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Differentiation » Mehrdim. Differentialrechnung » Unterschiede von verschiedenen Definitionen der Differenzierbarkeit
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Universität/Hochschule Unterschiede von verschiedenen Definitionen der Differenzierbarkeit
iwanttolearnmathe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-27


Hallo zusammen  smile


Ich hab ein paar Fragen zu den Unterschieden von partiellen und totalen Diffbarkeit. Also speziell zu den Richtungsableitungen.

Soweit ich es verstanden habe bedeuten die Richtungsableitungen das, wenn sie existieren, dass der Punkt in allen Richtungen eine Ableitung hat und wenn sie fed-Code einblenden ist, das die Funktion in dem Punkt eine approximierende lineare Abbildung hat. Jetzt gibt es aber Beispiele bei dem alle Richtungsableitungen existieren aber die Funktion fed-Code einblenden diffbar ist, was mir nicht klar ist. Wenn doch alle Richtungsableitungen existieren kann man doch diese Funkion mit einer Linearen Abbildung appromieren in dem Punkt, woran scheitert das?



Was ist der Unterschied von stetig diffbar und total differenzierbar?



Warum impliziert denn stetig partiell diffbar <=> stetig total diffbar
aber fed-Code einblenden total diffbar => stetig partiell diffbar?

Was ist denn der Unterschied von den einzelnen Definitionen? Partielle Ableitungen sind doch die Ableitung in eine Richtung, wieso scheitert es das bei der totalen Diffbarkeit nicht alle partiellen ableitungen stetig sind?

Hoffe ihr könnt mir helfen

Beste Grüße Jan




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iwanttolearnmathe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-28


Kann mir da wer was zu sagen? :D



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-06-28


2019-06-27 01:07 - iwanttolearnmathe im Themenstart schreibt:
Wenn doch alle Richtungsableitungen existieren kann man doch diese Funkion mit einer Linearen Abbildung appromieren in dem Punkt, woran scheitert das?

Hier ist ein schön durchgesprochenes Beispiel dazu.



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-06-28

\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>}\)
Hallo iwanttolearnmathe,

in zippys Beispiel ist eine Funktion besprochen, die zwar alle Richtungsableitungen in $(0,0)$ besitzt, aber dort nicht stetig ist. Die Sache kann aber auch noch aus anderen Gründen kaputtgehen.

Alle Richtungsableitungen existieren, hängen aber nicht linear von der Richtung ab:
Eine Grundidee der totalen Differenzierbarkeit ist ja, dass die Änderung einer Funktion lokal gut durch eine lineare Abbildung gegeben ist. Wenn $\D f(\vec x_0)$ die totale Ableitung an der Stelle $\vec x_0$ ist, dann soll rein intuitiv gelten:

\[f(\vec x_0+\vec h)\approx f(\vec x_0)+\D f(\vec x_0)\cdot \vec h,\]
solange der Vektor $\vec h$ klein ist. $\cdot$ ist hier die Multiplikation der Matrix $\D f$ mit dem Vektor $\vec h$.
Nun gibt ja die Richtungsableitung ebenfalls die Änderung einer Funktion an, nur eben in einer bestimmten Richtung. Ist $\D_{\vec v}f(\vec x_0)$ die Richtungsableitung von $f$ an der Stelle $\vec x_0$ in Richtung $\vec v$, dann soll intuitiv gelten:

\[f(\vec x_0+h\vec v)\approx f(\vec x_0)+\D_{\vec v}f(\vec x_0)\cdot h.\]
$\cdot$ ist hier die Skalare Multiplikation des Vektors $\D_{\vec v}f$ mit dem Skalar $h$.
Diese beiden "Gleichungen" sehen fast identisch aus. Es ist sogar so, dass wenn man in der oberen Gleichung $\vec h=h\vec v$ substituiert, man folgende "Gleichung" erhält:

\[f(\vec x_0+h\vec v)\approx f(\vec x_0)+\D f(\vec x_0)\cdot h\vec v.\]
Damit beide Gleichungen gelten können, muss $\D_{\vec v}f(\vec x_0)=\D f(\vec x_0)\cdot\vec v$ sein. Wenn also $f$ total differenzierbar ist, dann müssen die Richtungsableitungen durch Multiplikation der totalen Ableitung mit dem Richtungsvektor bestimmbar sein. Wenn die Richtungsableitungen zwar existieren, aber nicht linear von der Richtung abhängen, dann kann die Funktion nicht total differenzierbar sein. Ein Beispiel für so eine Funktion wäre $f:\R^2\to\R$ mit

\[f(x,y)=\begin{cases}x&y=0\\0&\textrm{sonst}\end{cases}\]
Diese Funktion ist überall 0, außer auf der $x$-Achse, wo sie einfach eine Gerade mit Steigung 1 ist. Ihre Richtungsableitungen an der Stelle $(0,0)$ sind also fast alle 0 (da die Funktion in fast alle Richtungen konstant ist). Nur in Richtung der $x$-Achse ist die Ableitung 1. Es gibt aber keine lineare Abbildung, die in allen Richtungen außer einer 0 ergibt. Die Funktion ist also nicht total differenzierbar.
Das berührt übrigens auch die Stetigkeit der partiellen Ableitungen. Zum Beispiel existiert die partielle Ableitung $\partial_yf(x,0)$ überhaupt nur für $x=0$, da $f$ auf der $x$-Achse sonst überall unstetig ist. Die Funktion ist also auch nicht stetig partiell differenzierbar.


Es gibt eine krumme Kurve durch $x_0$, auf der die Funktion nicht linear approximiert werden kann:

Eine weitere Grundidee der totalen Differenzierbarkeit ist, dass aus egal welcher Richtung man an $x_0$ herangeht, die Funktion gut durch $f(x_0)+\D f(x_0)\cdot h$ approximiert wird. "Egal" heißt hier, dass nicht nur Geraden zugelassen sind. Schau dir zum Beispiel folgende Funktion $f:\R^2\to\R$ an:

\[f(x,y)=\begin{cases}0&y=x^2\\x+y&\textrm{sonst}\end{cases}\]
Wenn du dir den Definitionsbereich anschaust, $\R^2$. Dann ist $f$ unterschiedlich definiert, abhängig davon, ob $(x,y)$ auf der Normalparabel $y=x^2$ liegt oder nicht. Auf der Parabel ist die Funktion 0. Überall sonst ist sie eine schiefe Ebene, wenn man sie in 3D darstellt.
Die partiellen Ableitungen existieren (sogar alle Richtungsableitungen), und es ist $\D f(0,0)=\matrix{1&1}$. Wenn man jetzt zum Beispiel $h=(t,t^2)$ wählt, also $h$ liegt auf der Parabel, dann sollte ja

\[\begin{align*}f(t,t^2)&\approx f(0,0)+\D f(0,0)\cdot \vector{t\\t^2}\\
&=t+t^2
\end{align*}\]
sein. Aber für $y=x^2$ ist $f(x,y)=0$ definiert. Die lineare Approximation geht also daneben. Und zwar weil sich die Funktion auf einer krummen Kurve anders verhält, als auf den Geraden, entlang der die partiellen (und Richtungs-) Ableitungen bestimmt werden.


Warum folgt aus stetiger partieller Differenzierbarkeit die totale Differenzierbarkeit, aber nicht andersrum?

Rein intuitiv: Die Stetigkeit der partiellen Ableitungen sorgt dafür, dass solche pathologischen Beispiele wie oben ausgeschlossen werden. Die sind nämlich beide nicht einmal stetig in einer Umgebung von $(0,0)$, sondern nur in $(0,0)$ selbst.
Andersrum stößt man auf das Problem, dass die totale Differenzierbarkeit nichts über die Stetigkeit der totalen Ableitung sagt. Und die totale Ableitung - falls sie existiert - setzt sich ja zusammen aus den partiellen Ableitungen. Wenn also die totale Ableitung unstetig ist, dann auch mindestens eine der partiellen Ableitungen. Deshalb kann aus totaler Diffbarkeit nicht die stetige partielle Diffbarkeit folgen.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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iwanttolearnmathe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-01


Hey ihr beiden und danke schonmal,

sry wenns so spät kommt aber ich musste erstmal darüber nachdenken wo ich vielleicht was nicht genau verstehe und wie ich meine Fragen formuliere.

Mir scheint immer noch nicht genau der Unterschied klar zu sein warum totale Differenzierbarkeit nicht genau das gleiche bedeutet wie das die Funktion in dem Punkt wo sie total diffbar ist auch alle Richtungsableitungen existieren.

2019-06-28 11:13 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 3 schreibt:
Alle Richtungsableitungen existieren, hängen aber nicht linear von der Richtung ab:

Was genau meinst du damit das die Ableitungen nicht linear von von der Richtung abhängen? Und woran sieht man das in dem Beispiel?



2019-06-28 11:13 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 3 schreibt: Wenn $\D f(\vec x_0)$ die totale Ableitung an der Stelle $\vec x_0$ ist, dann soll rein intuitiv gelten:

\[f(\vec x_0+\vec h)\approx f(\vec x_0)+\D f(\vec x_0)\cdot \vec h,\]
solange der Vektor $\vec h$ klein ist.

Ich hab das hier im Forum schonmal gesondert gefragt aber hier würde ich es auch nochmal gerne stellen weil ich da für mich keine erlärende Antwort bekommen habe, warum wertet man h hier aus? will man einfach das das so erfüllt ist? Bzw. was bedeutet es dielineare Abbildung auf irgendeinen Vektor zu schicken?




2019-06-28 11:13 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 3 schreibt: Wenn die Richtungsableitungen zwar existieren, aber nicht linear von der Richtung abhängen, dann kann die Funktion nicht total differenzierbar sein.

Ich glaube das zielt auch auf die Frage oben weiter ab, aber warum sollte die funktion dann nicht diffbar sein? Vielleicht klärt sich das wenn ich weiß wax es heißt das die Ableitung nicht linear von der ichtung abhängt.



2019-06-28 11:13 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 3 schreibt:
Es gibt eine krumme Kurve durch $x_0$, auf der die Funktion nicht linear approximiert werden kann:
Weiter unten hast du ja h dann als die Richtung genommen, warum nicht v?

2019-06-28 11:13 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 3 schreibt:
Eine weitere Grundidee der totalen Differenzierbarkeit ist, dass aus egal welcher Richtung man an $x_0$ herangeht, die Funktion gut durch $f(x_0)+\D f(x_0)\cdot h$ approximiert wird. "Egal" heißt hier, dass nicht nur Geraden zugelassen sind.
Also ich sehe das zumindest nicht an der Definition der diffbarkeit, woran siehst du das?


2019-06-28 11:13 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 3 schreibt:
Die partiellen Ableitungen existieren (sogar alle Richtungsableitungen), und es ist $\D f(0,0)=\matrix{1&1}$. Wenn man jetzt zum Beispiel $h=(t,t^2)$ wählt, also $h$ liegt auf der Parabel, dann sollte ja

\[\begin{align*}f(t,t^2)&\approx f(0,0)+\D f(0,0)\cdot \vector{t\\t^2}\\
&=t+t^2
\end{align*}\]
sein. Aber für $y=x^2$ ist $f(x,y)=0$ definiert. Die lineare Approximation geht also daneben. Und zwar weil sich die Funktion auf einer krummen Kurve anders verhält, als auf den Geraden, entlang der die partiellen (und Richtungs-) Ableitungen bestimmt werden.
Also das versteh ich jetzt nicht was genau machst du da? Du wählst dir einen Weg quasi die Parabel und dann?
Du siehst dir glaube ich den Punkt (0,0) oder? Warum sollte dann t + t^2 rauskommen?

Warum sollte da überhaupt was anderes rauskommen als 0, die Funktion ist doch so definiert das sie genau da null ist?


Was genau meinst du auch das sie die Funktion auf der krummen kurve also der parabel anders verhält, die Funktion verhält sich doch immer gleich, unabhängig von der Richtung? Ist doch egal ob ich mir den Wert von verschiedenen Richtung ansehe der Funktionswert ist doch immer gleich.

Warum geht die lineare Approximation daneben?

Müsste nicht auch damit man Df(0,0) so schreiben kann als (1    1) diese Funktion nicht auch total diffbar sein?


2019-06-28 11:13 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 3 schreibt:

Warum folgt aus stetiger partieller Differenzierbarkeit die totale Differenzierbarkeit, aber nicht andersrum?

Rein intuitiv: Die Stetigkeit der partiellen Ableitungen sorgt dafür, dass solche pathologischen Beispiele wie oben ausgeschlossen werden. Die sind nämlich beide nicht einmal stetig in einer Umgebung von $(0,0)$, sondern nur in $(0,0)$ selbst.
Andersrum stößt man auf das Problem, dass die totale Differenzierbarkeit nichts über die Stetigkeit der totalen Ableitung sagt. Und die totale Ableitung - falls sie existiert - setzt sich ja zusammen aus den partiellen Ableitungen. Wenn also die totale Ableitung unstetig ist, dann auch mindestens eine der partiellen Ableitungen. Deshalb kann aus totaler Diffbarkeit nicht die stetige partielle Diffbarkeit folgen.
Aber dann verstehe ich den Unterschied von den partiellen Ableitungen, wenn sie stetig sind, und der total diffbarkeit nicht...

Ich hab gedacht eine lineare Abbildung setzt sich quasi zusammen aus verschiedenen Vektoren die, wenn sie dann stetig sind, sich zusammenfassen lassen als ein Objekt, im 3 dimsionalen als eine Ebene quasi, in dem Punkt.


Hoffe ihr versteht was ich meine









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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-07-02

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Was genau meinst du damit das die Ableitungen nicht linear von von der Richtung abhängen? Und woran sieht man das in dem Beispiel?

Bei dem Beispiel

\[f(x,y)=\begin{cases}x&y=0\\0&\textrm{sonst}
\end{cases}\]
Sind alle Richtungsableitungen 0, bis auf die in Richtung $\vec e_x=(1,0)$. Wenn die Richtungsableitung linear von der Richtung abhängt, dann heißt das $\D_{v+w}f=\D_vf+\D_wf$. Wenn $f$ total differenzierbar ist, dann ist ja $\D_vf=\D f\cdot v$, und damit natürlich
\[\D_{v+w}f=\D f\cdot(v+w)=\D f\cdot v+\D f\cdot w=\D_vf+\D_wf.\] In dem Beispiel das ich gegeben habe, kann man zum Beispiel $v=(1,0)$ und $w=(0,1)$ wählen. Wir haben festgestellt, dass $\D_v f(0,0)=1$ und $\D_wf(0,0)=0$. Es sollte also
\[\D_{v+w}f(0,0)=\D_vf(0,0)+\D_wf(0,0)=1+0=1\] sein. Aber alle Richtungsableitungen außer in Richtung $\vec e_x$ sind 0. Also hängen hier die Richtungsableitungen nicht linear von der Richtung ab.

Ich hab das hier im Forum schonmal gesondert gefragt aber hier würde ich es auch nochmal gerne stellen weil ich da für mich keine erlärende Antwort bekommen habe, warum wertet man h hier aus? will man einfach das das so erfüllt ist? Bzw. was bedeutet es dielineare Abbildung auf irgendeinen Vektor zu schicken?

Man macht im Prinzip nichts anderes, als eine Taylorentwicklung aufzustellen (wortwörtlich, die mehrdimensionale Taylorentwicklung erster Ordnung sieht exakt so aus). Also

\[f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).\]
Nur ist $f'$ jetzt eine Matrix, nämlich $\D f(x_0)$, die man auf den Vektor $(x-x_0)$ anwendet. Und jetzt kann man je nach Vorliebe $h:=x-x_0$ substituieren. $h$ ist also einfach nur die Entfernung vom Entwicklungspunkt $x_0$ zum Punkt an dem die Taylorreihe ausgewertet wird, $x$.

Ich glaube das zielt auch auf die Frage oben weiter ab, aber warum sollte die funktion dann nicht diffbar sein? Vielleicht klärt sich das wenn ich weiß wax es heißt das die Ableitung nicht linear von der ichtung abhängt.

Bei der Richtungsableitung fragt man: "Wie kann ich $f$ entlang einer Gerade linear nähern?".
Bei der totalen Ableitung fragt man: "Wie kann ich $f$ entlang jeder beliebiger Kurve gleichzeitig linear nähern?"
Man sucht also bei der totalen Ableitung eine lineare Näherung, die gleichzeitig auch die Richtungsableitungen beschreibt. Und zwar durch eine einzige lineare Abbildung. Wenn nur die Richtungsableitungen existieren, dann kann es sein, dass entlang einer Richtung die eine lineare Näherung funktioniert, entlang der nächsten Richtung eine weitere, und entlang einer dritten Richtung wieder eine komplett andere. Totale differenzierbarkeit fordert, dass die Wahl der linearen Näherung nicht von der Richtung abhängt, sondern dass es immer mit der linearen Abbildung $\D f(\vec x_0)$ funktioniert. Deshalb müssen die Richtungsableitungen durch diese linearen Abbildung bestimmt sein. Sind sie aber nicht durch so eine lineare Abbildung bestimmt, dann kann $f$ auch nicht differenzierbar sein, denn sonst wären sie ja durch das totale Differential bestimmt.

Weiter unten hast du ja h dann als die Richtung genommen, warum nicht v?

$v$ soll ja eine Gerade beschreiben, also sozusagen $h(t)=tv$. In dem Abschnitt soll aber $h$ gerade keine Gerade sein, sondern eine krumme Kurve. Es macht also keinen Sinn, einen Richtungsvektor $v$ anzugeben.

Also ich sehe das zumindest nicht an der Definition der diffbarkeit, woran siehst du das?

Daran, dass nirgendwo steht, dass nur Geraden zugelassen werden. Wenn es nicht verboten ist, ist es erlaubt.

Also das versteh ich jetzt nicht was genau machst du da? Du wählst dir einen Weg quasi die Parabel und dann?
Du siehst dir glaube ich den Punkt (0,0) oder? Warum sollte dann t + t^2 rauskommen?

Warum sollte da überhaupt was anderes rauskommen als 0, die Funktion ist doch so definiert das sie genau da null ist?


Was genau meinst du auch das sie die Funktion auf der krummen kurve also der parabel anders verhält, die Funktion verhält sich doch immer gleich, unabhängig von der Richtung? Ist doch egal ob ich mir den Wert von verschiedenen Richtung ansehe der Funktionswert ist doch immer gleich.

Warum geht die lineare Approximation daneben?

Müsste nicht auch damit man Df(0,0) so schreiben kann als (1    1) diese Funktion nicht auch total diffbar sein?

Ich schaue mir die Funktion gerade nicht im Punkt $(0,0)$ an, sondern nur in dessen Nähe! Wenn $f$ im Punkt $(0,0)$ differenzierbar wäre, dann könnte $f$ in der Nähe von $(0,0)$ durch
\[f((0,0)+h)\approx f(0,0)+\D f(0,0)\cdot h\] approximiert werden.
Außerdem wäre $\D f(0,0)=\matrix{1&1}$, das ist durch die partiellen Ableitungen vorgegeben ($\D f$ enthält immer die partiellen Ableitungen). Und dann wäre mit der Approximation für $h=(t,t^2)$ eben

\[f(t,t^2)\approx t+t^2\]
Aber das stimmt ja nicht, denn per Definition ist $f(t,t^2)=0$ für alle $t$. Also kann die Funktion nicht total differenzierbar sein.

Aber dann verstehe ich den Unterschied von den partiellen Ableitungen, wenn sie stetig sind, und der total diffbarkeit nicht...

Ich hab gedacht eine lineare Abbildung setzt sich quasi zusammen aus verschiedenen Vektoren die, wenn sie dann stetig sind, sich zusammenfassen lassen als ein Objekt, im 3 dimsionalen als eine Ebene quasi, in dem Punkt.

Hoffe ihr versteht was ich meine

Ich verstehe es ehrlich gesagt nicht so ganz. Eine lineare Abbildung ist eine Abbildung mit den Eigenschaften $L(x+y)=L(x)+L(y)$ und $L(ax)=aL(x)$. Mehr nicht. Sie setzt sich auch nicht zusammen aus Vektoren, und ist auch keine Ebene. Und Vektoren sind auch nicht stetig. Abbildungen sind stetig.
\(\endgroup\)


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iwanttolearnmathe
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2019-07-02 12:12 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 5 schreibt:
Bei dem Beispiel

\[f(x,y)=\begin{cases}x&y=0\\0&\textrm{sonst}
\end{cases}\]
Sind alle Richtungsableitungen 0, bis auf die in Richtung $\vec e_x=(1,0)$. Wenn die Richtungsableitung linear von der Richtung abhängt, dann heißt das $\D_{v+w}f=\D_vf+\D_wf$. Wenn $f$ total differenzierbar ist, dann ist ja $\D_vf=\D f\cdot v$, und damit natürlich
\[\D_{v+w}f=\D f\cdot(v+w)=\D f\cdot v+\D f\cdot w=\D_vf+\D_wf.\] In dem Beispiel das ich gegeben habe, kann man zum Beispiel $v=(1,0)$ und $w=(0,1)$ wählen. Wir haben festgestellt, dass $\D_v f(0,0)=1$ und $\D_wf(0,0)=0$. Es sollte also
\[\D_{v+w}f(0,0)=\D_vf(0,0)+\D_wf(0,0)=1+0=1\]
sein. Aber alle Richtungsableitungen außer in Richtung $\vec e_x$ sind 0. Also hängen hier die Richtungsableitungen nicht linear von der Richtung ab.

asoo also weil fed-Code einblenden sein muss weil ja fed-Code einblenden als einziges gilt würde dann da fed-Code einblenden stehen was nicht sein kann?



2019-07-02 12:12 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 5 schreibt:
Ich hab gedacht eine lineare Abbildung setzt sich quasi zusammen aus verschiedenen Vektoren die, wenn sie dann stetig sind, sich zusammenfassen lassen als ein Objekt, im 3 dimsionalen als eine Ebene quasi, in dem Punkt.

Hoffe ihr versteht was ich meine

Ich verstehe es ehrlich gesagt nicht so ganz. Eine lineare Abbildung ist eine Abbildung mit den Eigenschaften $L(x+y)=L(x)+L(y)$ und $L(ax)=aL(x)$. Mehr nicht. Sie setzt sich auch nicht zusammen aus Vektoren, und ist auch keine Ebene. Und Vektoren sind auch nicht stetig. Abbildungen sind stetig.

Alsoo was ich meinte war, wenn man eine lineare Abbildung hat, sagen wir mal eine Ebene die einen Punkt approximiert dann hab ich gedacht das alle Vektoren die in der Ebene liegen die Richtungsableitungen sind, quasi die Geraden der gesamten Ebene.
Und mit stetig hab ich mir das so gedacht das die Vektoren dann alle auch in der Ebene liegen und es keine "ausreißer" aus der Ebene gibt. Aber das mit meiner Ansicht der "Stetigkeit" ist glaube ich falsch oder?


2019-07-02 12:12 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 5 schreibt:
Bei der totalen Ableitung fragt man: "Wie kann ich $f$ entlang jeder beliebiger Kurve gleichzeitig linear nähern?"

Wohr sieht man das man nach dem "gleichzeitig " fragt an der Def.?
Beste Grüße Jan





 





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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-07-04

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asoo also weil fed-Code einblenden sein muss weil ja fed-Code einblenden als einziges gilt würde dann da fed-Code einblenden stehen was nicht sein kann?

Genau.

Alsoo was ich meinte war, wenn man eine lineare Abbildung hat, sagen wir mal eine Ebene die einen Punkt approximiert dann hab ich gedacht das alle Vektoren die in der Ebene liegen die Richtungsableitungen sind, quasi die Geraden der gesamten Ebene.
Und mit stetig hab ich mir das so gedacht das die Vektoren dann alle auch in der Ebene liegen und es keine "ausreißer" aus der Ebene gibt. Aber das mit meiner Ansicht der "Stetigkeit" ist glaube ich falsch oder?

Doch, das ist alles prinzipiell die richtige Vorstellung von der Ableitung. So wie im Eindimensionalen die Funktion durch eine Gerade genähert wird, deren Steigung dann die Ableitung ist, so wird im mehrdimensionalen eine Funktion durch eine Ebene (bzw. Hyperebene, wenn es mehr als 3 Dimensionen sind) genähert, deren zugehörige lineare Abbildung die Ableitung ist.
So wie die Tangente durch

\[t(x)=\color{red}{f'(x_0)}\cdot(x-x_0)+f(x_0)\]
beschrieben werden kann, kann die Tangentialhyperebene durch

\[t(\vec x)=\color{red}{\D f(\vec x_0)}\cdot(\vec x-\vec x_0)+f(\vec x_0)\]
beschrieben werden. Und für die Richtungsableitungen gilt, dass die durch

\[\left(\vec x_0+t\vec v,t\color{red}{\D_{\vec v}f(\vec x_0)}+f(\vec x_0)\right)\]
parametrisierte Gerade/Ebene/Hyperebene in der Tangentialhyperebene liegt - und wie du sagst, es keine Ausreißer aus dieser Ebene gibt.

Wohr sieht man das man nach dem "gleichzeitig " fragt an der Def.?

Daran, dass nach einer einzigen linearen Abbildung gefragt wird. Es heißt nicht, dass für alle $\vec h\to0$ eine passende lineare Abbildung existiert, sodass der betrachtete Term gegen 0 geht. Es heißt, dass es eine lineare Abbildung gibt, sodass für alle $\vec h\to0$ der betrachtete Term gegen 0 geht. Das meine ich mit "gleichzeitig".
\(\endgroup\)


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iwanttolearnmathe
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2019-07-04 20:06 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 7 schreibt:

Doch, das ist alles prinzipiell die richtige Vorstellung von der Ableitung. So wie im Eindimensionalen die Funktion durch eine Gerade genähert wird, deren Steigung dann die Ableitung ist, so wird im mehrdimensionalen eine Funktion durch eine Ebene (bzw. Hyperebene, wenn es mehr als 3 Dimensionen sind) genähert, deren zugehörige lineare Abbildung die Ableitung ist.

ich finde es dann nur irgendwie merkwürdig wieso dann aus der totalen diffbarkeit nicht folgen muss dass die partiellen Ableitungen stetig sind.

Weil wenn ich das was ich unter diffbarkeit verstehe nutze, dann ergibt sich mir eben das bild das eine diffbare ebene z.b. dann stetig ist und die partiellen Ableitungen haben keinen sprung und damit sind sie stetig.

Kann es sein das man hier mit Stetigkeit der partiellen ableitung was anderes meint als ich es oben geschrieben habe?

2019-07-04 20:06 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 7 schreibt:

beschrieben werden. Und für die Richtungsableitungen gilt, dass die durch

\[\left(\vec x_0+t\vec v,t\color{red}{\D_{\vec v}f(\vec x_0)}+f(\vec x_0)\right)\]
kannst du mir diese Formel nochmal erklären, diese Schreibweise kenn ich gar nicht


Beste Grüße Jan



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Die Richtungsableitungen hängen stetig von der Richtung ab, aber nicht von der Stelle an der abgeleitet wird. Wenn $f$ differenzierbar ist, dann ist $\D_v f(x_0)$ stetig als Funktion von $v$, aber nicht als Funktion von $x_0$ (zumindest nicht zwingend).
Man könnte sich ja schon eine eindimensionale Funktion vorstellen, deren Ableitung unstetig ist - und damit natürlich auch ihre partielle Ableitung nach der einzigen Variablen, denn das ist in 1d das selbe. Das Standardbeispiel ist ja

\[f(x)=\begin{cases}x^2\sin(\frac{1}{x})&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}\]
Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ ist an der Stelle $x=0$ unstetig. Aber die Tangentenfunktion an der Stelle, $t(x)=f(0)+f'(0)x=0$ ist natürlich stetig. Dass im mehrdimensionalen die partiellen Ableitungen unstetig sein können, bezieht sich auf die "partielle Ableitungsfunktion".

kannst du mir diese Formel nochmal erklären, diese Schreibweise kenn ich gar nicht

Ich meine damit einfach nur einen Vektor mit den entsprechenden Komponenten. Wenn $\vec x=(x_1,\dots,x_n)$, $\vec y=(y_1,\dots,y_m)$, dann war meine Notation nur Kurzschreibweise für $(\vec x,\vec y)=(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m)$. So wie man den Graphen einer Funktion mit $(t,f(t))$ beschreiben kann, oder die Tangente als $(x_0+t,f(x_0)+tf'(x_0))$, so kann man die "Tangente" in Richtung $\vec v$ einer mehrdimensionalen Funktion als $(\vec x_0+t\vec v,f(\vec x_0)+t\D_{\vec v}f(\vec x_0))$ schreiben.
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2019-07-05 01:58 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 9 schreibt:
Die Richtungsableitungen hängen stetig von der Richtung ab, aber nicht von der Stelle an der abgeleitet wird.

Ahh okay das gibt's ja doch nen Unterschied, kannst du mir sagen wie der da genau aussieht der wie du das meinst?

2019-07-05 01:58 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 9 schreibt:
 Dass im mehrdimensionalen die partiellen Ableitungen unstetig sein können, bezieht sich auf die "partielle Ableitungsfunktion".

Ah gut da gibt's ja nen anderen Begriff wie oben.

2019-07-05 01:58 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 9 schreibt:
Ich meine damit einfach nur einen Vektor mit den entsprechenden Komponenten. Wenn $\vec x=(x_1,\dots,x_n)$, $\vec y=(y_1,\dots,y_m)$, dann war meine Notation nur Kurzschreibweise für $(\vec x,\vec y)=(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m)$. So wie man den Graphen einer Funktion mit $(t,f(t))$ beschreiben kann, oder die Tangente als $(x_0+t,f(x_0)+tf'(x_0))$, so kann man die "Tangente" in Richtung $\vec v$ einer mehrdimensionalen Funktion als $(\vec x_0+t\vec v,f(\vec x_0)+t\D_{\vec v}f(\vec x_0))$ schreiben.

Alles klar  smile



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Ahh okay das gibt's ja doch nen Unterschied, kannst du mir sagen wie der da genau aussieht der wie du das meinst?

Also ich könnte eine Funktion $r_x(v):=\D_vf(x)$ definieren. Also die Richtungsableitung in Richtung $v$ an der Stelle $x$, aber als Funktion von $v$, nicht als Funktion von $x$. Diese Funktion ist stetig, wenn $f$ total differenzierbar ist.
Man kann aber auch eine Funktion $s_v(x):=\D_v(x)$ definieren, diesmal als Funktion von $x$, nicht von $v$. Diese Funktion ist nicht zwingend stetig, selbst wenn $f$ total differenzierbar ist. Aber wenn sie in einer Umgebung von $x_0$ existiert und stetig ist, dann ist $f$ total differenzierbar.
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Gut, also das die Richtungsableitung stetig sind von v dann kann die Funktion auch nicht diffbar sein oder? Erst wenn hier wieder die Rede von x ist nicht v.
 



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Wenn die Richtungsableitungen nicht stetig von $v$ abhängen, dann kann $f$ nicht differenzierbar sein. Wenn sie aber in Abhängigkeit von $x$ nicht stetig sind, dann kann $f$ trotzdem differenzierbar sein. Ich glaube, du hast das auch so gemeint - ich wollte nur sichergehen, dass es richtigrum hängen bleibt.
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Ja so in etwa :D habs jetzt aber, was ich meinte war das wenn man weiß das die Funktion stetige Richtungsableitungen hat, das dann die Funktion nicht diffbar sein muss, aber das stimmt ja nicht, es gilt ja genau wie bei der Äquivalenz von stetiger partieller diffbarkeit und totaler Diffbarkeit. D hab ich mir erst gedacht das, wenn die Richtungsableitung von v stetig sei, das dann ja auc so eine Art gewellte Ebene darauf gebildet werden kann( aus diesen Richtungsableitungen, die ja stetig sind). Das ist aber ja dann auch eine lineare Abbildung oder?



Dann nochmal kurz, was meintest du mit Tangentialebene/hyperebne?



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Also wenn die Richtungsableitungen alle in einer Umgebung (das ist wichtig - ein einzelner Punkt reicht nicht) stetig sind, dann ist die Funktion differenzierbar. Denn die partiellen Ableitungen sind ja auch Richtungsableitungen (mit der Richtung $\vec v=\vec e_i$), und deren Stetigkeit in einer Umgebung reicht ja aus.
Was du mit der gewellten Ebene meinst, kann ich nicht nachvollziehen.

Die Tangentialebene ist hier nochmal ganz gut dargestellt. Da ist eine mehrdimensionale Funktion, und die parametrisiert eine Fläche. Daran ist in blau eine Tangentialebene angelegt. Mit noch mehr Dimensionen wird es dann eben eine Tangentialhyperebene.
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