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Funktionentheorie » Holomorphie » Maximumprinzip
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Universität/Hochschule J Maximumprinzip
nitram999
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  Themenstart: 2019-07-28

Hallo :) Ich habe hier eine Aufgabe: Sei G ein Gebiet in C und f1, f2 holomorph auf G mit |f1(z)|=1-|f2(z)| für alle z in G. Zeige: f1 = const. auf G und f2 = const. auf G Kann mir hier jemand weiterhelfen? Viele Grüße und vielen Dank schon mal, nitram999


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ochen
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  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-28

Hi, kannst du zeigen, dass beide Funktionen beschränkt sind?


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nitram999
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-29

Danke für deine Antwort! :) Das heißt es geht dann über Liouville? ich dachte ursprünglich man muss die gegebene Gleichung umformen, sodass man sieht, dass es ein lokales Maximum gibt und dass daher |f1|+|f2| konstant ist. Dann hätten wir eine Übungsaufgabe, nach der dann auch f1= const. und f2= const. gilt. Aber wie zeigt man das mit dem lokalen Maximum? Oder das mit der Beschränktheit? Also klar ist, dass |f1(z)|+|f2(z)|=1 gilt und daher mit Dreiecksungleichung |f1(z) + f2(z)| kleinergleich 1 ist. Aber wie gehts dann weiter? Viele Grüße nitram999


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ochen
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  Beitrag No.3, eingetragen 2019-07-29

Durch die Dreicksungleichung verlierst du etwas. Betrachte $f_1(z)=z$ und $f_2(z)=1-z$ Kannst du stattdessen zeigen, dass $|f_1(z)|, |f_2(z)|\leq 1$ gilt?


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nitram999
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-29

Gilt das nicht trivialerweise wegen |f1(z)|+|f2(z)|=1 ?


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ochen
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  Beitrag No.5, eingetragen 2019-07-29

Ja schon, aber wieso möchtest du dann die Dreiecksungleichung benutzen? Der Satz von Liouville besagt gerade, dass $f_1$ und $f_2$ konstant sind, wenn sie holomorph und beschränkt sind. Mit $|f1(z)|,|f2(z)|\leq 1$ wärst du also fertig. \quoteon(2019-07-29 01:45 - nitram999 in Beitrag No. 2) Also klar ist, dass |f1(z)|+|f2(z)|=1 gilt und daher mit Dreiecksungleichung |f1(z) + f2(z)| kleinergleich 1 ist. Aber wie gehts dann weiter? \quoteoff Diese Überlegung hilft nicht weiter, da aus $|f_1(z) + f_2(z)| \leq 1$ eben nicht folgt, dass $f_1$ und $f_2$ konstant sind.


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nitram999
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-29

Der Satz von Liouville gilt aber nur für ganze Funktionen und f1, f2 sind nach Voraussetzung nur auf G holomorph, nicht auf C. Ich wollte irgendwie zeigen, dass es ein lokales Maximum gibt und dann das Maximumprinzip anwenden.


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ochen
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  Beitrag No.7, eingetragen 2019-07-29

Hm, dann kann ich dir nicht so richtig helfen. Wenn $f_1$ nicht konstant wäre, so gibt es ein $z\in G$ mit $|f_1(z)|<1$. Weiter wäre $f_1(G)$ offen, das bedeutet, dass sogar $|f_1(z)|<1$ für alle $z\in G$ gilt.


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nitram999
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-12

Hallo, ich glaube einen Teil des Beweises erbracht zu haben: Wenn gezeigt ist, dass eine der beiden Funktionen f_1 oder f_2 konstant ist, kann man wie folgt weiter machen: Sei o.E. f_2 konstant. Also f_2 == c mit abs(c)<=1 Dann gilt für f_1 nach der Voraussetzung, dass abs(f_1 (z))=1-abs(c) für alle z\el\ G. Sei weiter w\el\ G. Dann nimmt abs(f_1) in w ein lokales Maximum an, denn abs(f_1 (w))<=1-abs(c). Dann folgt nach dem Maximumprinzip, dass f_1 konstant ist. Nun fehlt also nur der erste Teil also zu zeigen, dass f_2 konstant ist. Kann mir dabei jemand helfen?


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Gestath
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-10-12

Hallo nitram999, Betrachte statt f_1 und f_2, g_1 und g_2 sei a\el\ G und f_1(a) <>0<>f_2(a) g_1=f_1 und g_2 mit g_2(z)= f_2(z)*norm(f_2(a))/f_2(a)*f_1(a)/norm(f_1(a)) und wende auf g_1+g_2 das Maximumprinzipip an


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nitram999
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-12

Hallo Gestath, dass ein solches a in G existiert folgt ja aus der Voraussetzung oder? Leider verstehe ich noch nicht genau worauf du mit deiner Konstruktion von g2 hinaus willst, bzw. wie man darauf das Maximumprinzip anwenden soll?


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Gestath
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  Beitrag No.11, eingetragen 2021-10-12

erstmal will ich zeigen, dass g_1+g_2 konstant ist und hoffe so, weiterzukommen. das beweist du in dem du zeigst, dass g_1+g_2 das Maximum in a annimmt für jede Umgebung, die a enthält. g_2 ist nämlich genau so konstruiert, dass norm(g_2)=norm(f_2) und norm(g_1(z))=1-norm(g_2(z)) für alle z gilt


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nitram999
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-12

Okay, ich muss darüber erstmal nachdenken. Aber was sagst du zu meinem Ansatz? Wenn man den fehlenden Teil zeigen kann, wäre der Beweis auf dem Weg ja ziemlich einfach vollbracht.


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Gestath
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  Beitrag No.13, eingetragen 2021-10-12

\quoteon(2021-10-12 19:26 - nitram999 in Beitrag No. 12) Okay, ich muss darüber erstmal nachdenken. Aber was sagst du zu meinem Ansatz? \quoteoff Es stimmt natürlich alles, was du in Beitrag 8 sagst. Ich glaube aber, dass ein Beweis ein wenig holprig sein wird. Man wird wahrscheinlich nicht ad hoc beweisen können, dass etwa f_1 konstant ist. Mein Vorgehen wäre: 1) Überlege dir, dass weder f_1 noch f_2 isolierte Nullstellen haben, können, so dass man annehmen kann, dass sie gar keine Nullstellen haben. 2) Beweise g_1(z)+g_2(z)=konstant für alle z 3) folgere, dass norm(g_1(z)+g_2(z))=norm(g_1(z))+norm(g_2(z))=1 für alle z 4) Folgere aus 3, dass die holomorphe funktion h=g_2/g_1 nur reelle Werte annimmt und damit konstant ist 5) aus 2 und 4 kann man g_1 und g_2=konst folgern


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nitram999
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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-18

Also ich habs jetzt wie folgt gemacht. Hab auch die Isoliertheit der Nullstellen gebraucht aber den Rest hab ich etwas anders gemacht. Falls f==0 oder g==0 folgt die Behauptung trivialerweise. Daher sei eine der Funktionen nicht identisch gleich 0. Wegen der Isoliertheit der Nullstellen gibt es ein w\el\ G mit f(w)!=0 und g(w)!=0. D.h. es gilt f(w)=abs(f(w))*\alpha und g(w)=abs(g(w))*\beta mit \alpha,\beta\el\ \pd\ \ID. Sei h(z):=f(z)/\alpha +g(z)/\beta. h ist dann holomorph in G und es gilt abs(h(z))<=1 und h(w)=1. Nach dem Maximumprinzip ist h dann konstant und es gilt h(z)=1 \forall\ z\el\ G. =>f(z)=\alpha*(1-g(z)/\beta). Mit der Voraussetzung ergibt sich: 1=abs(f(z))+abs(g(z))=abs(1-g(z)/\beta)+abs(g(z)/\beta). =>g(z)/\beta muss für alle z\el\ G reell sein. Mit dem Offenheitsprinzip folgt, dass g konstant ist und somit auch f.


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