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Teilbarkeit » Kongruenzen » Beweis einer Kongruenz mit quadratischer Unbekannten
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Autor
Universität/Hochschule J Beweis einer Kongruenz mit quadratischer Unbekannten
mko
Neu Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 22.10.2018
Mitteilungen: 4
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-10-22 20:23


Hallo Forengemeinde,

gegeben ist folgendes Beispiel:

"Man bestimme alle Lösungen der Kongruenz bzw. der Unlösbarkeit in fed-Code einblenden ":

fed-Code einblenden

Folgender Ansatz: Es gelte fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

Auf unsere Äquivalenz angewandt, heißt dies dann:

x^2 = 3 * k + 1

Daraus dann die Wurzel ist: fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

Durch probieren mit k = 0 und k = 1 erhalte ich die Lösungen x1 = 1 und x2 = 2. Für k = 3 existiert wiederum keine Lösung, jedoch für k = 5, was x = 4 ergibt, was in der selben Restklasse wie 1 bzgl. mod 3 liegt usw.

Ist die genannte Lösung ein allgemein gültiges Verfahren oder ist es nur Zufall, dass hier die korrekten Lösungen herauskommen?

Ich würde mich sehr über Feedback freuen!





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qwertzusername
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.06.2015
Mitteilungen: 1216
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-10-22 20:52


Hallo und willkommen auf dem Matheplaneten,

dein Verfahren ist kein allgemein gültiges Verfahren.

Du arbeitest modulo 3.
Es gibt hier genau 3 verschiedene Werte.
Probier Sie einfach durch.

Alternativ kannst du argumentieren, dass du in einem Körper bist.



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weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4264
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-10-22 21:25

\(\begingroup\)
@mko

Ist $p>2$ eine Primzahl, so hat die Kongruenz

$x^2\equiv 1 \mod p$

genau die zwei Lösungen $\pm 1 \mod p$. Vetreter der entsprechenden Restklassen mod $p$ kann man finden, indem man für $k=0$ bzw. $k=p-2$ den Ausdruck

$\sqrt{pk+1}$

auswertet.

Ich weiß jetzt ehrlich gesagt nicht, ob dich das wirklich zufriedenstellt, es ist jedenfalls die einzige Möglichkeit einer Verallgemeinerung, die ich hier im Moment sehe.
\(\endgroup\)


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maxpower1984
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.12.2006
Mitteilungen: 67
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-10-23 08:22


Hallo!

Wie qwertzusername schon sagt, gibt es nur drei Werte, die du probieren musst. Er hat aber übersehen, dass du alle ganzen Zahlen, für die die Gleichung gilt angeben sollst.

Ich zeige dir ein Beispiel, den Rest machst du selbst:

fed-Code einblenden



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weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4264
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-10-23 13:07

\(\begingroup\)
2018-10-23 08:22 - maxpower1984 in Beitrag No. 3 schreibt:
Das sind aber noch nicht alle Lösungen. Es gibt noch zwei Werte, die du probieren musst.

Wenn der Modul eine Primzahl $p$ ist, so wie hier, kann man sich dieses "Probieren" auch ersparen. Es gilt dann nämlich

$x^2\equiv 1 \mod p\Leftrightarrow p\mid x^2-1=(x-1)(x+1)\Leftrightarrow p\mid x-1 \lor p\mid x+1\Leftrightarrow x\in \{\pm1+kp|k\in \mathbb Z\}$

wobei in der zweiten Äquivalenz die Primzahleigenschaft von $p$ ganz wesentlich verwendet wurde, d.h., diese braucht man hier.
\(\endgroup\)


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maxpower1984
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.12.2006
Mitteilungen: 67
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-10-23 16:40


Du hast selbstverständlich recht. Aber es sah mir sehr nach einer Anfängeraufgabe aus. Da war ich mir nicht so sicher, ob die Aussage "teilt eine Primzahl ein Produkt so teilt sie einen der Faktoren" als bekannt vorausgesetzt werden darf.



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mko
Neu Letzter Besuch: im letzten Monat
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-27 12:22


Danke an alle für die Antworten/Beiträge.



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mko hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
mko hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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