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Funktionenfolgen und -reihen » Fourierreihen » Cosinus-Reihe: maximale Amplitude minimieren durch Phasenwinkeloptimierung
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Universität/Hochschule Cosinus-Reihe: maximale Amplitude minimieren durch Phasenwinkeloptimierung
nsosquarsa
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 25.10.2011
Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-02-14


Hallo,


ich habe eine Frage zu folgender Problemstellung:

fed-Code einblenden

Bestimme die Phasenwinkel Phi so, dass die Amplitude von abs(f(x)) minimal wird.

Zur Erklärung:

Wenn alle Phasenwinkel den Wert 0° haben und n gegen unendlich geht, liegt eine periodische Folge von Diracimpulsen vor mit der Periode 2Pi.

In meinem Fall will ich die Reihe bis n=4 aufstellen.


Darstellung von f(x) vor der Einstellung



Wenn ich die Phasenwinkel bei 0° definiere ist mein maximaler Funktionswert fmax=4 an den Stellen x1=0 und x2=2Pi usw... Durch geschicktes Einstellen der Phasenwinkel kann die maximale Amplitude über die gesamte Periode verkleinert werden.


Darstellung von f(x) nach der Einstellung



Leider habe ich keine Ahnung mit welchen Ansatz man dieses Problem lösen könnte, sodass ich es auch z.B. für n=1000 verwenden könnte.

Hat jemand von euch eine Idee wie man eine analytische Lösung für das Problem finden könnte?





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rlk
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.03.2007
Mitteilungen: 10447
Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-02-20 23:47


Hallo nsosquarsa,
das ist eine interessante Aufgabe. In dem Buch Number Theory in Science and Communication: With Applications in Cryptography, Physics, Digital Information, Computing and Self-similarity von R. Schroeder werden mehrere Ansätze beschrieben: (1) quadratische Phase $\phi_n = \frac{\pi}{N} n^2$ für die $n$-te Teilschwingung, (2) Rudin-Shapiro-Polynome sowie Signale der Form
$$s(t)=\Re\left(\sum_{n=1}^N b_n \exp(i n t)\right)$$
wobei die Koeffizienten $b_n\in\{-1,1\}$ entweder (3) durch Legendre-Symbole
$$b_n=\left(\frac{n+m}{p}\right)$$
mit einer Primzahl $p=N+1$ oder (4) durch eine lineare Differenzengleichung über $\IF_2$ vom Grad $m$ bestimmt werden. Im letzten Fall ist $N=2^m-1$.

Ich hoffe, das hilft Dir,
Roland



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nsosquarsa
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 25.10.2011
Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-21 15:04


Hallo Roland,

vielen Dank für deine Antwort! Ich hatte schon befürchtet, dass es keine Lösung zu dem Problem gibt. Ich habe mir das Buch ausgeliehen und das entsprechende Kapitel angeschaut. Darin steht tatsächlich exakt das, was ich brauche.

Ich habe mich letzt endlich für die quadratische Phase entschieden und das Ganze so umgesetzt:

fed-Code einblenden

Das liefert mir folgenden Funktionsverlauf für abs(f(x)):



Die Lösung ist zwar nicht perfekt, aber sehr nah am Optimum. Ich vermute der optimale Funktionsverlauf hätte die maximale Amplitude bei fed-Code einblenden
Für meine Zwecke (Signalübertragung) ist das aber völlig ausreichend!

Noch ein kleiner Zusatz für Nachrichtentechniker: Man kann mit der quadratischen Phasengleichung auch Notching (Harmonische auslassen) durchführen, ohne das die maximale Amplitude groß ansteigt!

Für folgende Gleichung

fed-Code einblenden

ergibt sich folgendes Bild



Wie man sehen kann, wäre "genug Platz" um die maximale Amplitude nochmehr zu minimieren, wenn Harmonische ausgelassen werden.

Ich melde mich nochmal, wenn ich was neues habe.

Beste Grüße!













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