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 Diskrete Lösung einer DGL 1. Ordnung, inhomogen |
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berryloly
Neu 
Dabei seit: 19.09.2018
Mitteilungen: 2
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Hi matheplanet!
Leider komme ich bei meinem Problem nicht weiter, weshalb ich mich nun an Euch wende, in der Hoffnung Hilfe zu bekommen.
Ich habe folgende DGL:
  
\ d/dt (\Delta\alpha) = (Z_\alpha/V_0)*\Delta\alpha + (Z_V/V_0)*\Delta V_A + q
Es handelt sich hierbei um die abgespeckte DGL der Längsbewegung eines Flugzeugs. Sie entsteht durch die Linearisierung einer nicht-linearen DGL um einen Arbeitspunkt (Index 0), welcher konkret einen stationären Flugzustand beschreibt.
Es gilt:
\ \alpha = \Delta \alpha + \alpha_0 Anstellwinkel -> d/dt (\Delta\alpha) = d/dt (\alpha - \alpha_0) = d/dt (\alpha) V_A = \Delta V_A + V_0 Anströmgeschwindigkeit q Nickrate Z_\alpha , Z_V sind Ersatzgrößen, selbst abhängig vom Staudruck und damit zeitlich veränderlich.
Nun die Schwierigkeit:
Ich kann diese DGL nicht analytisch lösen, denn ich habe
\ V_A
\ \alpha
Ich selbst kann diese DGL nur lösen, wenn ich sie reduziere auf die Form:
\ d/dt (\Delta\alpha) = (Z_\alpha/V_0)*\Delta\alpha + q
allg:
\ d/dt (x) = A*x + B*u
Hierfür habe ich dann die Lösungsformeln:
\ A_d = exp(A*T) B_d = (1/A)*(exp(A*T)-1)*B
und es ergibt sich die diskrete DGL:
\ x_(k+1) = A_d*x_k + B_d*u_k
Hier habe ich aber bereits meine Zweifel, ob ich mit den
\ \Delta\alpha
\ \alpha_(k+1) = \alpha_k*exp(T*Z_\alpha/V_0) + (V_0/Z_\alpha)*(exp(T*Z_\alpha/V_0)-1)*q - exp(T*Z_\alpha/V_0)*\alpha_0
Das
\ \alpha_0
Bereits jetzt bedanke ich mich für jede Bemühung und wünsche einen schönen Tag!
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berryloly
Neu 
Dabei seit: 19.09.2018
Mitteilungen: 2
|      Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-10
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also ich persönlich würde mich auch nach 1 Jahr noch um eine Antwort freuen, da die Thematik für mich immer noch aktuell ist.
An was liegt's denn? Problematik nicht korrekt beschrieben? Thema zu schwer?
PS: hier wird der Anstellwinkel eines Flugzeugs über seine Nickrate abgeschätzt. Je weniger Vereinfachungen ich mache, desto besser wird die Schätzungen, jedoch zum Nachteil einer für mich unlösbaren Differenzengleichung.
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Link | Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
MontyPythagoras
Senior 
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 2073
Aus: Hattingen
 | Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-14
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Hallo berryloly,
es liegt an nichts von alledem. Du hast das Problem nicht vollständig beschrieben. Bei weitem nicht. Du hast 100 Variablen darin, und alles was Du uns mitteilst, ist, dass sie zeitlich veränderlich sind. Aber wie? Zum Teil sind es Messwerte (z.B. $q$), aber wie ist es mit den anderen? Sind es Funktionen, oder auch Messwerte? Sind sie alle in der gleichen Abtastrate gemessen worden? Abhängig von den Antworten gibt es unterschiedliche Möglichkeiten:
1. Die Bequeme: es gibt Software, die sowas lösen kann.
2. Für den Do-it-yourself-Typ:
- Du könntest durch Best-Fit-Methoden versuchen, die Messwerte zumindest abschnittweise durch Funktionen (z.B. Polynome) ersetzen. Sehr aufwendig.
- Du könntest die Ableitung durch den Differenzenquotienten ersetzen und über die Zeit schlicht die Werte für $\alpha$ iterativ berechnen. (Daher die Frage, ob alles mit der gleichen Abtastrate aufgezeichnet wurde). Du könntest sogar durch fortgesetzte Ableitung der DGL höhere Ableitungen berechnen und $\alpha$ als Taylorreihe berechnen. Allerdings brauchst Du dafür auch die höheren Ableitungen der anderen Größen, die man dann wohl auch wieder nur per Differenzenquotienten bestimmen kann.
- Es gibt diverse Standardverfahren, um DGLs dieser Art numerisch zu lösen, siehe z.B. Runge-Kutta.
Die Wahl der Methode hängt sowohl von Deinen Vorkenntnissen als auch von Art, Umfang und Qualität der Messdaten ab.
Ciao,
Thomas
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