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Differentiation » Mehrdim. Differentialrechnung » Richtungsableitung und stetige Differenzierbarkeit
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Universität/Hochschule Richtungsableitung und stetige Differenzierbarkeit
Webee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-07


Hallo zusammen,
ich bereite mich gerade auf eine Prüfung vor und habe eine Frage zu einer Klausuraufgabe. Ich habe eine Funktion f gegeben mit \(f(x,y)=\begin{cases} \frac{x^3}{x^2+y^2} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y)=(0,0) \end{cases}\) gegeben.
Zunächst soll gezeigt werden, dass f in \((0,0)\) stetig ist. Dies habe ich mit dem Quetschlemma gezeigt. Dabei gilt \(0\leq |f(x,y)|=|\frac{x^3}{x^2+y^2}|\leq |\frac{x^3}{x^2} |=|x| \to 0\) für \((x,y)\to (0,0)\). Bei der zweiten Ungleichung habe ich benutzt, dass \(y^2 \geq 0\) ist. Daraus folgt dann \(\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = 0 = f(0,0)\), d.h. f ist an der Stelle \((0,0)\) stetig. Ich hoffe, dass man das so schreiben kann.

Im zweiten Teil soll dann die Richtungsableitung von f in \((0,0)\) in Richtung \(v\in \mathbb{R^2}\) berechnet werden und daraus gefolgert werden, dass f in \((0,0)\) nicht stetig differenzierbar ist. Ohne jetzt groß den Rechenweg angeben zu wollen, komme ich für \(v=(v_1,v_2)\) auf \((D_vf)(0,0)=\frac{v_1}{v_1^2+v_2^2}\). Sofern das überhaupt stimmt, frage ich mich nun, wie ich damit nun zeigen kann, dass f in \((0,0)\) nicht stetig differenzierbar ist. Ich schätze mal, dass ich die Differenzierbarkeit hier widerlegen soll, wie weiß ich aber nicht genau.

Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen.

Viele Grüße
Webee



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-07


Hey Webee,

wenn du bei der Richtungsableitung im Zähler noch ein hoch 3 spendierst, dann stimmt alles.

Wäre \(f\) im Punkt \((0,0)\) stetig differenzierbar, so müsste \(f\) insbesondere im Punkt \((0,0)\) differenzierbar sein. Also müsste insbesondere gelten:
\((D_v f)(0,0)= (Df)(0,0)(v)\), wobei \((Df)(0,0): \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) eine lineare Abbildung ist.
Ist dies erfüllt?



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Webee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-08


Hallo,

das hoch 3 im Zähler habe ich anscheinend bei der Rechnung verschluckt, danke für die Richtigstellung.

Ich kann jedoch leider noch nicht ganz nachvollziehen, was mit \((Df)(0,0)(v)\) gemeint ist. Meint das die Richtungsableitung in irgendeine Richtung oder einfach in Richtung der Standardbasisvektoren, wie man es bei den partiellen Ableitung anwendet?

Viele Grüße
Webee



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-08-08


Mit \((Df)(0,0)(v)\) meine ich die totale Ableitung von \(f\) an der Stelle (0,0), ausgewertet an der Stelle \(v\). \((Df)(0,0)\) kann ja mit der Jacobi-Matrix an der Stelle \((0,0)\) identifiziert werden und diese soll nun mit \(v\) multipliziert werden. Also quasi

\((Df)(0,0)(v) = J_f(0,0) \cdot v\).



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Webee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-10


Hmmh, \(J_f(0,0)\) ist dann ja die Nullmatrix, d.h. \(J_f(0,0)\cdot v\) ist dann 0, d.h. nicht gleich der oben berechneten Richtungsableitung, wenn ich das richtig sehe...



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-08-10


\(J_f(0,0)\) ist eine 1x2-Matrix bestehend aus den partiellen Ableitungen an der Stelle \((0,0)\). Die Richtungsableitung in beliebiger Richtung an der Stelle \((0,0)\) kennen wir ja schon, da musst du dann nur noch jeweils die Einheitsvektoren einsetzen. Da kommt dann aber was anderes als die 0-Matrix entsprechender Größe raus.

Prinzipiell ist es auch egal, was raus kommt, man müsste es gar nicht ausrechnen. Denn die Abbildung \((v_1,v_2) \mapsto \frac{v_1^3}{v_1^2 + v_2^2}\) müsste linear sein. Ist sie das?



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Webee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-10


Oja, da bin ich mit der Größe durcheinander gekommen. Wie dem auch sei.
Die Abbildung ist nicht linear, da für \(f(v_1,v_2):=\frac{v_1^3}{v_1^2+v_2^2}\) z.B. \(f(e_1+e_2)=f(1,1)=\frac{1}{2} \neq 1=f(1,0)+f(0,1)=f(e_1)+f(e_2)\) gilt, d.h. f ist nicht linear.

Dann danke ich dir vielmals für deine Hilfe.

Viele Grüße
Webee



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WagW
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-08-10


Hallo zusammen,

ich habe die Aufgabe mal still mitgelesen, da ich auch gerade an diesem Thema hänge. Vielleicht kann mir jemand etwas zu den beiden abgewandelten Fragestellungen 1.) und 2.) sagen. Mir geht es darum zu checken, ob ich die totale Ableitung richtig verstanden habe. Meistens geht es in unseren Aufgaben beim Überprüfen auf totale Differenzierbarkeit immer nur darum zu prüfen, ob die partiellen Ableitungen stetig sind. Daher wollte ich jetzt mal schauen, ob ich totale Diffbarkeit korrekt zeigen kann, wenn ich nicht von stetigen partiellen Ableitungen ausgehe, sondern direkt über die Definition als Grenzwert gehe.

1.) Zeigen Sie, dass die Funktion im Punkt \({0 \choose 0}\) differenzierbar ist, in dem Sie zeigen, dass es eine lineare Abbildung A gibt, sodass der Grenzwert: \(lim_{{x \choose y} \to {0 \choose 0}} \frac{f{x \choose y}-f{0 \choose 0}-A({x \choose y}-{0 \choose 0})}{\Vert {x \choose y} - {0 \choose 0} \Vert} = 0 \) ist.

Mein Ansatz wäre dann:

Ich weiß zwar noch nicht, ob f diffbar ist, aber ich nehme es an und dann müsste A aus den partiellen Ableitungen im Punkt \({0 \choose 0}\) bestehen. Hier würde ich jetzt beide Differentialquotienten berchnen und käme dann, wie zuvor, einmal auf \(D_1f{0 \choose 0}=1\) und \(D_2f{0 \choose 0}=0\). Ich setze also \(A:= \left(1~~0\right)\). Dies setze ich nun in \(lim_{{x \choose y} \to {0 \choose 0}} \frac{f{x \choose y}-f{0 \choose 0}-A({x \choose y}-{0 \choose 0})}{\Vert {x \choose y} - {0 \choose 0} \Vert}\) ein und erhalte: \(lim_{{x \choose y} \to {0 \choose 0}} \frac{f{x \choose y}-\left(1~~0\right){x \choose y}}{\Vert {x \choose y}\Vert}\). Nach einigen Umformungen erhalte ich am Ende: \(\frac{-xy^2}{\Vert {x \choose y}\Vert}\). Den Nenner kann ich unter Verwendung der Äquivalenz von Normen auf \(\mathbb{R^2}\) mit der Maximumnorm abschätzen, also \(c \cdot \Vert {x \choose y} \Vert_{\infty} \leq \Vert {x \choose y} \Vert \) mit \(c >0\) und erhalte somit: \(\frac{\vert-xy^2\vert}{\Vert {x \choose y}\Vert}\leq \frac{\vert-xy^2\vert}{c\cdot \vert y\vert} = \frac{\vert x \vert}{c}\vert y \vert\) wobei wir OBda annehmen, dass \(y\geq x\) . Mithilfe des Einschnürungssatzes weiß ich dann, dass mein gesuchter Grenzwert auch wirklich Null ist. Somit ist \(f\) im Punkt \({0 \choose 0}\) diffbar.

Ist das so korrekt?


2.) Wenn ich zeigen möchte, dass \(f\) nicht stetig diffbar ist, ist dann folgender Beweis korrekt?

Sei \(D_1f{0 \choose 0}=1\) die partielle Ableitung im Punkt \({0 \choose 0}\) ( hatten wir ja schon vorher gezeigt). Ich muss jetzt eine Nullfolge \({x_n \choose y_n}\) finden mit \({x_n \choose y_n} \neq {0 \choose 0} \forall n\), sodass \(lim_{n \to \infty}D_1f{x_n \choose y_n}= \frac{x_n^4+3x_n^2y_n^2}{(x_n^2+y_n^2)^2}\neq 1 = D_1f{lim_{n \to \infty}~ x_n \choose lim_{n \to \infty} ~y_n}\) gilt. Dies ist bspw. der Fall für \({\frac{1}{n} \choose \frac{1}{\sqrt{n}}}\). Damit ist die partielle Ableitung nicht stetig und \(f\) kann somit nicht stetig diffbar sein.

Ist das vom Ansatz her korrekt?

viele Grüße
WagW

PS: falls das hier irgendwie fehl am Platze sein sollte, mache ich noch mal ein neuen Post auf.



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Dabei seit: 02.08.2013
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-08-10


Hey WagW,

es wäre besser und es ist auch gewollt, einen eigenen Thread zu eröffnen. Mach das am besten mal.

Bei 2) ist alles korrekt. Bei 1): Geht es hier um die gleiche Funktion \(f\)?



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