Die Mathe-Redaktion - 20.09.2018 01:28 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt1 im Schwätz / Top 15
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 343 Gäste und 8 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Funktionalanalysis » Magerer Teilraum eines Banachraumes.
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Magerer Teilraum eines Banachraumes.
BeStelt
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 25.05.2018
Mitteilungen: 19
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-27

\(\begingroup\)
Hallo zusammen.
Ich steh erneut vor einem kleinen Problem, bei dem ich langsam die Übersicht über sämtliche Eigenschaften verliere...
Das Problem lautet folgendermaßen:

fed-Code einblenden

Es ist schon klar, dass D kein Banachraum ist und laut des Graphensatzes ein echter Teilraum von X ist.
Um zu zeigen, dass D mager in X ist, nehme ich an, dass D es ist und möchte zu einem Widerspruch kommen.

Sei also D nicht mager in X.
Dann gibt es ein inneres Element d in D und ein \(\epsilon>0\), sodass der offene Ball B(d,\(\epsilon\)) in D enthalten ist.

Zum Problem gibt es noch den Hinweis, dass für die Abbildung \(P: G(T) \to X\) mit \((x,T(x)) \to x\) der Satz angewendet werden kann, dass wenn Urbildmenge Banachraum, P linear und stetig, P(G(T)) nicht mager in X ist, dann ist P offen und surjektiv.
Mit dem definierten P ist das auch alles klar, also ist P vor allem offen.
Das hilft mir allerdings recht wenig, wenn ich einen offenen Ball um ein Element d in D betrachten möchte.
Übrigens, T abgeschlossen heißt, dass \(\|T\|=\sup\{\|T(x)\|; x\in D, \|x\|\leq1\}=\infty\).

Vielen Dank schonmal für eventuelle Hinweise und Ideen zum Lösen.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
LeBtz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.04.2015
Mitteilungen: 1117
Aus: dem Meer
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-27


Hallo,


Übrigens, T abgeschlossen heißt, dass <math>\|T\|=\sup\{\|T(x)\|; x\in D, \|x\|\leq1\}=\infty</math>.

Nein, <math>T</math> abgeschlossen heißt, dass der Graph abgeschlossen ist, das hättest du also garnicht zusätzlich schreiben brauchen. Die Bedingung, die du hingeschrieben hast, bedeutet, dass <math>T</math> unbeschränkt ist.

Ich verstehe dein Problem nicht ganz. Mit dem von dir zitierten Satz müsste <math>P</math>, wenn <math>D</math> nicht mager ist surjektiv sein. Es ist aber <math>P(G(T)) = D\neq X</math>.

Ich kenne diesen Satz zwar nicht, aber wenn du ihn verwenden darfst, ist doch nichts mehr zu tun!?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
shipwater
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.03.2010
Mitteilungen: 415
Aus: Karlsruhe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-05-28


Hi,

2018-05-27 23:30 - LeBtz in Beitrag No. 1 schreibt:
Ich kenne diesen Satz zwar nicht, aber wenn du ihn verwenden darfst, ist doch nichts mehr zu tun!?

du findest das zum Beispiel hier als Theorem 7.15, falls es dich interessiert. Ist also am Ende nur eine andere (stärkere) Version vom Satz von der offenen Abbildung.

Gruß Shipwater



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
BeStelt
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 25.05.2018
Mitteilungen: 19
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-28

\(\begingroup\)
2018-05-27 23:30 - LeBtz in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,


Übrigens, T abgeschlossen heißt, dass <math>\|T\|=\sup\{\|T(x)\|; x\in D, \|x\|\leq1\}=\infty</math>.

Nein, <math>T</math> abgeschlossen heißt, dass der Graph abgeschlossen ist, das hättest du also garnicht zusätzlich schreiben brauchen. Die Bedingung, die du hingeschrieben hast, bedeutet, dass <math>T</math> unbeschränkt ist.

Oh, ja, entschuldigung. Ich meinte ja auch Unbeschränktheit; nicht Abgeschlossenheit.

2018-05-27 23:30 - LeBtz in Beitrag No. 1 schreibt:
Ich verstehe dein Problem nicht ganz. Mit dem von dir zitierten Satz müsste <math>P</math>, wenn <math>D</math> nicht mager ist surjektiv sein. Es ist aber <math>P(G(T)) = D\neq X</math>.

Ich kenne diesen Satz zwar nicht, aber wenn du ihn verwenden darfst, ist doch nichts mehr zu tun!?

Wieso ist denn <math>P(G(T)) = D</math>?
G(T) wurde bei uns einfach nur als \(\{(x,T(x)); x\in X\}\) definiert. Schließt das etwa schon alle x aus, die von T nicht abgebildet werden?
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
shipwater
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.03.2010
Mitteilungen: 415
Aus: Karlsruhe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-05-28

\(\begingroup\)
Hi,

2018-05-28 00:31 - BeStelt in Beitrag No. 3 schreibt:
Wieso ist denn <math>P(G(T)) = D</math>?
G(T) wurde bei uns einfach nur als \(\{(x,T(x)); x\in X\}\) definiert. Schließt das etwa schon alle x aus, die von T nicht abgebildet werden?

es muss \(G(T)=\{(x,Tx): x \in D\}\) heißen. \(T\) ist ja schließlich nur auf \(D\) definiert.

Gruß Shipwater
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
BeStelt
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 25.05.2018
Mitteilungen: 19
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-28


Ok, das macht Sinn.
Nur verstehe ich dann nicht, warum zum Beispiel Unbeschränktheit von T gegeben ist.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
LeBtz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.04.2015
Mitteilungen: 1117
Aus: dem Meer
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-05-28


Weil sonst D = X gelten könnte.

@shipwater: Danke für den Hinweis.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
BeStelt
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 25.05.2018
Mitteilungen: 19
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-28


Achja, natürlich. Danke.

Jetzt ist mir allerdings noch aufgefallen, dass es gar nicht unbedingt klar ist, dass P auch stetig ist, da T unbeschränkt ist.
Wir hatten mal die Äquivalenz, dass wenn T stetig in 0 ist, dann ist T beschränkt.
Wie zeige ich also dann Stetigkeit mit einem Produktraum als Urbild?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
LeBtz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.04.2015
Mitteilungen: 1117
Aus: dem Meer
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-05-28


Hallo, die Beschränktheit von P ist ziemlich klar. Mach dir klar, welche Norm du auf <math>X\times X</math> hast. Dann solltest du sofort sehen, dass <math>\|x\|\leq \|(x,Tx)\|</math>.

Edit: Übrigens, das mit der Stetigkeit in 0 wird eigentlich als Stetigkeitskriterium nie benutzt. Gewöhnlich zeigt man Beschränktheit, also <math>\|Ax\|\leq c\|x\|</math> für irgendein festes <math>c</math> oder benutzt später irgendwelche Sätze (abgeschlossener Graph o.Ä.)



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
BeStelt hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
BeStelt hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2018 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]