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Logik, Mengen & Beweistechnik » Relationen und Abbildungen » Verknüpfung von Abbildungen (injektiv, surjektiv)
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Universität/Hochschule Verknüpfung von Abbildungen (injektiv, surjektiv)
luca3546
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-20


Aufgabenstellung:
Es seien g: X -> Y und f: Y -> Z Abbildungen. Zeigen sie:
Ist f nach g surjektiv und f injektiv, so ist g surjektiv.

Formulieren und beweisen Sie entsprechende Aussagen für den Fall, dass f nach g injektiv ist.


Problem:
Also ich hab verstanden wann eine Funktion injektiv, surjektiv oder bijektiv ist aber ich weiß nicht so wirklich wie ich zeigen kann das die Aussage gilt und wie ich diese beweisen kann. Wäre nett wenn mir das einer zeigen könnte



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-20


Hallo Luca,

Bist du sicher, dass du das richtig abgeschrieben hast?

Das eine Funktion nach einer anderen Funktion Surjektiv sein kann, sowas habe ich noch nie gehört.

üblich ist, dass eine Funktion von einer Menge in eine andere Menge gewisse Eigenschaften (z.B. surjektivität) haben kann.

Da hast du bestimmt etwas falsch verstanden oder falsch abgeschrieben.
Bitte prüfe das nach und melde dich hier nochmals


Eventuell meinst du die Funktionsverknüpfung.

Falls du am Stuienbeginn bist, dann solltest du dir Latex angewöhnen.
Verwende hier auf MP das Dollarzeichen zu beginn und auch zum Ende des Latexbereiches.

bei $f\circ g$ schreibst du das Symbol mit \circ



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-10-20


Hallo,


ich weiß nicht so wirklich wie ich zeigen kann das die Aussage gilt und wie ich diese beweisen kann.

Wir müssen zeigen, dass $g$ surjektiv ist.
Als Voraussetzung haben wir gegeben, dass $f\circ g$ surjektiv und $f$ injektiv ist.

Nach Definition ist zu zeigen, dass für alle $y\in Y$ ein $x\in X$ existiert so, dass $g(x)=y$.

Beginne also so:

Sei also $y\in Y$ beliebig.



Hast du es schon selber probiert?


Da _____ ____ existiert für alle ____ ein ____ mit _____ .

Dann gilt ebenso _____ . Da ____ _____ also _______. Somit _______ .

Was zu beweisen war.


:)

Edit: Was habe ich jetzt schon wieder falsch gemacht...

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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luca3546
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-20


2019-10-20 18:46 - sulky in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo Luca,

Bist du sicher, dass du das richtig abgeschrieben hast?

Das eine Funktion nach einer anderen Funktion Surjektiv sein kann, sowas habe ich noch nie gehört.

üblich ist, dass eine Funktion von einer Menge in eine andere Menge gewisse Eigenschaften (z.B. surjektivität) haben kann.

Da hast du bestimmt etwas falsch verstanden oder falsch abgeschrieben.
Bitte prüfe das nach und melde dich hier nochmals


Eventuell meinst du die Funktionsverknüpfung.

Falls du am Stuienbeginn bist, dann solltest du dir Latex angewöhnen.
Verwende hier auf MP das Dollarzeichen zu beginn und auch zum Ende des Latexbereiches.

bei $f\circ g$ schreibst du das Symbol mit \circ



Also ich sollte alles richtig abgeschrieben haben.
Die Aufgabe hatte noch eine andere Teilaufgabe die ich aber nicht mit abgeschrieben hab weil ich die selber schon glaube ich hinbekommen hab.
Ich kann aber gerne nochmal die ganze Aufgabenstellung hier mit reinschreiben:

 Es seien $g: X \rightarrow Y$ und $f: Y \rightarrow Z$ Abbildungen. Zeigen Sie:
(a) Ist $f \circ g$ surjektiv, so ist $f$ surjektiv.
(b) Ist $f \circ g$ surjektiv und $f$ injektiv, so ist $g$ surjektiv.
Formulieren und beweisen Sie entsprechende Aussagen für den Fall, dass $f \circ g$ injektiv ist.



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luca3546
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-20


(2019-10-20 18:55 - PrinzessinEinhorn
Edit: Was habe ich jetzt schon wieder falsch gemacht...


Nichts. Ich war nur gerade mit dem Hund raus und hab mich dran versucht aber ich krieg das leider nicht so wirklich hin



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-10-20


Was hast du denn probiert?

Es gibt eigentlich nur eine Möglichkeit wie man diesen Beweis (nach Definition) ausspielen kann.

Du hast noch eine zweite Möglichkeit, wenn du die a) benutzt.



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luca3546
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-20


2019-10-20 19:08 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 5 schreibt:
Was hast du denn probiert?

Es gibt eigentlich nur eine Möglichkeit wie man diesen Beweis (nach Definition) ausspielen kann.

Du hast noch eine zweite Möglichkeit, wenn du die a) benutzt.

Also für (a) hab ich halt:
Will man zeigen dass $f: Y \rightarrow Z$ surjektiv ist, muss man zeigen, dass für ein beliebiges $z \in Z$ ein $y \in Y$
existiert mit $f(y)=z$
Hier weiß man, dass $f \circ g: X \rightarrow Z$ surjektiv ist. Also gibt es sicher ein $x \in X$ mit
$z=(f \circ g)(x)=f(g(x))$.

Ich bin heute schon so lange da dran das ich so langsam nicht mehr weiter weiß.



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-10-20


Ignoriere mal das was ich in Beitrag No. 2 geschrieben habe.

Wenn du die a) benutzt, geht es auf jeden Fall.

Nach Voraussetzung, weißt du, dass $f\circ g$ surjektiv ist und $f$ injektiv ist.
Was weißt du aus Aufgabenteil a) nun über $f$?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-10-20


Mit der Methode in diesem Artikel schreibt sich der Beweis "automatisch" hin:

article.php?sid=1805

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]



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luca3546
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-20


Halt das es für jedes Element aus der Zielmenge mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird. Aber weiter weiß ich nicht

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Triceratops
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-10-24


2019-10-20 18:42 - luca3546 im Themenstart schreibt:
Es seien g: X -> Y und f: Y -> Z Abbildungen. Zeigen sie:
Ist f nach g surjektiv und f injektiv, so ist g surjektiv.

Du willst zeigen, dass $g$ surjektiv ist. Also musst du dir ein $y \in Y$ nehmen. Ziel ist es, ein $x \in X$ zu finden mit $y = g(x)$.

Wir haben zwei Voraussetzungen, bei denen wir uns bedienen müssen:
- $f$ injektiv
- $f \circ g$ surjektiv
Die Injektivität von $f$ können wir nicht verwenden, weil wir dazu zwei Elemente von $Y$ bräuchten (aber wir aktuell nur eines haben). Die Surjektivität von $f \circ g : X \to Z$ können wir zwar nicht direkt verwenden, weil wir kein Element von $Z$ haben, ABER: wir können aus unserem $y$ ein Element von $Z$ bauen. Wie könnten wir das wohl machen? (Es gibt nur eine Möglichkeit!)
 
Und wenn wir dann die Surjektivität von $f \circ g$ anwenden, was für die Gleichung erhalten wir?
 
Und was liefert uns dann die Injektivität von $f$, wenn wir sie auf diese Gleichung anwenden?



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