5, eingetragen 2004-03-03

@buh: Ja, genau! Richtig schöne Newtonsche Mechanik. A sei der Drehpunkt. Dann ist das Trägheitsmoment J bezüglich Drehpunkt A: J=1/12|m|(l^2+h^2)+m|1/4|(l^2+h^2)=m/3|(l^2+h^2) Der Anfangskippwinkel sei \phi_0=arctan(l/h), der Endkippwinkel ist dann \phi_1=arcsin(a/h). Jetzt wird der Stein infinitesimal wenig nach rechts angestubst. Wir brauchen nun noch das Drehmoment in Abhängigkeit vom momentanen Kippwinkel phi, um die Winkelbeschleunigung beim Kippen ausrechnen zu können: M=1/2|sqrt(l^2+h^2)|m|g|sin\phi =>\phi^**=\a=M/J=3/2|g/sqrt(l^2+h^2)|sin\phi Das wäre die Differentialgleichung für die Kippbewegung. Die Bewegung läuft dann von phi_0 bis phi_1. Ist das ok? Gruß Eckard


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Jonas_Rist
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  Beitrag No.6, eingetragen 2004-03-04

Hm, dann müsste man beim zweiten Stein als Anfangsbedingung noch berücksichtigen, dass dieser nun nicht mehr infinitesimal angestoßen wird, sondern schon einen bestimmten Drehimpuls durch das Auftreffen des ersten Steins bekommt. Der dritte Stein würde dann wieder einen stärkeren Stoß bekommen. Vermutlich wird sich irgendwann sowas wie ein stationärer Zustand einstellen, sodass der Impulsübertrag von einem Stein auf den nächsten konstant bleibt?! Mfg Jonas


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Eckard
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  Beitrag No.7, eingetragen 2004-03-04

Hi Jonas, genau so ist es. Das mit dem Impulsübertrag werden wir dann sehen, aber ich denke, dass deine Idee vernünftig ist. Wenn die DGL korrekt aufgestellt ist, muss sie gelöst werden, um phi=phi(t) auszurechnen. Daraus kann dann die Zeit, die der Stein bis zum Anstoßen des Nachbarsteins benötigt, bestimmt werden. Leider ist die DGL verflixt nichtlinear und die übliche Linearisierung "sin(phi) rund phi" ist nur für kleine Kippwinkel phi gerechtfertigt (unser Kippwinkel phi1 ist hier gerade nicht klein). Ich erwähne das nur, weil eine kleine Ungenauigkeit in der Berechnung einer "Einzelkippzeit" sich für eine lange Kette natürlich aufsummiert. Ist etwas dagegen zu sagen? Gruß Eckard


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Jonas_Rist
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  Beitrag No.8, eingetragen 2004-03-04

Hi Eckard, wie kommst du auf das Drehmoment? Eine reine Drehung führt ja nur der Punkt im linken oberen Eck aus, der Hebelarm ist dann sqrt(l^2+h^2). Aber wie bekommt man dann die tangentiale Kraft? Und zu der DGL: Kann man sowas überhaupt analytisch lösen??


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Eckard
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  Beitrag No.9, eingetragen 2004-03-04

Hi Jonas, warum? Alle Massenelemente des starren Körpers führen eine reine Drehung aus. Das Drehmoment ist M^-=r^- x F^-|, wobei r^- vom Drehpunkt A zum Kraftangriffspunkt S (Schwerpunkt) zeigt und F=m|g die in S angreifende Gewichtskraft ist. =>M^-=r|F|sin\phi=1/2|sqrt(l^2+h^2)*m|g*sin\phi mit r=1/2|sqrt(l^2+h^2) als halber Diagonalenlänge. Solch eine DGL kann man nur numerisch lösen, es dürften elliptische Integrale auftreten. Für unsere praktische Berechnung reicht es, wenn einige Terme der Reihenentwicklung mitgeschleppt werden. Gruß Eckard


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mehrdennje
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  Beitrag No.10, eingetragen 2004-03-04

Wenn ich versuche die DGL zu lösen komme ich mal wieder auf so was: int(1/sqrt(c_1-(3*g*cos(\alpha))/(sqrt(h^2-l^2))),\alpha) = t + c_2 mehrdennje. [ Nachricht wurde editiert von mehrdennje am 2004-03-04 13:04 ]


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Jonas_Rist
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  Beitrag No.11, eingetragen 2004-03-04

@Eckard: Alles klar ich stand auf der Leitung.


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Eckard
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  Beitrag No.12, eingetragen 2004-03-04

Hi mdj, drei Fragen hab ich dazu: 1. Warum sqrt(h^2-l^2); 2. Was ist alpha; 3. Wie lauten die Grenzen des linken Integrals? Hab gerade in einem tollen Maple-Buch (von Addison-Wesley) beim Blättern in einer Buchhandlung entdeckt, dass Maple DGLen auch numerisch per Reihenentwicklung löst. Zusätzlich müsste ja die Funktion phi(t) noch in t(phi) invertiert werden. Zu Fuß -> Wahnsinn. Das wäre doch etwas für den Maple-Fan Sonnhard! Huhu Sonnhard, kannst du das mal probieren? Gruß Eckard


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Jonas_Rist
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  Beitrag No.13, eingetragen 2004-03-04

Wie löst man denn so eine DGL numerisch? Entwickelt man den Sinus und integriert dann?


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mehrdennje
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  Beitrag No.14, eingetragen 2004-03-04

Alpha ist das gleiche wie bei dir das Phi, vielleicht hätte ich es auch so nenne sollen. Die Grenzen gehen wie du schon geschrieben hast von phi_0 bis phi_1. Der Wurzelausdruck kommt bei meiner Rechnung nun mal so raus, probiers doch selber... aber das hat ja eh keinen Sinn wenn ihr es numerisch machen wollt. mehrdennje.


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Eckard
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  Beitrag No.15, eingetragen 2004-03-04

Hallo mehrdennje, wollen ist gut, müssen ist besser; es wird nicht anders gehen. Aber du kannst ja mal deinen Weg in den Grundzügen posten. Vor allem interessiert mich, wie du schon auf eine explizite Zeitdarstellung kommst. Das würde einiges vereinfachen. ;-) Gruß Eckard


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mehrdennje
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  Beitrag No.16, eingetragen 2004-03-05

Wie man darauf kommt? Gute Frage, eine Sustitution wäre vielleicht nicht schlecht. Ganz ehrlich: Ich habe die Lösung durch einen Algorithmus erhalten, der eigentlich nur zur Lösung von lin. Diff. bis 2. Ordung mit konstanten Koeffizienten implementiert wurde, das hier kann er natürlich nicht lösen. Also, ich bin nicht selber auf diesen Ausdruck gekommen, kann deswegen nicht sagen, wie man darauf kommt, versuche gerade ein paar Rechungen.... mehrdennje


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Schnabbert
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  Beitrag No.17, eingetragen 2004-03-05

Auch in der Welt der Mathematik und Physik geschehen manchmal Wunder ... :-) MfG


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mehrdennje
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  Beitrag No.18, eingetragen 2004-03-05

@Schnabbert: Was hat das zu bedeuten?


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Eckard
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  Beitrag No.19, eingetragen 2004-03-05

Ich glaube, ihr ruht euch hier ein wenig aus. Das mit der Fallzeit ist ja nur die halbe Miete, danach geht es mit dem Stoß des ersten Steins an den zweiten weiter. Da gibt es ebenfalls viel zu rechnen. Wer will noch mal, wer hat noch nicht? Grundsätzliche Frage: Elastischer Stoß oder ineleastischer Stoß? Die Auftreffgeschwindigkeit kurz vor dem Stoß kann man allerdings elementar aus dem Energiesatz herleiten. Wer macht das? Gruß Eckard


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Schnabbert
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  Beitrag No.20, eingetragen 2004-03-05

Was hat das zu bedeuten? @mehrdennje: War nur ein kleiner Vorgriff auf das, was Eckard gerade sagte: Der zweite Teil muss noch gelöst werden. Den ersten Teil hatten wir hier übrigens schon vor einigen Wochen gelöst, wenn ich nicht irre. MfG


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Eckard
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  Beitrag No.21, eingetragen 2004-03-05

@Schnabbert: Die Karikatur ist klasse! Übrigens sind diese Art von Karikaturen, wo Mathematiker irgendwelche Formeln an die Tafel schreiben inhaltlich so was von daneben; da stimmt ja nun gar nischt! Das wollte ich mal nicht unerwähnt lassen. *lol* Gruß Eckard


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Jonas_Rist
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  Beitrag No.22, eingetragen 2004-03-06

Ich hab mal versucht, die Geschwindigkeit herzuleiten... \ mit L=1/2 sqrt(l^2+h^2) L-h=Cos(\phi)*L => h=L*(1-Cos(\phi)) Energiesatz: m*g*h=1/2*m*v_s^2=>v_s=sqrt(2*g*h)=sqrt(g*sqrt(l^2+h^2)*(1-Cos(\phi)) v_s ist dann die Bahngeschwindigkeit des Schwerpunkts. Daraus folgt für die Winkelgeschwindigkeit \omega=v_s/L Was den Stoß angeht: der wird wohl kaum elastisch sein, oder? mfg Jonas


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Jonas_Rist
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  Beitrag No.23, eingetragen 2004-03-06

\ Nachtrag: So wie der Winkel bis jetzt bezeichnet wurde ist mein \phi=\phi_1-\phi_0


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