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Differentiation » Mehrdim. Differentialrechnung » Lokaler Umkehrsatz - Beweisführung
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Universität/Hochschule J Lokaler Umkehrsatz - Beweisführung
curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-01


Hallo,
ich hänge gerade an einer Aufgabe:

Sie lautet:


Mein Beweis soweit:

Sei $a:=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$. $f$ ist stetig differenzierbar mit den (stetigen) partiellen Ableitungen

...[Ableitungen berechnet]... und somit der Funktionalmatrix:

$\begin{pmatrix}
-yz sin(xy) & -xzsin(xy) & cos(xy) \\
yzcos(xy) & xzcos(xy) & sin(xy) \\
1 & 1 & 0
\end{pmatrix}$

Laut meinem Skript gilt nun:



Deshalb habe ich jetzt den Rang von $f'(a)=f'(1,0,1)$ berechnet:

Rang$f'(1,0,1)=$Rang$
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0
\end{pmatrix}=3$, also Höchstrang.

Damit sind die Voraussetzungen für den lokalen Umkehrsatz erfüllt.

Jetzt müsste es eine offene Umgebung $U\subseteq \mathbb{R}^3$ von $a$ geben, und eine offene Umgebung $V\subseteq \mathbb{R}^3$ von $b:=f\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}$ geben mit der Eigenschaft, dass sich eine Umkehrfunktion bilden lässt.

Ab hier hänge ich. Ich weiß nicht, wie ich auf diese Umgebungen $U$ und $V$ komme, und ich kriege es auch nicht hin, eine Umkehrfunktion zu berechnen.

Zur Umgebung:
Ich vermute, weil wir es mit Cos und Sin zu tun haben, und deshalb $(x+2\pi)=x$ für alle $ x\in \mathbb{R}$ gilt, dass die (injektive) Umgebung irgendwie der Form:

$U:=\left\{\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}\in \mathbb{R}^3 \mid x,y\in (-\pi, \pi)\right\}$ sein muss, aber zu $z$ fällt mir nichts ein. Aber wenn z.B. $x=0$ oder $y=0$ sind, dann ist in beiden Fällen $xy=0$ und somit $sin(xy)$ schon nicht mehr injektiv. Ich bin also ratlos.

Zu der Umkehrfunktion:

Sei $v:=\begin{pmatrix}v_1 \\ v_2\\ v_3\end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix}zcos(xy) \\ zsin(xy)\\ x+z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}v_1 \\ v_2\\ v_3\end{pmatrix}$ gesetzt.

Ich komme dann auf

$x=arcsin(\frac{v_2}{z})$,
$y=\frac{arccos(\frac{v_1}{z})}{arcsin(\frac{v_2}{z})}$,
$z=\sqrt{v_1^2+v_2^2}$,

was mir auch falsch erscheint (und Wolfram sagt es existiert keine Umkehrfunktion, vermutlich weil ich eben keine injektive Umgebung vorgegeben habe).

Wäre cool, wenn mir einer helfen könnte diese beiden Probleme noch zu verstehen (ohne Vorsagen).

Vielen Dank im Voraus!! :)







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Kampfpudel
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Dabei seit: 02.08.2013
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-01


Hey curious_mind,

die letzte Zeile der Funktionalmatrix sollte (1 0 1) lauten, ändert aber am Rang nichts.

Diese Umgebungen musst du auch gar nicht angeben. Wie diese Umgebungen aussehen, ist auch egal. Der Umkehrsatz sagt ja gerade, dass diese Umgebungen existieren. Mehr ist nicht wichtig.



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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-02


Also muss ich nur die Umkehrfunktion richtig berechnen und das war's?
Das scheint mir ja fast zu einfach...

Danke.



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-07-02


Nicht einmal das musst du tun. Im Allgemeinen ist es auch gar nicht möglich, die Umkehrfunktion mit analytischen Methoden konkret zu ermitteln und explizit hinzuschreiben. Dafür ist aber der Umkehrsatz ja gerade da. Dieser sorgt dafür, dass lokal eine Umkehrfunktion existiert (sofern die meist einfach nachzuprüfenden Voraussetzungen erfüllt sind).
Und noch mehr: Der Umkehrsatz liefert dir sogar ganz konkret, wie die Ableitung der Umkehrfunktion aussieht. Nicht einmal dafür benötigt man die explizite Form der Umkehrfunktion.

Und ja, die Aufgabe ist tatsächlich ziemlich einfach.



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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-02


2019-07-02 13:04 - Kampfpudel in Beitrag No. 3 schreibt:
Der Umkehrsatz liefert dir sogar ganz konkret, wie die Ableitung der Umkehrfunktion aussieht.

Achsooooooooooo!

Ich muss einfach dies invertieren!

$
\begin{pmatrix}
-yz sin(xy) & -xzsin(xy) & cos(xy) \\
yzcos(xy) & xzcos(xy) & sin(xy) \\
1 & 1 & 0
\end{pmatrix}$

*facepalm*

Wer lesen kann, ist klar im Vorteil!  biggrin

Danke sehr!



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-07-02


Jap, zumindest nachdem du \((1,0,1)\) eingesetzt hast :)

Noch mal die Erinnerung, dass die letzte Zeile der Matrix \((1, 0, 1)\) und nicht \((1,1,0)\) lauten sollte.



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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-02


Jepp, danke. Hab's.
Ihr wisst hier echt alles! So weit will ich auch mal kommen.
Danke nochmal.



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